Algebra Lineal

1. Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente de
A si podemos transformar A en B mediante una combinación de
las operaciones elementales de fila:
Multiplicar una fila de A por un número real
cualquiera diferente de cero.
 Intercambiar
filas.
 Sumar a una fila de A cualquier otra fila.

2. Ejemplo:
A=
f1←f1 + 3f2

3. Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de
izquierda a derecha fila a fila.
Ejemplo:

4. Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y en sus
respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.
Una matriz es reducida por filas si cumple lo siguiente:
1. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, es 1
2. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay ceros
Ejemplo:

5. Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferente
de cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la fila
anterior.
Pivotes

6. Ejercicio:
Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su forma
escalonada reducida por filas.
Matriz escalonada
por filas
F4←F4 - 4F1

7. Matriz escalonada
reducida por filas.

8. MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una
matriz que denotemos por A-1 que cumple:
A · A-1 = A-1 · A = I
*Encontrar una matriz B de modo que
A · B = B · A = I
Cuando tenemos este caso decimos que dicha
matriz B que cumpla las condiciones anteriores es
la matriz inversa de la matriz A

9. Para:
A · A-1 = A-1 · A = I
Donde I es la matriz identidad. En este caso se dice que
A-1 es la inversa de A
Notamos que:
A · A-1 son conmutables

10. PROPIEDADES
(A · B)-1 = B-1 · A-1
(A-1)-1 = A
(k · A)-1 = k-1 · A-1
(A t)-1 = (A -1)t
No toda matriz cuadrada tiene inversa, la
condición es que su determinante sea
diferente de cero

11. Cálculo de una matriz
inversa:
Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos la
matriz identidad luego aplicamos el método de
Gauss Jordan.
Al final debemos obtener la matriz identidad pero
en el lado izquierdo y lo que nos quede en el lado
derecho será nuestra matriz inversa.
(A|I) (I|A-1)
GAUSS

12. EJERCICIO
Hallar la matriz inversa de la matriz An

13. F2=F2 - F1 F3 F3+F2 F2 F2-F3
F1 F1+F2 F2<- (-1)F2

14. COMPROBACIÓN
A · A-1 = A-1 · A = I