Física de la visión (Teoría y Prácticas)

Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica

1.1. Principios y leyes fundamentales de la óptica geométrica.

1.1.1. Introducción.

Óptica, rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento de
la luz. En un sentido amplio, la luz es la zona del espectro de radiación electromagnética
que se extiende desde los rayos X hasta las microondas, e incluye la energía radiante
que produce la sensación de visión. El estudio de la óptica se divide en dos ramas, la
óptica geométrica y la óptica física.

Puesto que existen dos formas de explicar la procedencia de la naturaleza de la
luz, nosotros emplearemos la definición de luz como onda electromagnética para
conceptos que aparecerán durante este tema que se centra en la franja de ondas visibles
comprendidas entre las ondas de rayos Ultravioletas hasta las de Infrarrojos.

Amarillo-verdoso
Azul-verdoso
Longitudes de onda corta

Longitudes de onda larga
Anaranjado
Amarillo
Violeta

Verde

Rojo
Azul

UV IR

400 500 600 700

2 3 4 5 6
1 10 10 10 10 10 10

Luz visible

Rayos X Ultravioleta UV Infrarrojos (IR)

Figura 1.1. Diagrama del espectro electromagnético en escala logarítmica.

¿Por qué la franja visible únicamente? Nosotros estudiaremos esta parte de la
óptica puesto que en la mayoría de eventos y fenómenos que ocurren en la naturaleza se
desprende luz en forma de onda cuya longitud está incluida dentro de esta franja.
Además, nuestros propios ojos solamente perciben los sucesos que desprenden luz
visible (¿te imaginas que nuestros ojos fueran sensibles sólo a los Rayos X o a las ondas
de radio?, no veríamos absolutamente nada pues los rayos X escasean en la naturaleza o
nuestra vida sería como una discoteca con luces de colores). También estudiamos esta
franja de ondas por su importancia práctica.

¿Qué condiciones han de verificarse para poder aplicar la teoría de la Óptica
Geométrica? El requisito principal que han de cumplir los objetos que estudiamos es
que todos ellos emitan luminosidad de longitud de onda mayor a la de la onda
electromagnética que empleemos para analizar el objeto.

Utilizando la Óptica Geométrica podremos explicar muchos conceptos tales
como el de reflexión pero, existirán conceptos que no podrán ser explicados mediante
esa teoría. Para explicar estos otros, como por ejemplo el de difracción, tendremos que
recurrir a la teoría de la Óptica Ondulatoria.
1
Física de la Visión Jaime Martínez Verdú


Tal y como se puede apreciar en la figura, con la
Óptica Ondulatoria se puede explicar cualquier concepto
de la Óptica Geométrica pero al revés no siempre se
cumple. Análogamente, con la Óptica Electromagnética
explica cualquier concepto y la Óptica Ondulatoria no
puede explicarlos todos.
Figura 1.2. Partes de la óptica.

1.1.2. Postulados.

1. La luz se propaga en forma de rayo. Las características principales del rayo va a
ser su dirección y sentido.

2. Un medio óptico se caracteriza por una cantidad n ≥ 1, denominada índice de
refracción definido como el conciente entre la velocidad c de la luz en el vacío y
la velocidad v de la luz en el medio, es decir:

c
n=
v
3. Principio de Fermat,

Fermat asigna a la luz un comportamiento reflexivo − como el de los seres
humanos − que le permite trazar un camino entre dos puntos siempre que lo va a
emprender. Este principio afirma lo siguiente:

“El camino que, entre todos los posibles, sigue un
rayo de luz para ir de un punto a otro, es aquel en que la luz δL = σ ∫ n(r )ds = 0 (1)
B r
A
emplea un tiempo mínimo.“

Feynman explica así el Principio de Fermat.

