pi

1. Número π 1
Número π
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número
irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e
ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes
matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante
que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su
diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una
constante en geometría euclidiana.
Lista de números – Números irracionales
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario 11,00100100001111110110…
Decimal 3,14159265358979323846…
Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua
Nótese que la fracción continua no es periódica.

2. Número π 2
El nombre π
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por
William Jones y popularizado por Leonhard
Euler.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras
de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro)
de un círculo,
[1]
notación que fue utilizada primero por William
Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés
William Jones
[2]
(1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard
Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748,
quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de
Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como
constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de
Arquímedes).
Historia del cálculo del valor π
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos
científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto
Detalle del papiro Rhind.
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la
época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el
papiro Rhind,
[3]
donde se emplea un valor aproximado de π afirmando
que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es
igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del
diámetro. En notación moderna:
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura
egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es
el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado
del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su
libro The Exact Sciences in Antiquity,
[4]
describe un método inspirado
en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π,
mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 8.

3. Número π 3
Mesopotamia
Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanzando en
algunos casos valores más aproximados, como el de:
Referencias bíblicas
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la
Biblia:
«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de
altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»
I Reyes 7:23-24
[5]
(Reina-Valera 1995)
Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro de las Crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos
para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C.:
«También hizo un mar de metal fundido, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su
altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor.»
II Crónicas 4:2
[6]
(Reina-Valera 1995)
Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores
estimaciones egipcia y mesopotámica.
Método de Arquímedes para encontrar dos valores que
se aproximen al número π, por exceso y defecto.
Método de aproximación de Liu Hui.
Antigüedad clásica
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de
determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3
10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta
aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que
oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado
por Arquímedes
[7]
era muy simple y consistía en circunscribir e
inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y
calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó
con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número
de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano
Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la
distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro
conocido.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario
por aproximaciones:
Matemática china

4. Número π 4
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino
Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación , que dedujo de la razón entre el
volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45
(3,155555), aunque se desconoce el método empleado.
[8]
Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue
el primero en sugerir
[9]
que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96
[10]
o 192
[8]
lados.
Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.
[10][11]
A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó
«valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy
conocidas ambas,
[12]
siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve
siglos después, en el siglo XV.
[10]
Matemática india
Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el
valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta
calcula π como , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una
aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la
estimación.
[8]
Matemática islámica
En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa
22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath
al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica
sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.
Renacimiento europeo
John Wallis (1616–1703).
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se
facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El
matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el
método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho.
Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de
hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a
3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus
Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el
método de Arquímedes.
Época moderna (pre-computacional)
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros
decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo
mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante
muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac
Newton desarrolla la serie
[13]

5. Número π 5
Leonhard Euler (1707–1783).
Con obtuvo una serie para:
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:
En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una
precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:
Con se obtiene una serie para:
Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés
Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112
eran correctos).
Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:
.
El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo del cociente entre las
longitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159
andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en la
notación habitual que se usa hasta nuestros días.

6. Número π 6
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por
Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados.
Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue
el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo
durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener
707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de
Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808
decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente
tabla:
Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error
(en partes por millón)
~1900 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia
2
8
/3
4
~ 3,1605
6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~600 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía ~3,2143 4570 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7
empleó 211875/67441 ~ 3,14163
<402 ppm
13,45 ppm
~150 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong China
10
1/2
~ 3,1623
6584 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
empleó 355/113 ~ 3,1415929
<0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta India
10
1/2
~ 3,1623
6584 ppm
~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm
Época moderna (computacional)
Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con
la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords,
obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de
esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960
los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y
23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de
números procedentes de π.

