2. • La Lógica es el estudio de los métodos y
principios que permiten distinguir el
razonamiento correcto del incorrecto y de
manera general se puede afirmar que la
Lógica Matemática surge de aplicar a la Lógica
los métodos de la Matemática.
3. • Sin necesidad de conocimientos complicados
o difíciles, se puede determinar si algo que se
oye o se lee, es verdad o es falso y se
considera que se ha hecho un razonamiento
lógico.
Ejemplos:
1.-Cuatro más dos es igual a seis. Verdadero.
2.-Tres menos dos es cuatro. Falso.
4. • Es una oración que puede ser verdadera o
falsa pero no ambas a la vez. Del ejemplo
anterior son proposiciones simples las
oraciones a), b), c) y f), las otras no son
proposiciones, pues, no se pueden determinar
si son verdaderas o falsas.
Observación. No toda oración puede ser proposición simple.
5. • Si se analiza una proposición se puede
determinar si esta es verdadera o falsa, el
resultado se conoce como valor de verdad.
Ejemplos
a) Ecuador pertenece a la OTAN.
Esta proposición tiene como valor de verdad F.
b) Ecuador no pertenece a la OTAN.
Esta proposición tiene como valor de verdad V.
Notación. Toda proposición simple se puede remplazar por las letras: p, q, r,
6. • Es la unión de dos proposiciones simples
mediante los operadores lógicos: y, o, si …
entonces, si y sólo si.
Notación. Toda proposición compuesta se puede remplazar por las letras: P, Q, R,
Ejemplo
Determinar cuales de las siguientes oraciones son proposiciones compuestas
a) Dos más cuatro es seis o uno más uno es dos. Si.
b) Quito está en Ecuador y en Europa. Si.
c) ¿Quién eres y hacia dónde vas? No.
d) Si cuatro es igual a cuatro entonces dos no es igual a uno. Si.
7. • Dadas dos proposiciones simples, se puede formar una proposición
compuesta uniéndolas con los operadores lógicos que se describen a
continuación.
Sean p y q proposiciones, la conjunción entre se representa por . Se lee: “ p y q ”. Se
pueden unir dos proposiciones simples usando la conjunción “y”
Ejemplos
Estoy el la Politécnica y estudio lógica matemática.
Hago deporte en Galápagos y trabajo en Pichincha.
8. • Si ambas proposiciones son verdaderas, la proposición compuesta es
verdadera, en caso contrario es falsa. Así:
9. Ejemplos:
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a)Quito esta en el Ecuador y en América del Sur
p : Quito está en el Ecuador. V
q : Quito está en América del Sur. V
Si p es verdad y q es verdad, la proposición es verdadera de acuerdo a la ley
fundamental.
b)4-2=2 y 6+1=5
p : 4-2=2. V
q : 6+1=5. F
Si p es verdad y q es falsa, la proposición es falsa de acuerdo a la ley fundamental.
10. Sean p y q proposiciones, la disyunción entre p y q se representa por p q .
Se lee: p o q . Se pueden unir dos proposiciones simples usando la disyunción “o”.
Ejemplos
La Física es una ciencia o cero más uno es dos.
Es democracia o es dictadura.
El gato blanco o el gato negro.
12. Ejemplo
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a) El hierro es gas o el oxígeno es metal
: El hierro es gas. F
: El oxígeno es metal. F
El valor de verdad de es F
b) El sodio es un elemento químico o el helio es metal
: El sodio es un elemento químico. V
: El helio es metal. F
El valor de verdad de es V.
13. Sean p y q proposiciones, la disyunción exclusiva entre p y q se representa por .
Se lee: “ op o q ”, Se pueden unir dos proposiciones simples usando la disyunción
exclusiva.
Ejemplos
O Saturno es un planeta o cero más uno es cero.
O Napoleón fue emperador o Montalvo fue militar.
Si ambas proposiciones son verdaderas o son falsas, la proposición compuesta es falsa.