"Imagina que nos encontramos en la costa, B

lejos de la orilla, en un punto A y en el mar,
alejado de la orilla, una persona cae de una barca
en un punto B. Nosotros vemos el accidente y
podemos acudir corriendo y luego nadando. ¿Qué A

hacemos? ¿Vamos en línea recta? ¡Sí, sin Figura 1.3. Explicación de Feynman del Principio de
Fermat
duda!.....Sin embargo, si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta que
es ventajoso correr una distancia un poco mayor por tierra para disminuir la distancia
que debemos nadar, porque nos movemos más lentamente por el mar que por la tierra.
Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo ya que ésta es la
magnitud que interesa para salvar a la persona de morir ahogada. Pues bien, esto es lo
que hace la luz para ir de A hacia B cuando cambia de medio de propagación".

Como hemos dicho en repetidas ocasiones, la velocidad de propagación de las
ondas electromagnéticas y por lo tanto de la luz es c = 3·108 m/s en el vacío;
observaciones experimentales realizadas a partir de los inicios del siglo XIX (Fizean,
Foucault,...) y medidas posteriores han demostrado que en diferentes medios de
propagación (agua, vidrio, plástico,...) la luz tiene diferentes velocidades menores que c.

2


Podemos entonces definir un número n que llamaremos índice de refracción del
medio de propagación de manera que si v es la velocidad de propagación de la luz en el
medio, sea:

c
n= (2)
v

Así, si tenemos diferentes medios en los cuales la luz se propaga con
velocidades v1, v2,…, vi podremos asociar a esos medios diferentes índices de refracción
de modo que:

n1v1 = n2 v 2 = L = nn v n = c (3)

Consideremos ahora un haz de luz que se propaga en un medio de índice de
refracción n con velocidad v = c n ; después de un tiempo t habrá recorrido una
distancia S dada por:

AB = S = v·t (4)

En el mismo tiempo t un haz de luz, en el vacío, recorrería una distancia
A0 B0 = S 0 > S dada por:
A0 B0 = S 0 = c·t (5)

Teniendo en cuenta la relación (2):

A0 B0 = S 0 = n·v·t = n·S (6)

A la distancia n·S = ∆ la denominamos camino óptico. El concepto de camino
óptico es obviamente útil para comparar trayectorias luminosas recorridas en distintos
medios que, de otra manera, no serían comparables dado que en cada medio la luz se
propaga con diferente velocidad; en cambio, los diferentes tramos de trayectoria pueden
compararse a través de los caminos ópticos asociados, dado que éstos corresponden a
trayectorias todas recorridas en el vacío. Así por ejemplo, si un haz de luz recorre
tramos de trayectoria de longitudes S1, S2, S3,… Si e en medios de índices de refracción
n1, n2, n3,…, ni respectivamente.

Figura 1.4. Trayectoria de un haz de luz de tramos S1, S2, S3,…, Si en medios de índices
de refracción n1, n2, n3,…, ni.

La longitud total de la trayectoria será:

L = S 1 + S 2 + L + S i = ∑i S i (7)

3


Pero el camino óptico total estará dado por:

∆ = n1S1 + n2 S 2 + L + ni S i = ∑ i ni S i (8)

El camino óptico ∆ corresponde a la longitud de la trayectoria que la luz
recorrería, en el vacío, en el mismo tiempo que emplea para recorrer la trayectoria de
longitud L en los medios de índices de refracción n1, n2, n3,…, ni.

Volvamos ahora a considerar un haz de luz que se propaga desde A hasta B
atravesando varios medios de diferentes índices de refracción; es evidente que es
posible imaginar muchas o más bien infinitas trayectorias que unen los puntos A y B; el
principio de Fermat nos permite establecer cuál de todas las trayectorias imaginables es
la que efectivamente recorre el haz de luz. El principio de Fermat afirma que:

La trayectoria real de un haz de luz es la que se asocia al camino óptico
máximo, mínimo o estacionario.

Con relación al caso ilustrado en la figura anterior este principio nos dice que de
todas las trayectorias que pueden trazarse entre los puntos A y B la que realmente
recorre la perturbación luminosa es la que cumple con la relación:

D∆ = D ∑i ni Si = 0 (9)

1.1.3. Tipos de materiales.

Existen tres grandes grupos de tipos de materiales según su índice de refracción:

Medios Homogéneos e Isótropos: En éstos, el índice de refracción permanece
uniforme en la totalidad de su extensión.

