Divergencia de gauss y primera ecuación de maxwell
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Divergencia de gauss y primera ecuación de maxwell
- 1. DIVERGENCIA DE GAUSS Y PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL REALIZADO POR: ANGEL LOJANO CESAR MATUTE PAUL LOJANO
- 2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝑠 . 𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 𝑣𝑜𝑙 . 𝛻 ∙ 𝑑𝑣 donde ds=n ds y n es el vector unitario normal saliente del volumen 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎 𝛻 𝛻 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑 𝑑𝑧 𝑘 Y el vector 𝐷 𝐷 = 𝐷1 𝑖 + 𝐷2 𝑗 + 𝐷3 𝑘 Entonces div𝐷 es: 𝛻 ∙ 𝐷 = 𝑑𝐷1 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝐷2 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑘
- 3. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA Superficie cerrada S
- 4. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA Suponiendo que la ecuación de la superficie 𝑺 𝟏 del limite inferior es 𝑧 = 𝑓1(𝑥, 𝑦) De la misma manera suponemos que la ecuación de la superficie 𝑺 𝟐 del limite superior es 𝑧 = 𝑓2(𝑥, 𝑦)
- 5. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA Llamando R a la proyección de la superficie S sobre el plano xy
- 6. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 Como la div𝐷 es : 𝛻 ∙ 𝐷 = 𝑑𝐷1 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝐷2 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑘 Entonces nos quedaría: 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑥 𝑑𝑣 + 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑦 𝑑𝑣 + 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑣 Tomamos solo la componete en k de la divergencia. Porque de manera similar se haría al proyectar S sobre los demás planos
- 7. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑣 Entonces descomponiendo nos quedaría 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑣 = 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 Ahora integramos como sabemos que la funciones en base al eje z superior inferior es 𝑓2(𝑥, 𝑦) y 𝑓1 𝑥, 𝑦 respectivamente La integral no quedaría con respecto a es: 𝑧=𝑓1(𝑥,𝑦) 𝑧=𝑓2(𝑥,𝑦) 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 Ahora si nos damos en cuenta al separa las integrales con respectos a x e y estas se convierten como un integral de la Región entonces: 𝑅 . 𝑧=𝑓1(𝑥,𝑦) 𝑧=𝑓2(𝑥,𝑦) 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥
- 8. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 Entonces ahora Integramos 𝑅 . 𝐷3(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑧=𝑓1 𝑥,𝑦 𝑧=𝑓2(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 Esto seria igual a: 𝑅 . 𝐷3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 − 𝐷3(𝑥, 𝑦, 𝑓1) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Para la superficie de 𝑆2 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛾2 𝑑𝑆2 y esto es igual a 𝑘 ∙ 𝑛2 𝑑𝑆2 porque la normal a la superficie forma un ángulo agudo entre 𝛾2 y k Y de forma similar seria para para la superficie 𝑆1 Con la diferencia que 𝛾1 y k forman un ángulo agudo entonces nos quedaría 𝑆1 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑑𝑆1 = −𝑘 ∙ 𝑛1 𝑑𝑆1
- 9. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 Ahora remplazamos 𝑅 . 𝐷3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑆2 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛2 𝑑𝑆2 𝑅 . 𝐷3 𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑑𝑦𝑑𝑥 = − 𝑆1 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛1 𝑑𝑆1 Y 𝑅 . 𝐷3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑑𝑦𝑑𝑥 − 𝑅 . 𝐷3 𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑑𝑦𝑑𝑥 es igual a 𝑆2 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛2 𝑑𝑆2 + 𝑆1 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛1 𝑑𝑆1 Por lo tanto 𝑠 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛𝑑𝑆
- 10. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 Con esto demostramos que 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑑𝑣 = 𝑅 , 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛𝑑𝑆 Si proyectamos S sobre los demás planos coordenados de manera similar a la anterior se obtendrían estos resultados: 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑅 , 𝐷1 𝑘 ∙ 𝑛𝑑𝑆 𝑣 . 𝑑𝐷3 𝑑𝑦 𝑑𝑣 = 𝑅 , 𝐷2 𝑘 ∙ 𝑛𝑑𝑆
- 11. Texto DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 𝛾2 𝑛2 𝛾1 𝑛1 𝑑𝑆2 𝑑𝑆1 Ahora si sumamos las demostraciones se obtiene 𝑉 . 𝑑𝐷1 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝐷2 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝐷3 𝑑𝑧 𝑘 = 𝑠 . = 𝐷1 𝑖 + 𝐷2 𝑗 + 𝐷3 𝑘 ∙ 𝑛𝑑𝑆 Expresado de manera general 𝑉 . 𝛻 ∙ 𝐷𝑑𝑉 = 𝑆 . 𝐴 ∙ 𝑛𝑑𝑆
- 12. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL • Los fenómenos electromagnéticos son definidos por las ecuaciones de maxwell para esto empezaremos con su primera ecuación lo que plantea y su resolución • Primera ecuación de maxwell, estas ecuaciones son representadas en el vacío con lo que aquí se tiene en la forma diferencial 𝛁 ∙ 𝑬 = 𝝆 𝜺 𝟎 • Para comprender de una mejor manera en la parte izquierda de esta ecuación tenemos (E) que es el campo eléctrico, es decir la intensidad de la fuerza eléctrica en este caso podría ser de (atracción o repulsión). Que sufriría una carga situada en un lugar determinado.
- 13. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL Pueden existir tres tipos de divergencia
- 14. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL • Hace pensar pequeña esfera de carga Q. de la cual salen líneas de flujo hacia afuera • Cuando ocurre esto se dice que estas líneas son divergentes y la carga se consideraría como una fuente de carga positiva
- 15. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL • Entonces 𝐀 = 𝐝𝐢𝐯 𝐀 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒗→𝟎 𝒔 𝑨∙𝒅𝑺 ∆𝒗 donde ∆𝑣 es el volumen que encierra la superficie S en el punto P. Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero se dice que la región contiene fuentes o sumideros. Es una fuente cuando las líneas salen o se alejan en este caso el vector diverge. Negativa cuando las líneas entran a la fuente en este caso el vector converge. Y cero cuando el punto (P) no es fuente ni sumidero.
- 16. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL • Ya que tenemos todos estos conceptos tenemos un (D) una densidad de carga 𝐝𝐢𝐯 𝐃 = 𝛁 ∙ 𝐃 Según la ley de gauss 𝑺 𝑫 𝒔 ∙ 𝒅𝑺 se puede usar el flujo neto hacia afuera de una densidad de flujo 𝐷𝑆 desde una superficie cerrada S. Entonces Maxwell estableció que: el flujo eléctrico por unidad de volumen que sale de un pequeño volumen unitario es exactamente igual a la densidad de carga volumétrica que existe en él.
- 17. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL • la primera ecuación de Maxwell es la siguiente. 𝜵 ∙ 𝑫 = 𝝆 𝑽 Entonces existe una herramienta matemática que relaciona la ecuación de Gauss con la primera ecuación de Maxwell es la que se llama el teorema de la divergencia Con lo queda demostrada la primera ecuación de Maxwell