1. Derivadas
Estudio de diferentes tipos de funciones y el c´lculo de la
a
derivada
Curso de An´lisis Real
a Prof. Alberto Soto

2. Tipos de funciones
• Funciones reales de variable real
• Funciones reales de variable vectorial (campo escalar)
• Funciones vectoriales de variable real (curvas)
• Funciones vectoriales de variable vectorial (campos vec-
toriales)

3. Funciones reales de variable real
El c´lculo de la derivada en este caso corresponde a la pro-
a
ceso usual de calcular la pendiente de la recta tangente en
el punto (x, f (x)).

4. Funciones reales de variable vectorial (campo escalar)
En este tipo de funciones utilizamos las derivadas parciales,
en el caso de dos dimensiones permite calcular la ecuaci´no
del plano tangente. Vemos esto con m´s detalle.
a

5. Si z = f (x, y) indica que la variable z depende de x y de
y. Por lo que se puede derivar con respecto a una variable,
considerando la otra como una constante. Esto es lo que
significa derivar parcialmente. Se define el vector gradiente
como
∂f ∂f ∂z ∂z
f = (fx, fy ) = , = ,
∂x ∂y ∂x ∂x
Este vector permite calcular derivadas direccionales por
medio de la igualdad
Dfµ((x0, y0)) = f (x0, y0) · µ
donde el producto indicado es el producto escalar o producto
punto.

6. Al ver el punto (x0, y0, f (x0, y, 0)) en la superficie, se nota
que los vectores u = (1, 0, fx(x0, y0)) y v = (0, 1, fy (x0, y0))
son los vectores directores del plano tangente por lo que
n = u × v = (fx(x0, y0), fy (x0, y0), −1)
es el vector perpendicular al plano. Por lo que la ecuaci´n
o
del plano tangente es
n · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0

7. Funciones reales de variable real definidas impl´
ıcitamente
Lo indicado para las derivadas parciales, es util para
´
calcular la derivada de una funci´n univariada definida
o
impl´
ıcitamente, por medio de la ecuaci´n F (x, y) = 0. Ya
o
que, como es una funci´n constante su derivada, vista como
o
funci´n de dos variables, es cero. As´
o ı
dy Fx
DF = Fxdx + Fy dy = 0 ⇒ =−
dx Fy

8. Funciones reales de variable vectorial definidas
impl´
ıcitamente
En forma semejante al caso con una variable, si se tiene una
ecuaci´n F (x, y, z) = 0, la cual define una funci´n de dos
o o
variables z = f (x, y) se calculan las derivadas parciales
∂z Fx ∂z Fy
zx = = − y zy = =−
∂x Fz ∂y Fz
Por lo que Dz = (z) = (zx, zy )

9. Funciones reales de variable real definidas en forma
param´trica. (Curvas Planas)
e
Ahora las variables x y y dependen de una tercera variable,
digamos t, as´ x = x(t) y y = y(t). Se puede calcular la
ı
derivada al considerar la funci´n G : R → R2 cuya derivada
o
es DG = G (t) = (x (t), y (t)). Para calcular la pendiente
de la recta tangente a una curva en el punto (x(t0), y(t0)),
basta con ver el ´ngulo de este vector con el eje X, que en
a
este caso es m = x (t) justificable tambi´n al usar la regla de
y
(t)
e
la cadena
dy
dy dy dt dt y (t)
Dy = = · = dx
=
dx dt dx dt
x (t)

10. Funciones reales de variable vectorial definidas en forma
param´trica con un par´metro. (curvas en el espacio)
e a
La situaci´n se simplifica, pues ya no hay pendiente de la
o
recta tangente, solo se calcula el vector director y se utiliza la
ecuaci´n vectorial de la recta para describirla: L : P − P0 =
o
vt. As´ si x = y(t), y = y(t) y z = z(t). Para calcular
ı,
la ecuaci´n de la recta tangente a una curva en el punto
o
(x(t0), y(t0), z(t0)) se utiliza la f´rmula
o
(x − x(t0), y − y(t0), z − z(t0)) = (x (t0), y (t0), z (t0))t

11. Funciones vectoriales de variable vectorial. Campos
vectoriales.
En este caso f : Rn → Rm, para simplificar el ejem-
plo supondremos m = 3 y n = 2, as´ f (x, y) = ı
(f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)) cada una de las funciones fi son
campos escalares. Para calcular la derivada definimos la ma-
triz Jacobiana, con tantas columnas como la dimensi´n delo
espacio dominio y filas como la del codominio.
 
f1x f1y
Df =  f2x f2y 
f3x f3y
Tambi´n se define el Jacobiano, como el determinante de la
e
matriz anterior, cuando este definido.

12. Regla de la cadena
Ahora se mezclaran los tipos anteriores de funciones para
calcular la derivada de funciones compuestas.
Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rp funciones derivables
entonces se sabe que la composici´n de f y g, la funci´n
o o
g ◦ f : Rn → Rp es una funci´n derivable y la derivada de
o
g ◦ f se calcula por medio de la f´rmula
o
D(g ◦ f ) = Dg(f ) · Df
Donde el producto indicado se modifica dependiendo del tipo
de expresiones se tengan.

13. Caso particular
Suponga que z = f (x, y) y que x = x(t) y y = y(t), todas
funciones derivables ¿Cu´l es dz ?
a dt
2
Defina G : R → R tal que G(t) = (x(t), y(t)). G es una
curva derivable y DG = (x (t), y (t)), como z = F (t) =
(f ◦ G)(t) entonces
dz
F (t) = = Df (G) · DG = f (G(t)) · DG(t)
dt
= (fx(G(t)), fy (G(t))) · (x (t), y (t))
= fx(G(t))x (t) + fy (G(t))y (t)
Aqu´ la multiplicaci´n es el producto escalar.
ı, o

14. Funciones reales de variable vectorial definidas en forma
param´trica con varios par´metros. (superficies)
e a
Se har´ el calculo con dos variables que dependen de tres
a
variables, de forma que la situaci´n es que z = f (x, y) y
o
x = x(u, v, w) y y = y(u, v, w). As´ defina G : R3 → R2
ı,
tal que G(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w)), de esta forma
z = (f ◦ G)(u, v, w), por lo que:
Dz = Df (G) · DG = f (G) · DG
xu xv xw
= (fx(G(u, v, w)), fy (G(u, v, w))) ·
yu yv yw
= (fxxu + fy yu, fxxv + fy yv , fxxw + fy yw )
∂z ∂
En particular ∂u
= f (x, y) · ∂u (x, y) = (fx, fy ) · (xu, yu) =
f x xu + f y yu

15. Otra mezcla para usar la Regla de la cadena
Suponga que F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)), x = x(u, v) y
y = y(u, v). Defina G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) entonces,
F = (f1, f2) ◦ G es una funci´n Vectorial de dos variables u
o
y v, usando la regla de la cadena:
f1x(G) f1y (G) xu xv
DF (u, v) = DF (G)·D(G) = ·
f2x(G) f2y (G) yu yv
En particular se tiene que
∂(x, y)
fi(u, v) = fi(x, y) ·
∂(u, v)
xu xv
= (fix, fiy ) ·
yu yv
= (fixxu + fiy yu, fixxv + fiy yv )