7. Número π 7
En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de
decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una
supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas
consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.
Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales
1949
G.W. Reitwiesner y otros
[14] ENIAC 2037
1954 NORAC 3092
1959 Guilloud IBM 704 16 167
1967 CDC 6600 500 000
1973
Guillord y Bouyer
[14] CDC 7600 1 001 250
1981 Miyoshi y Kanada
[14] FACOM M-200 2 000 036
1982 Guilloud 2 000 050
1986 Bailey CRAY-2 29 360 111
1986
Kanada y Tamura
[14] HITAC S-810/20 67 108 839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134 217 700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201 326 000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480 000 000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1 011 196 691
1991 Hermanos Chudnovsky 2 260 000 000
1994 Hermanos Chudnovsky 4 044 000 000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6 442 450 000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51 539 600 000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68 719 470 000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206 158 430 000
2002
Kanada y otros
[14]
[15]
Hitachi SR8000/MP 1 241 100 000 000
2004 Hitachi 1 351 100 000 000
2009
Daisuke Takahashi
[16] T2K Tsukuba System 2 576 980 370 000
2009
Fabrice Bellard
[17] Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2 699 999 990 000
2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5 000 000 000 000
2011 Shigeru Kondo 10 000 000 000 000
En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que
estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina
cuando su marca aparece en la lista de los récords.

8. Número π 8
Características matemáticas
Se muestra la relación entre un cuadrado de lado y un círculo de radio . El
área del círculo es .
Definiciones
Euclides fue el primero en demostrar que la
relación entre una circunferencia y su
diámetro es una cantidad constante.
[18]
No
obstante, existen diversas definiciones del
número , pero las más común es:
• es la relación entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
Por tanto, también es:
• El área de un círculo unitario (de radio
unidad del plano euclídeo).
• El menor número real positivo tal que .
También es posible definir analíticamente ; dos definiciones son posibles:
• La ecuación sobre los números complejos admite una infinidad de soluciones reales positivas, la
más pequeña de las cuales es precisamente .
• La ecuación diferencial con las condiciones de contorno para la
que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica (la función
trigonométrica ) cuya raíz positiva más pequeña es precisamente .
Número irracional y trascendente
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros,
como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es
la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann
demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de
la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,
[19]
1953), es decir, no sólo es trascendental sino
que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham
1970
[cita requerida]
).
Las primeras cincuenta cifras decimales
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales.
Los cincuenta primeros son:
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·10
12
decimales),
[20]
así como Las primeras
diez mil cifras decimales
[21]
A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una
docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un
error más pequeño que el tamaño de un protón.
[22]

9. Número π 9
Fórmulas que contienen el número π
En geometría
• Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
Áreas de secciones cónicas:
• Área del círculo de radio r: A = π r²
• Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
Áreas de cuerpos de revolución:
• Área del cilindro: 2 π r (r+h)
• Área del cono: π r² + π r g
• Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
• Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
• Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
• Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3
Ecuaciones expresadas en radianes:
• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
En probabilidad
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser
los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
•
• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden
es relevante).
• Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas
paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ
En análisis matemático
• Fórmula de Leibniz:
• Producto de Wallis:
• Euler:
•
• Identidad de Euler
• Área bajo la campana de Gauss:
• Fórmula de Stirling:

10. Número π 10
• Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:
• Euler:
• Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:
•
• También como desarrollo en series:
• Formas de representación aproximada a
[23]
•
• Método de Montecarlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del
cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.
[24]
• Formula de Srinivāsa Rāmānujan demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubrió él en
1910. Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración:
Cómputos de π
Pi y los números primos
Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2
se obtiene:
donde p
n
es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la
expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

11. Número π 11
Fórmula de Machin
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de
Machin, descubierta en 1706:
Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya
citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).
Métodos eficientes
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos).
Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de
Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de
64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por
segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes
fórmulas modificadas de Machin:
• K. Takano (1982).
• F. C. W. Störmer (1896).
Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino
para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la
memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.
Aproximaciones geométricas a π
Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener
sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego
conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo
cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.
Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios
métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla
y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

12. Número π 12
Método de Kochanski
Método de Kochanski.
Se dibuja una circunferencia de radio
R. Se inscribe el triángulo equilátero
OEG. Se traza una recta paralela al
segmento EG que pase por A,
prolongándola hasta que corte al
segmento OE, obteniendo D. Desde el
punto D y sobre ese segmento se
transporta 3 veces el radio de la
circunferencia y se obtiene el punto C.
El segmento BC es aproximadamente
la mitad de la longitud de la
circunferencia.
Demostración (suponiendo R = 1)
Sustituyendo en la primera fórmula:

13. Número π 13
Método de Mascheroni
Método de Mascheroni.
Método desarrollado por Lorenzo
Mascheroni: se dibuja una
circunferencia de radio R y se inscribe
un hexágono regular. El punto D es la
intersección de dos arcos de
circunferencia: BD con centro en A', y
CD con centro en A. Obtenemos el
punto E como intersección del arco
DE, con centro en B, y la
circunferencia. El segmento AE es un
cuarto de la longitud de la
circunferencia, aproximadamente.
Demostración (suponiendo R = 1)
Por el teorema de Ptolomeo, en el
cuadrilátero ABEB'
Uso en matemática y
ciencia
π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la
geometría euclídea.
[25]
Geometría y trigonometría
Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr
2
.
Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la
circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.
[26]
π aparece en integrales definidas que describen la
circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del
área de un círculo unitario es:
[]
y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:
[27]
Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.
[28]
De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen
período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) =
0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180)
radianes.

14. Número π 14
En la matemática moderna, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor
entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría
euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por
ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de
potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.
Análisis superior y teoría de números
Representación geométrica de la fórmula de Euler.
La frecuente aparición de π en análisis complejo puede
estar relacionada con el comportamiento de la función
exponencial de una variable compleja, descrito por la
fórmula de Euler
donde i es la unidad imaginaria que satisface la
ecuación y e ≈ 2.71828 es el número de
Euler. Esta fórmula implica que las potencias
imaginarias de e describen rotaciones un círculo
unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen
un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de
180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler
Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad
La integral de Gauss
Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número
impar) y √π es un número racional.
Física
Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios
fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y,
correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se
puede eliminar a veces a π de las fórmulas.
• La constante cosmológica:
[29]
• Principio de incertidumbre de Heisenberg:
[30]
• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:
[]
• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:
[31]

15. Número π 15
• Permeabilidad magnética del vacío:
[32]
• Tercera ley de Kepler:
Probabilidad y estadística
En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:
• la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que
depende de la integral gaussiana:
[33]
• la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):
[34]
Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que , entonces las
fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.
[35]
Representación del experimento en el modelo de
la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b)
ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está
cruzando la línea mientras que la aguja b no.
El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una
aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l
repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas
paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con
t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se
lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede
aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran
cantidad de veces:
[][36][37][38]
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse
más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos
(incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,
[]
y el número de lanzamientos crece
exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se
transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en
una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres
en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de
precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

16. Número π 16
Curiosidades
Reglas mnemotécnicas
Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.
•
• Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada
palabra:
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
•
• Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una
cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra
griega π.
•
• Un tercer poema:
Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
•
• Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley
singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra
griega π para el primer 1.
•
• Otra forma, que permite recordar las primeras 14 cifras:
"How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
[39]
Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic
Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros
3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los
dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:
C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para
descubrir el arte empleado en cada idioma).

17. Número π 17
Aparición en medios
• En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree
que el mundo se representa por números.
• Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
• En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un
programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona
CRTL+ALT+Click en π, se accede a la interfaz de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los
Pretorianos, Que pedía un Usuario y un Password.
• En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello,
que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan
vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
• En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
• La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en
base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.
Otras curiosidades
"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de la
matemática en TU Berlín.
Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras
decimales de π a este automóvil.
• El método de Arquímedes no fue superado en casi dos mil años a
pesar de los grandes avances realizados en su evaluación
numérica.
[40]
• El valor de Pi usado por Posidonio (135-51 a.C.) debió ser correcto
en varias cifras decimales. El valor que obtuvo para la
circunferencia de la tierra fue adoptado tres siglos más tarde por el
astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho después por
Cristobal Colón, entre muchos otros.
[41]
• El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
• El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se
marca también como el día pi en el que los fans de este número lo
celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños
de Einstein.
•
• 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación
¡cuasi-perfecta!
• John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una
canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada
"Something Tells Me". La canción acaba con una letra como:
"What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
• El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar
en el Proyecto Gutenberg o en este enlace
[42]
.
• La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los
dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
•
• Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una
civilización inteligente extraterrestre.
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es