Medios Heterogéneos: En los cuales el índice de refracción puede variar en
cada punto (no es constante en la totalidad del medio).

Medios Anisótropos: En este tipo de medios, el índice de refracción dependerá
del ángulo de incidencia del rayo.

1.1.4. Leyes de la Óptica Geométrica.

1. Las trayectorias de los rayos son reversibles. Si un rayo que va de A a B sigue el
camino óptico ∆, entonces para ir de B a A seguirá el mismo camino pero en
sentido contrario.

B

A

Figura 1.5. Caminos reversibles.
4


2. Reflexión.

Consideremos un haz de luz que viaja desde el punto A hasta el B reflejándose
sobre un espejo plano tal y como se muestra en la figura:

A
B

θ1
h1 θ1
θ2 θ2 h2

M P N
x

l
Figura 1.6. APB es una posible trayectoria para el haz de luz que de A a B.

Si n es el índice de refracción asociado al medio, el camino que recorre el haz de
luz y el camino óptico asociado tienen un valor de:

L = AP + PB = h12 + x 2 + h2 + (l − x )
2 2

∆ = n·L = n· AP + n·PB = n· h12 + x 2 + n· h2 + (l − x )
2 2

Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea del
valor de x, podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, es
decir imponiendo la condición (9):

D∆ = D ∑i ni Si = 0
d∆ d  − 2(l − x )
=  n· h12 + x 2 + n· h2 + (l − x )  = n·
2x
+ n· =0
2
2

dx dx   2 h12 + x 2 2 h2 + (l − x )
2 2

x
=
(l − x ) ⇒ sen(θ1 ) = sen(θ 2 ) ⇒ θ1 = θ 2
h +x h2 + (l − x )
2 2 2 2
1

Lo anterior implica entonces que la trayectoria real del haz de luz es la que se
asocia a la condición d∆ dx = 0 (principio de Fermat) y que ésta se satisface para
θ1 = θ 2 en valor absoluto (ley de reflexión).

Existen dos tipos de reflexión:

Reflexión Especular. Tiene lugar cuando los rayos de luz inciden sobre una
superficie lisa. Algunos metales como la plata y el aluminio absorben poco la luz blanca
y si construimos con ellos láminas metálicas muy pulimentadas podemos lograr que
reflejen la luz de tal manera que los rayos reflejados se vean con una intensidad
comparable a la de los rayos incidentes.
5


Reflexión difusa. Todos los cuerpos reflejan parte
de la luz que incide sobre ellos pero la mayoría producen
una reflexión difusa. La reflexión difusa se origina en los
cuerpos que tienen superficies rugosas, no pulidas: esto es
lo que nos permite ver los objetos que nos rodean sin
deslumbrarnos aunque que estén iluminados por una luz Figura 1.7. Reflexión difusa.
intensa.

3. Refracción.

Consideremos, por ejemplo, el caso de un haz de luz que se propaga desde el
punto A situado en un medio de índice de refracción n1 hacia un punto B situado en un
medio de índice de refracción n2; en este caso también podemos imaginar infinitas
trayectorias las cuales difieren por la posición del punto P sobre la interfase donde
incide la luz (Figura 8).
A

θ1
h1 θ1
N

M P
θ2 θ2 h2

x B

l
Figura 1.8. APB es una posible trayectoria para el haz de luz que de A a B.