Así:
14. Ejemplo
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a) O el hierro es metal o el oxígeno es gas.
p : El hierro es metal. V
q : El oxígeno es gas. V
El valor de verdad de es F.
b)O el sodio es un elemento químico o el oxígeno es metal.
p : El sodio es un elemento químico. V
q : El oxígeno es metal. F
El valor de verdad de es V.
15. Sea p una proposición, la negación de p se representa por p . Se lee: “no p ”. De toda
proposición se puede formar otra que exprese todo lo contrario, constituyéndose en una
negación. Así:
Solo hay dos posibilidades y no cuatro como en los casos anteriores.
Se puede negar usando: “no”, “es falso que”, “no es verdad que”, “no es cierto que
que”.
16. Ejemplo
Sea la proposición : 4+3=7.
Escribir la negación de .
Solución:
a) p 4+3 7
b) p Es falso que 4+3=7
c) p No es verdad que: 4+3=7
d) p No es cierto que: 4+3=7
El valor de verdad de p es V y el de a), b), c), d) es F puesto que niega lo que afirma p.
17. Sean p y q proposiciones, la conjunción negativa entre p y q se representa por p q .
Se lee: “no y no ”
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
Si ambas proposiciones son falsas, la proposición compuesta es verdadera, en caso
contrario es falsa. Así:
18. Sean p y q proposiciones, el condicional entre p y q se representa por . Se lee:
“ p implica q ”, “Si p entonces q ”, “ p solamente si q ”, “ p sólo si q ”. En la
proposición p q, es el antecedente, hipótesis o premisa; es el consecuente,
conclusión o tesis.
Ejemplos
Si Einstein desarrolló la teoría de la relatividad entonces el hierro es magnético.
La ley se aprueba sólo si hay mayoría en el congreso.
El condicional de dos proposiciones es falso si es verdadera y es falsa, pues, una
verdad no puede implicar una falsedad. Así:
19. Ejemplo
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a) R: 5=5 implica que 2+3=5
: 5=5. V
: 2+3=5. V
R es verdadera.
b) R: Si 2=2, entonces 1=0
: 2=2. V
: 1=0. F
R es falsa.
20. Sean p y q proposiciones, el bicondicional entre p y q se representa por p q . Se lee:
“ p si y sólo si q ”, “ p si y solamente si q ”, “ p cuando y sólo si q ”.
Ejemplos
El metano es gas si y sólo si la ballena es mamífero.
Bolívar fue argentino si y solamente si Sucre fue presidente.
Se debe notar que los ejemplos dados son proposiciones matemáticamente correctas,
pero, en el lenguaje corriente pueden resultar un poco raras.
21. El bicondicional de dos proposiciones es verdadero si las dos proposiciones son
verdaderas o las dos son falsas Así:
22. Ejemplo
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a) R: 2+3=5 si y solo si 4-3=0
: 2+3=5. V
: 4-3=0. F
R es falsa
b) R: 7+2=5 si y solo sí 1=0
: 7+2=5. F
: 1=0. F
R es verdadera
23. Es una forma concisa de determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, en
función de las variables , … y de los operadores.
Ejemplo
Desarrollar la tabla de verdad de .
Debido a la existencia de dos variables proposicionales el número de posibilidades es , donde
es el número de variables, es decir 4. Así:
24. Es necesario conocer el orden en que se desarrolla la tabla de verdad. Se
recomienda usar las siguientes reglas:
1.Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis, hay
que desarrollar en valor de verdad de los paréntesis internos, como en Álgebra.
2.Si una proposición compuesta está unida por comas (,) se debe desarrollar
primero lo que está antes y después de la “coma” antes de unir las proposiciones
simples con el operador principal.
3.Si no hay paréntesis, se debe desarrollar la tabla de verdad en orden de
acuerdo a la jerarquía de los operadores, esto es, Puesto que la conjunción y
la disyunción tienen igual jerarquía, se deberá establecer cual va a predominar.