18. Número π 18
Tarta con el número pi.
Construcción aproximada para la cuadratura del
círculo, encontrada por Ramanujan.
•
• Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en
las 50.000.000 primeras cifras de π
• En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos
dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como:
RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record
mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin
parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés
Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada,
y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record
recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada
dos horas de 10 minutos para tomar aire.
•
• El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier
secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión
decimal de pi es 60.872.
• Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan
más de veinte dígitos decimales del número.
• En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en
estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.
[43]
• El valor principal de la expresión es un número real y está dado
por
[44]
• Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27
cifras de π, después del 3.
[45]
• Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada, con regla y
compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un
segmento aproximadamente igual a :
[46]
• Los hebreos consideran al número pi como "el número de Dios". En la película Pi: Fe en el Caos los estudiantes
de la Torá consideran los 216 (6x6x6) primeros decimales como representación del verdadero nombre de Dios.
En la Biblia (hebrea y cristiana) el nombre de Dios aparece en el capítulo 3 y versículo 14 del Libro del Éxodo
(Exodo 3,14
[47]
).
Días de Aproximación a Pi
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:
• 14 de marzo (3/14 en formato de fecha inglés)
•
• 26 de abril
• 22 de julio (22/7 que es una aproximación de pi)
• 10 de noviembre (es el 314º día del calendario gregoriano)
• 21 de diciembre (es el día 355, en referencia a la aproximación 355/113)

19. Número π 19
Cancion de Pi
Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio,
Qué serie preciosa valorando, enunció su amor hacia ti.
A los 7 continentes comunicaría
Mi cariño y amor hacia ti
El mundo entero recorrería
Solo para verte sonreír
Lobos y perros aullarían
Al verme junto a ti
Y para siempre mi vida
Estaría muy feliz
¿Y cómo reúno infinidad de amor?
Tiene que haber tiempo y espacio
Mas mi amor es infinito
Y nunca te dejaré ir
Los océanos yo nadaría,
En la Antártida viviría,
De la selva me alimentaria
Con tal de verte a ti
Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio,
Qué serie preciosa valorando, enunció su amor hacia ti.
Todo lo haría por ti
Nada ni nadie sabe cómo yo te amo y te amo sin fin
Si los granos de arena
Y las estrellan contaras
Tendrías una idea
Del amor que tengo por ti
Cuestiones abiertas sobre π
•
• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una
sucesión de mil ceros consecutivos?
• ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma
probabilidad de aparición en una expansión decimal?
• No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve
y con coeficientes enteros del orden 10
9
.
[48][49]

20. Número π 20
Referencias
[1]
[1] G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
[2]
[2] New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
[3] Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publications, London , 1987, véase
“Squaring the Circle”, páginas 44 a 46.
[4]
[4] "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
[5] http://www.biblegateway.com/passage/?search=1Reyes7%3A23-24;&amp;version=RVR1960;
[6] http://www.biblegateway.com/passage/?search=2Cr4%3A2;&amp;version=RVR1960;
[7] Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Books, New York
, 1993.
[8] Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, y Plouffle S, "The quest for Pi", The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57.
[9] A. Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
[12] C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
[13] Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lischka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, p. 188 y 228. ISBN 978-3-540-66572-4
[14] Bailey David H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace (http://crd.lbl.gov/~dhbailey/
dhbpapers/dhb-kanada.pdf). Consultada:22 de abril de 2008
[15] http://oldweb.cecm.sfu.ca/personal/jborwein/kanada_trillion.html
[16] Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009, «円周率計算で世界一…筑波大がギネス申請» (http://www.yomiuri.co.jp/
science/news/20090817-OYT1T00638.htm) (en japonés)
[17] Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en inglés) (http://bellard.org/pi/pi2700e9/announce.html)
[18] Euclides, Elementos. Libro V
[19]
[19] Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
[20] http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html, 133-144
[21] http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pi_10000.htm
[22]
[22] Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
[23] Existen otras doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/
[24] Calculation of Pi Using the Montecarlo Method (http://www.eveandersson.com/pi/monte-carlo-demo.tcl)
[42] http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314.html
[43] Plan de seguridad para el subte (http://www.clarin.com/diario/2006/09/26/um/m-01278937.htm) Artículo del diario Clarín
[44] Unidad imaginaria en Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/i.html) (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
[45] "Mazda Pi" en Gaussianos.com (http://gaussianos.com/mazda-pi/). Consultado: 23 de abril de 2008
[47] http://bibliaparalela.com/exodus/3-14.htm
[48]
[48] Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281,
1988a.
[49] Pi en Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/Pi.html) (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número π. Commons
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Número π. Wikiquote
• Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados. (http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/
numpi.htm)
• Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi: de la Geometría al Cálculo Numérico. (http://eprints.ucm.es/
8163/)
• Historia de Pi, en astroseti.org (http://www.astroseti.org/vernew.php?codigo=2086)
• Club de Amigos de Pi (http://wasi.org/PI/pi_club.html)
• Para buscar cualquier número entre las primeras 200.000.000 de cifras de Pi (http://www.angio.net/pi/bigpi.
cgi)
• Programa para el cálculo de π y de otro gran número de constantes (http://numbers.computation.free.fr/
Constants/constants.html) (en Inglés)
• Lista con los valores calculados con autores y valores (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/
Pi_chronology.html) (en Inglés)
• Diseño de una moneda. El valor de Pi (http://www.uaq.mx/matematicas/redm/art/a0803.pdf)