Si n1 y n2 son los índices de refracción de cada medio, el camino que recorre el
haz de luz y el camino óptico asociado tienen un valor de:

L = AP + PB = h12 + x 2 + (l − x )2 + h22
∆ = n·L = n1 · AP + n 2 ·PB = n1 · h12 + x 2 + n 2 · (l − x ) + h2
2 2

Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea del
valor de x, podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, es
decir imponiendo la condición (9):

D∆ = D ∑i ni S i = 0
d∆ d  − 2(l − x )
=  n 1· h12 + x 2 + n 2 · (l − x ) + h2  = n 1 ·
2x
+ n2 · =0
2 2

dx dx   2 h12 + x 2 2 (l − x ) + h2
2 2

n 1·
x
= n2 ·
(l − x ) ⇒ n 1·sen(θ1 ) = n 2 ·sen(θ 2 ) Ley de Snell
h12 + x 2 h2 + (l − x )
2 2

6


- Refracción EXTERNA n1 < n2 y θ1 > θ 2 .
Refracción en
Superficies planas
- Refracción INTERNA n1 > n2 y θ1 < θ 2 .

Reflexión total. Consideremos dos medios de índices de refracción n1 y n2 (con
n2 > n1), y supongamos que una fuente de luz esté localizada en el medio de mayor
índice de refracción; nos proponemos analizar qué ocurre cuando la luz incide sobre la
interfase entre los dos medios. De acuerdo con la ley de Snell, n 1·sen(θ1 ) = n2 ·sen(θ 2 ) y
dada la condición n2 > n1, el ángulo de refracción θ1 resulta siempre mayor que el
ángulo de incidencia θ 2 ; esto implica que existe un θ 2,lim para el ángulo de incidencia
para el cual θ1 = π 2 o sea para el cual el rayo refractado es paralelo a la interfase.

Figura 1.9. Reflexión total. Los rayos que inciden en la interfase con los ángulos
mayores que θ se reflejan en el medio.
2 ,lim

Es obvio que el valor del ángulo límite para la reflexión interna total puede
calcularse fácilmente con la condición que si θ 2 = θ 2,lim entonces θ1 = π 2 ; esta
condición reemplazada en la ley de Snell para la interfase considerada nos da:

π π 
Si θ1 = ⇒ sen(θ1 ) = sen  = 1
2 2

n 1·sen(θ1 ) = n 2 ·sen(θ 2 ) ⇒ n 1·1 = n 2 ·sen(θ 2,lim ) ⇒ 1 = sen(θ 2,lim )
n
n2
 n1 
θ 2,lim = Arcsen
 

 n2 

Puesto que los rayos se alejan de la normal cuando entran en un medio menos
denso, y la desviación de la normal aumenta a medida que aumenta el ángulo de
incidencia hasta que se llega al ángulo crítico, para el que el rayo refractado forma un
ángulo de 90º con la normal, por lo que avanza justo a lo largo de la superficie de
separación entre ambos medios. Si el ángulo de incidencia se hace mayor que el ángulo
crítico, los rayos de luz serán totalmente reflejados. La reflexión total no puede
producirse cuando la luz pasa de un medio menos denso a otro más denso.

7


1.1.5. Convenio de signos.

I. Para el cálculo de distancias a lo largo del eje z se tomará como sentido positivo lo
que quede a la derecha, a no ser que se diga lo contrario.
II. El radio de curvatura del espejo que tengamos es positivo si el centro de curvatura
está a su derecha. Obviamente, si el radio de curvatura esta a la izquierda del
espejo.

C F A F C A

R R

Figura 5. R < 0 Figura 6. R > 0

III. Los segmentos normales al eje z serán positivos hacia arriba y negativos si son
dirigidos hacia abajo.

y
C F A C F A

y

Figura 7. y < 0 Figura 8. y > 0

IV. Los ángulos que se tomen respecto a una normal serán positivos si (uniendo de
rayo a la normal) tienen sentido horario o, por lo contrario, negativos si tiene
sentido antihorario.
V. Los ángulos que se tomen respecto al eje z serán positivos si (uniendo de rayo a la
normal) tienen sentido antihorario o, por lo contrario, negativos si tiene sentido
horario.

NORMAL N
θ 0 > 0 Respecto a Z y sentido AH
θ1 > 0 Respecto a N y sentido H θ1 θ2
θ 2 < 0 Respecto a N y sentido AH
θ 3 < 0 Respecto a Z y sentido H θ0 θ3
EJE Z

Figura 1.10. Criterio de signos angular.

