Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, conjunto potencia, unión, intersección, diferencia, complemento, producto cartesiano, partición y cardinalidad. Explica propiedades y teoremas relacionados con estas nociones fundamentales de la teoría de conjuntos.
2. CONJUNTO:Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos. Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar. Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.
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5. Así (U, P(x)) Es una función proposicional entonces: A= {X€U/P(x)}
6. Subconjuntos: Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y escribiremos A B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: A B ↔ ( x)(x€A x€B) Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es: 1. Reflexiva: A A, para todo conjunto A. 2. Antisimétrica: A B y B A entonces A = B. 3. Transitiva: A B y B C entonces A C.
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9. Igualdad de conjuntos: Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales. Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ↔ A B y B A Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces, A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
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11. Diferencia y complemento Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que: (AUB) - C = (A - C) U (B - C) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) (AD B) - C = (A - C) D (B - C) A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) (B - C) I A = (B I A) - (C I A) Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto. C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U. Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
12. Diferencia y complemento Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10} Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego: A - B = AI C(B) C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)
13. Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}. Solución C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que: C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9} Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
22. Opertacionesgeneralizado Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto. Ejemplo Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia. Solución La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son:
23. Operaciones generalizadas Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos: Definición Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define: La unión de esta familia como el conjunto La intersección de esta familia como el conjunto
24. Participación Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. Ejemplo Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
25. Cardinalidad Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que: i. El cardinal de A es 0 si A =f. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos. Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6 Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego: i. B - A) = #B - #(AI B) ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI B)
26. Cardinalidad La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos.