21. Fuentes y contribuyentes del artículo 21
Fuentes y contribuyentes del artículo
Número π Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=67734718 Contribuyentes: -Erick-, -jem-, -seb-, .Sergio, ALVHEIM, Abajo estaba el pez, Achury, Airunp, Alhen, Alpertron,
Alvaro 789, Amadís, Angel GN, Angus, Anonimo12345, Antur, Antón Francho, Apartidista, Arkady, Arthurfx, Ascánder, AstroF7, Aswarp, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Barba roja, Barcex,
Belb, Billyrobshaw, Blackman.cl, Bnom, Brahma, Bryant1410, Bucephala, CF, CHV, Caballeroaryo01, Cameri, Carmin, Cdlfd, Cgb, Cheveri, Chico palm, Cinabrium, Cobalttempest,
CommonsDelinker, Cristianuz12, Cronos x, Crypdan, Ctrl Z, DJ Nietzsche, David gonzalez, David0811, Davius, Dcoetzee, Dequet, Diego Caro, Diego Godoy, Diego hurtado, Diegusjaimes,
Dnu72, Dodo, Dorieo, Dove, Drc1997, Edmenb, Edocastillo, Edslov, Eduardosalg, Edub, El Caro, El guardian999, ElVaka, Emiduronte, Enchiladasblablabla, Eralos, Ericka Suárez, Euratom,
Ezarate, Ezequiel3E, FAR, Facundos 23, Faelomx, Feliciano, Felknight, Ferenckv, Filipo, Fisica y mas, Folkvanger, Fonshu23, Foundling, Frutoseco, Furado, Gaijin, Gaius iulius caesar,
GeminiSaga, Gengiskanhg, GermanX, Gijzopium, Giragus, Gizmo II, Gonmator, Googledj, Govalant, Gusama Romero, Gusgus, Gustronico, Gydunhn, HUB, Harvin, Heliocrono, Helmy oved,
Hispalois, Homo logos, House, Hprmedina, Hugone, Humberto, Igna, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Invadinado, Irfit, Isha, JEDIKNIGHT1970, JMCC1, Jacksys, Jaime Xenius,
Jamawano, Jarfil, Jarisleif, Jarke, Javierito92, Javivierjavi, Jclerman, Jerowiki, Jesam, Jgomez53, Jkbw, Jmacwikipedista, John PC, Jordissm, Jorgechp, Jorosmtz, Joseaperez, Josell2, Jtico, Juan
Mayordomo, Julian Mendez, KPM, Kadellar, Kn, KnightRider, Kraton, Krysthyan, LP, Laura Fiorucci, Leonpolanco, LitOrdes, Lmcuadros, LordT, Lordsito, Lucien leGrey, Luis Cortés Barbado,
Luiscg, M S, Madalberta, MadriCR, Magister Mathematicae, Mahey94, Makete, Maldoror, Manimecker, ManuelGR, Manuelt15, Manwë, MarcosTusar, Mariantobis, Marsi Mario, Matdrodes,
Mauricio Maluff, Mcleod ideafix, Megalfático, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Mortadelo2005, Mpeinadopa, Muro de Aguas, Mutari, Natrix, Navelegante, Nestoreleditor, Netito777, Nicoguaro,
Nioger, Nixón, Numbo3, Oconel, OiraM, Oscar ., Pabloallo, Paintman, Palica, Pan con queso, Peejayem, Pertile, Petruss, Pieter, Pilielena, Purodha, Pólux, QnanG5284, Quijav,
Qwertyytrewqqwerty, Rafa3040, Rafagb, Ramjar, Raulshc, Raúl González Molina, RedTony, Remedios.Frutos, Resped, Roberpl, Roberto Fiadone, Romanovich, Rosarinagazo, Rovnet,
RoyFocker, Rpmi1640, Sabbut, Sanbec, Santiperez, Sapiensjpa, Savh, Sebrev, Sefirah, Segavi, Sergiotarrancas, Shebaks, Snakefang, Snakeyes, Soro 04, Srengel, Stifax, Stormnight,
SuperBraulio13, Superzerocool, Surscrd, Suso de la Vega, Taichi, Tano4595, Technopat, The Scene, Tirithel, Tomatejc, Tostadora, Trejina, UA31, UltimateTroll, Vitamine, Vivaelcelta, Vivero,
Waka Waka, Wewe, Wiilliam, Wiles, YonDemon, Zaka, ZrzlKing, Zulucho, Zupez zeta, 701 ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Archivo:Pi-unrolled-720.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pi-unrolled-720.gif Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: John Reid