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1.2. Espejos.

Siempre que se observa un objeto por medio de un aparato de óptica, sencillo
como un espejo plano, o complicado como un telescopio, lo que se ve no es el objeto
sino su imagen con respecto a dicho aparato de óptica, imagen que puede ser del mismo
tamaño que el objeto, más grande, pequeña, derecha, invertida y real o virtual. Las
imágenes se forman porque, cuando los rayos de luz que provienen de un objeto
luminoso o iluminado llegan a un aparato de óptica, lo único que les sucede es que
cambian de dirección.

1.2.1. Espejo plano.

Por convenio, una imagen será real cuando los rayos reflejados tocan la imagen
producida por el objeto y será una imagen virtual cuando no lo toque. Por ejemplo,
cuando un individuo se coloca frente a un espejo plano, de todos sus puntos salen rayos
de luz que llegan al espejo, cambian de dirección y se reflejan en direcciones
divergentes por lo que no se cruzan, pero sus prolongaciones sí lo hacen precisamente
donde se forma su imagen, la cual se encuentra detrás del espejo, y no se puede recibir
en una pantalla, característica que distingue, como ya indicamos, a las imágenes
virtuales.
E
Espejo A pesar de usar la palabra “virtual”,
se sabe, por la experiencia cotidiana, qué
tan “real” puede parecer una imagen
D virtual y qué tan definida es su localización
C en el espacio que se encuentra por detrás
del espejo, aunque este espacio pueda, de
hecho, estar ocupado por una pared de
B ladrillos. Las imágenes en un espejo plano
defieren de los objetos en el hecho de que
la izquierda se intercambia por la derecha.
Así por ejemplo, si se hace girar un trompo
en el mismo sentido de rotación de las
A F manecillas de un reloj, su imagen vista a
Fuente de luz Imagen
través de un espejo vertical plano, girará en
Figura 1.11. Imagen de un objeto en un espejo plano. contra de las manecillas del reloj.

Las leyes de la reflexión afirman que el ángulo de incidencia es igual al ángulo
de reflexión, y que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal en el punto de
incidencia se encuentran en un mismo plano. Si la superficie del segundo medio es lisa,
puede actuar como un espejo y producir una imagen reflejada como se observa en la
figura anterior.

Un punto de A emite rayos en todas las direcciones. Los dos rayos que inciden
sobre el espejo en B y C, por ejemplo, se reflejan como rayos BD y CE. Para un
observador situado delante del espejo, esos rayos parecen venir del punto F que está
detrás del espejo. De las leyes de reflexión se deduce que CF y BF forman el mismo
ángulo con la superficie del espejo que AC y AB. En este caso, en el que el espejo es
plano, la imagen del objeto parece situada detrás del espejo y separada de él por la
misma distancia que hay entre éste y el objeto que está delante.

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1.2.2. Espejo parabólico.

En este espejo, todas las proyecciones de los rayos reflejados van a ir a parar a
un mismo punto, conocido como foco. Generalmente, este tipo de espejos son muy
empleados en telescopios ya que poseen la ventaja de eliminar la aberración esférica
(defecto que se produce en la imagen formada por un espejo esférico por el cual los
rayos de luz no convergen a un punto único, sino a una serie de puntos, cuyas distancias
al espejo son menores para los rayos de luz más próximos a la periferia del espejo).

Generalmente suele utilizarse la aproximación paraxial en un espejo esférico
para conseguir que el comportamiento del mismo sea lo más cercano al que posee un
espejo parabólico.

Figura 1.12. Imagen de un haz de luces en un espejo parabólico.

Otro uso muy común para los espejos con forma parabólica es el de componente
básico para las antenas parabólicas. De este modo, los rayos de ondas electromagnéticas
provenientes del infinito, por así decirlo, pueden concentrarse en el foco de la parábola.

1.12.1. Espejo elíptico.

Este tipo de espejos se caracteriza principalmente porque los rayos de luz no se
focalizan en el foco de donde proviene sino que los rayos provenientes de un foco se
concentran en el otro foco restante.