4.Si no hay “comas” ni paréntesis se debe especificar el operador que va a
predominar, con lo cual no entraría en vigencia la regla 3.
26. Una proposición compuesta es una tautología si es verdad para cualquier proposición, es
decir la última columna de su tabla de verdad es V.
Ejemplo
Demostrar que ( p q) (p q) es una tautología
27. Una proposición compuesta es una contradicción si tiene solo F en la última columna de su
tabla de verdad.
Ejemplo
Determinar si p p es una contradicción
Solución:
La forma proposicional dada es una contradicción.
Una proposición compuesta es una contingencia si se tienen algunas
proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las
variables proposicionales.
Observaciones
1. La negación de una tautología es una contradicción.
2. La negación de una contradicción es una tautología.
28. Dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si P Q es una tautología.
Ejemplo
Demostrar que p q p q
Solución:
Se desarrolla la tabla de verdad de ( p q) ( p q)
29. p q (p q) ( q p) p q p q p (p q) p
p q q p p (p q) p p q (p q)
p q ( p q) ( p q) p q p q (p q) p q
30. Sean P y Q proposiciones, P implica lógicamente a Q si P Q es una tautología.
Ejemplo
Demostrar que p q p q
Solución:
Se desarrolla la tabla de verdad de (p q) (p q)
31. Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes, se las considera como
leyes y se las aplica para simplificar proposiciones grandes.
Ley de Ídem potencia Ley de Complemento
P P P F V P P F
P P
P P P V F P P V
Leyes asociativas Leyes distributivas
(P Q) R P (Q R) P (Q R) (P Q) (P R)
(P Q) R P (Q R) P (Q R) (P Q) (P R)
Leyes conmutativas Leyes de identidad
P Q Q P P F F P F P
P Q Q P P V P P V V
Leyes de Morgan
(P Q) P Q
(P Q) P Q
32. Ejemplo
Simplificar (p q) (p q)
( p q) (p q) Ley de Morgan
( q p) ( q p) Ley conmutativa
q ( p p) Ley distributiva
q V Ley de complemento
q Ley de identidad
33. 1.- Determine si las siguientes frases son proposiciones. Justifique su respuesta.
Esta haciendo frío
Realice su tarea
7 + 3 = 12
Quito es la capital del Ecuador
Cinco menos dos es igual a cuatro
El 13 de diciembre del 2001 fue viernes
El 5 en un número racional
2.- Decida cuál de las siguientes frases es una proposición compuesta
3+2=5 y 8-5=4
Llueve y tengo frío
Si María esta feliz entonces su madre también lo es
Simón Bolívar nació en Venezuela y José Martín nació en Cuba
Estudio matemáticas o voy a la fiesta
34. 3.- Decida si cada una de las proposiciones siguientes que incluyen un cuantificador es
verdadera o falsa
a) Todos los números racionales son números irracionales
b) Cada número natural es un número cardinal
c) Existe un número entero que no es número cardinal
d) Para todo x elemento de los números reales Existe un y elemento de los números
reales tal que x + y = 0
e) Existe un número irracional que es número entero
4.- Construya las siguientes tablas de verdad e identifique si representan una
tautología, falacia o ninguna de ellas
a) p q q r p r
b) p p p q q p
c) q p p s r s
d) p q p r r p
35. 5.- Utilizando las leyes del algebra de proposiciones simplificar
a) p q p q q
b) p q p q
c) q q p
d) p q q p
e) p q p q p p q
6.- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) 4 2o 4 2
b) Si 2 < 5 entonces -5 > -2
c) 10 – 4 = 5 o
d) 5 + 5 = 25 si y solo si 6 – 3 = 3
e) 62=36 si y solamente si 9 + 3 = 12
36. 7.- Suponga que p y q representan proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones
falsas. Encuentre le valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) q r p s
b) r q s p
c) p r s p p q
d) q r p q s q
e) s p q q s p