Archivo:Pi-CM.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pi-CM.svg Licencia: desconocido Contribuyentes: EDUCA33E, Juiced lemon, Miya, Phrood, Trockennasenaffe,
2 ediciones anónimas
Archivo:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png
Licencia: Public Domain Contribuyentes: Anarkman, G.dallorto, GeorgHH, JMCC1, Luestling, Mdd, Otso Huuska, 4 ediciones anónimas
Archivo:Archimedes pi.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Archimedes_pi.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes:
Leszek Krupinski
Archivo:Liuhui Pi Inequality.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Liuhui_Pi_Inequality.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:
derivative work: Pbroks13 (talk) Liuhui_Pi_Inequality.jpg: Gisling
Archivo:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg Licencia: Public Domain
Contribuyentes: User:Dcoetzee
Archivo:Leonhard Euler by Handmann .png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Leonhard_Euler_by_Handmann_.png Licencia: Public Domain Contribuyentes:
Beria, Bohème, Boo-Boo Baroo, Ecummenic, Funck77, QWerk, Shakko, 2 ediciones anónimas
Archivo:CircleArea.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CircleArea.gif Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: kn
Archivo:Metodo Kochanski aprox pi.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Metodo_Kochanski_aprox_pi.svg Licencia: Creative Commons Attribution 3.0
Contribuyentes: Nicolás Guarín
Archivo:Metodo Mascheroni aprox pi.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Metodo_Mascheroni_aprox_pi.svg Licencia: Creative Commons Attribution 3.0
Contribuyentes: Nicolás Guarín
Archivo:Euler's formula.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euler's_formula.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Originally created
by gunther using xfig, recreated in Inkscape by Wereon, italics fixed by lasindi.
Archivo:Buffon_needle.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Buffon_needle.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes:
Buffon_needle.gif: Claudio Rocchini derivative work: Nicoguaro (talk)
Archivo:Matheon2.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Matheon2.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: MB-one,
Mattes, Nicoguaro, Prolineserver, Soerfm, Waldir, 1 ediciones anónimas
Archivo:Zoom-Mazda pi.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Zoom-Mazda_pi.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Erik
Baas, Navigator84, Nicoguaro, Ypy31
Archivo:Pi pie2.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pi_pie2.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: GJ
Archivo:Approximately squaring the circle.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Approximately_squaring_the_circle.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes:
GrafZahl
Archivo:Commons-logo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg Licencia: logo Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and
cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.
Archivo:Spanish Wikiquote.SVG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG Licencia: logo Contribuyentes: James.mcd.nz
Licencia
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/