Figura 1.13. Imagen de un haz de luz en un espejo elíptico.

1.12.2. Espejo esférico.

Entre los espejos que no son planos, los más importantes son los esféricos, es
decir, aquellos cuya forma corresponde a un casquete esférico. Los espejos esféricos
pueden ser de dos clases: cóncavos, que reflejan la luz por dentro, y los convexos, que
son los que lo hacen por fuera. Para poder estudiar los fenómenos ópticos que se
presentan en los espejos esféricos, se necesita considerar las características que se
indicarán en seguida.
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En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:

Vértice: Es el centro A del espejo.
Centro de curvatura: Es el centro de la esfera de la que es parte el espejo considerado.
La distancia entre el vértice A y el centro de curvatura es R.
Eje principal o eje del espejo: Es la recta CA que pasa por el centro de curvatura y el
vértice.
Foco F: Es el punto que se encuentra a la mitad de la distancia entre el centro de
curvatura y el vértice. Se define como el punto imagen cuando sobre un espejo incide
luz paralela a su eje (objeto muy distante). La distancia entre el punto focal F y el
vértice A se denomina distancia focal f.
Aumento lateral: La relación entre la altura de la imagen y la altura del objeto se
denomina aumento lateral.

C F A

f

R

Figura 1.14. Partes de un espejo esférico.

Podemos encontrar gráficamente la imagen de cualquier punto fuera del eje,
utilizando los siguientes procedimientos:

• Un rayo que incide en el espejo después de haber pasado (o su prolongación) a
través del centro de curvatura C , regresa a través de su mismo camino. Esto se
debe a que tal rayo es perpendicular al espejo y por la ley de la reflexión si el
ángulo de incidencia es 90º, el de reflexión también será 90º.
• Un rayo que incide en el espejo paralelo a su eje, pasa (o su prolongación) a
través del punto focal F.
• Un rayo que incide en el espejo después de pasar (el rayo o su prolongación) a
través del punto focal, emerge paralelo al eje.

Antes de poder analizar los fenómenos que se producen cuando se coloca un objeto
delante de un espejo, hemos de conocer las siguientes fórmulas básicas:

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 n
σ ' = f − σ  y f Altura del objeto
  y ' f Altura de la imagen
1 1 1 

 + = ⇒ s f Distancia del objeto al vértice
 s s' f s ' f Distancia de la imagen al vértice
 y' s' 
β ' = = − β ' f Aumento lateral

 y s

Trazado de rayos.

y y
C F A C F A

y'
y'

s' s
s s'
Figura 19. Imagen real Figura 20. Imagen real

y'
y
C F y A C F A

y'

s s' s' s

Figura 21. Imagen virtual Figura 22. Imagen virtual

Si observamos con detenimiento la primera y última figura podemos observar
que a medida que nos alejamos del espejo, la imagen disminuye su tamaño.
12


13


1.3. Superficies Refractoras Esféricas.

14


1.4. Lentes.

15

FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 1
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

OPTICA GEOMÉTRICA
SUPERFICIES REFRACTORAS Y LENTES

1 SUPERFICIES REFRACTORAS ESFERICAS

Es sabido que prácticamente todos los instrumentos ópticos utilizan lentes y que las lentes tienen
superficies esféricas o planas que pueden fabricarse, por métodos mecánicos, a un costo
razonable; es importante entonces analizar que ocurre a un haz de luz que atraviesa una superficie
refractora esférica que normalmente es una de las superficies de las lentes.

Se llama superficie refractora esférica (S.R.E.) a una porción de superficie esférica que separa
dos medios de diferentes índices de refracción.

Si suponemos que la luz viaja de izquierda a derecha las superficies refractoras pueden
clasificarse de acuerdo con la concavidad con respecto a la luz incidente en cóncavas y convexas
tal como se muestra en la Figura 1.

n1 n2 n1 n2
Luz Luz
V C C V

a) b)

Figura 1. Superficies refractoras esféricas: a) convexa, b) cóncava.

