Técnica de Transformación para varias variables y los Jacobianos en Transformación de variables aleatorias.

1. Técnica de
Transformación y
Jacobiano de
Transformación

2. Técnica de transformación: varias variables
Supongamos que una distribución conjunta de(x1, x2) de dos variables
aleatorias x1 & x2 y queremos determinar la distribución
Y=u(x1, x2)
De ser (x1, x2) una distribución discreta, trabajaremos de manera similar al
ejemplo anterior hasta obtener una distribución de función de Y & X,
posteriormente obtendremos la distribución marginal para dejarla en función
de Y.
Si d (푥1, 푥2) es continua entonces aplicaremos que g(푥1, 푦1) =d(푥1, 푥2)
휕푥푖
휕푦
.
Donde nuevamente encontraremos la marginal de 푥1al terminar el primer
procedimiento.
Ejemplo:
Si 푥1 y 푥2 son variables independientes con distribuciones de piosson con
parámetros ƛ1 y ƛ2, encuentre la distancia para y= 푥1+ 푥2
F(푥1, 푥2)=(e-(ƛ1+ƛ2)(ƛ1
x1)( ƛ2
x2))/( 푥1! 푥2!)
Para 푥1=1,2,… y 푥2=1,2,… Hacemos el despeje para 푥1=y= 푥2
F(푦, 푥2)=(e-(ƛ1+ƛ2)(ƛ1
y-y2)( ƛ2
y2))/( 푦 − 푦2! 푥2!)
Para 푦=1,2,… y 푥2=1,2,… y finalmente aplicamos la marginal con respecto a
푥2
F(푦)=(e-(ƛ1+ƛ2)(ƛ1+ƛ2)y)/( 푦!)

3. Jacobiano en transformación de variable aleatoria
Sea f(푥1, 푥2) el valor de la densidad de probabilidad conjuntas de las
variables aleatorias 푥1 푦 푥2 en (푥1, 푥2). Si las funciones dadas por 푦1=
푢1(푥1, 푥2) y 푦2= 푢2(푥1, 푥2) son parcialmente diferenciables entre las
variables de entrada entonces estas ecuaciones se pueden resolver de
manera única y la densidad de probabilidad estaría dada por
g (푦1, 푦2)= f[푤1(푥1, 푥2): 푤2(푥1, 푥2)] ; |J|
Donde J es el Jacobiano de la transformación. En cualquier otra parte
g(푦1, 푦2)= 0.
J(푥1, 푥2)=
휕푢1
휕푥1
휕푢1
휕푥2
휕푢2
휕푥1
휕푢2
휕푥2
SI X es una variable aleatoria discreta y f(x) es el valor de su distribución de
probabilidad en X, el valor esperado de g(x) está dado por
E[g(x)] = Σx g(x) ∗ f(x)
De forma correspondiente, si x es una variable aleatoria continua y f(x) es el
valor de su densidad de probabilidad en X, el valor esperado de g(x) está
dado por E[g(x)] = ∫ g(x) ∗ f(x)
∞
−∞

4. Media de una muestra
_
Sea x = Σ 푥1/푛, donde x es una variable aleatoria
X se define como la media muestral
_
E (X)=E(Σ(푥푖/푛) = (1/n)E (Σ 푥푖)
=(1/n)E(Σ(푦푖)
=Σ (
1
푛
) (푋푖)
= μ