presentacion yoselyn caripa

1. Republica Bolivarina de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educacion
Instituto universitario Politecnico
Santiago Mariño- Sede Barcelona
Alumna:
Yoselyn Caripa
27301077
Seccion EV
Tutor:
Prof. Ramón Aray

2. Las matrices y los determinantes son herramientas del
algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así
como su manejo.
Los Conceptos de matriz y todos los relacionados
fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por
matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur
Cayley y el irlandés William Hamilton.
Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los
que se trabaja con datos regularmente ordenados y
aparecen en situaciones propias de las Ciencias
Sociales , Económicas y Biológicas.

3. Definición y primeros ejemplos Una matriz es una tabla rectangular
de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la
matriz lleva dos subíndices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el
elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en
la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con
letras mayúsculas.
o Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

4. • Elemento de una matriz
Cada uno de los números de que consta la matriz se
denomina elemento.
Un elemento se distingue de otro por la posición que
ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
• Dimensión de una matriz
El número de filas y columnas de una matriz se denomina
dimensión de una matriz. Así, una matriz de
dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n
columnas. De este modo, una matriz puede ser de
dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2
columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...
Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de
columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

5. • Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola
fila.
• Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

6. • Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas
que de columnas, siendo su dimensión mxn.
• Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, a
la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente
las filas por las columnas.
• (At)t = A
• (A + B)t = At + Bt
• (α ·A)t = α· At
• (A · B)t = Bt · At

7. • Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
• Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que
de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la
diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los
elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

9. A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar
particular denominado determinante de A , denotado
por |A| o por det (A).
o Ejemplos: El calculo de los determinantes de orden
2 es bien sencillo, por ejemplo:

10. Para definir determinantes de matrices de orden mayor
que 2 es necesario introducir previamente algunos
conceptos.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el
menor complementario de un elemento de A, aij , como
el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho
elemento aij . Se representa por Mij .
Ejemplo: En la matriz , los menores
complementarios de cada uno de los elementos de la
primera fila son:
• Menor complementario de -2:M11 =
• Menor complementario de 4:M12 =
• Menor complementario de 5:M13 =

11. • Determinante de orden uno
|a 11| = a 11
• Determinante de orden dos
• Determinantes de orden tres

12. • Regla de sarrus
Los términos con signo + están formados por los
elementos de la diagonal principal y los de las
diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
Los términos con signo − están formados por los
elementos de la diagonal secundaria y los de las
diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.

13. • Menor Complementario
Se llama menor complementario de un elemento aij al
valor del determinante de orden n−1 que se obtiene al
suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
• Adjunto
Se llama adjunto del elemento aij al menor
complementario anteponiendo:
El signo es + si i+j es par.
El signo es − si i+j es impar.
El valor de un determinante es igual a la suma de
productos de los elementos de una línea por sus
adjuntos correspondientes.
• Determinante de orden superior a tres
Consiste en conseguir que una de las líneas del
determinante esté formada por elementos nulos,
menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó n
−1 .

14. Seguiremos los siguientes pasos:
o Si algún elemento del determinante vale la unidad, se
elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que
contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella
que contenga el mayor número posible de elementos
nulos).
o En caso negativo:
Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número
posible de elementos nulos y operaremos para que uno de
los elementos de esa línea sea un 1 ó n −1 (operando con
alguna línea paralela ). Dividiendo la línea por uno de sus
elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el
determinante por dicho elemento para que su valor no
varié. Es decir sacamos factor común en una línea de uno
de sus elementos. Tomando como referencia el elemento
base, operaremos de modo que todos los elementos de la
fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. Tomamos
el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un
determinante de orden inferior en una unidad al original.

15. • Propiedades determinantes
1 |At|= |A| 2 |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de
las otras.
3 Un determinante triangular es igual al producto de
los elementos de la diagonal principal..
4 Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas
paralelas su determinante cambia de signo.
5 Si a los elementos de una línea se le suman los
elementos de otra paralela multiplicados previamente
por un nº real el valor del determinante no varía.
6 Si se multiplica un determinante por un número
real, queda multiplicado por dicho número cualquier
línea, pero sólo una.
7 Si todos los elementos de una fila o columna están
formados por dos sumandos, dicho determinante se
descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|

16. • Matriz inversa
• Rango de una matriz nula
El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada
no nula.

18. • http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes
_Actividades.html
• http://joseluislorente.es/2bac/temas/tema8.pdf
• http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
• http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdet
er/MatrDeter.htm
• http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.
html