La Figura también nos muestra que el centro de curvatura de la superficie se encuentra a la
derecha o a la izquierda según la superficie sea convexa o cóncava..


A la recta que pasa por el centro de curvatura de la S.R.E. y por su centro geométrico o vértice se
le llama eje óptico; las propiedades de convergencia de las S.R.E. dependen de su concavidad con
respecto a la luz incidente y de los índices de refracción de los dos medios. Si n2 > n1 (de aquí
en adelante consideraremos únicamente este caso) las superficies refractoras convexas son
convergentes, en el sentido que los rayos refractados convergen en algún punto produciendo una
imagen real del objeto fuente, mientras las superficies cóncavas son divergentes, en el sentido
que los rayos refractados no se cruzan dando así lugar a una imagen virtual del objeto fuente ( 1 ) .

P
θ1 θ2
O V I
C

n1 n2

N(a)

(a)

θ 2

θ1

O V
I C

n1 n2
(b)

(b)
Nota: La línea roja es la prolongación del rayo

Figura 2 Propiedades de convergencia de las S.R.E. Si n2 > n1 ,
la S.R.E. convexa es convergente (a), mientras la
S.R.E. cóncava es divergente, (b).

( 1) Las propiedades de convergencia se invierten si n2 < n1 como puede inmediatamente
comprobarse mediante la aplicación de la Ley de Snell.


2. Propiedades focales.

Las S.R.E. tienen dos focos que pueden ser reales o virtuales según la superficie sea convexa o
cóncava (para el caso n2 > n1 ).

Para el caso de una superficie convexa, y por lo tanto convergente, los focos pueden definirse así:

Primer foco: Punto desde el cual divergen los rayos que, refractados por la superficie esférica, se
vuelven paralelos al eje óptico.

F1 V C

n1 n2

Figura 3. Primer foco de una S.R.E. convexa .

o también: punto en el cual debe situarse el objeto fuente para que la imagen producida por la
S.R.E. esté localizada en el infinito.

Segundo foco: Punto en el cual convergen los rayos refractados por la S.R.E. cuando inciden
paralelos al eje óptico o también punto en el cual la S.R.E. forma la imagen de un objeto fuente
localizado en el infinito.


V C F2

n1 n2

Figura 4. Segundo foco de una S.R.E. convexa .

Para una superficie cóncava:

Primer foco: punto en el cual convergerían (si no hubiera S.R.E.) los rayos incidentes que
desviados por la S.R.E. se vuelven paralelos al eje óptico.

C V F1

n2
n1

Nota: Las líneas naranja son prolongaciones de rayos

Figura 5. Primer foco de una S.R.E. cóncava.

Como puede deducirse de la figura se trata de un foco virtual dado que en el punto F1 no hay
concentración de energía; en este caso el primer foco se encuentra a la derecha de la S.R.E..

Segundo foco: punto desde el cual aparentemente divergen los rayos refractados que inciden
paralelos al eje óptico.


F2 C V

N1 n2

Nota: Lsa líneas naranja son prolongaciones de rayos

Figura 6. Segundo foco de una S.R.E. cóncava.

F2 también es un foco virtual y está localizado a la izquierda de la superficie.

También se definen, para la S.R.E., los planos focales que son los planos perpendiculares al eje
óptico del sistema y que pasan por los focos.

Para las superficies convexas:

Primer plano focal (REAL)

Lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayos que cuando inciden sobre la
superficie esférica se refractan paralelos entre sí

Segundo plano focal (REAL)

Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayos refractados por la S.R.E.
cuando inciden paralelos entre sí.

Para las superficies cóncavas:

Primer plano focal (VIRTUAL)

Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergerían los rayos incidentes (si no hubiera
S.R.E.) que refractados por la superficie esférica se vuelven paralelos entre sí.


Segundo plano focal (VIRTUAL)

Lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergen los rayos refractados
producidos por rayos incidentes paralelos entre sí.

La siguiente figura ilustra gráficamente las anteriores definiciones.

Pf1

F1 V C

n1 n2

n1 n2 Pf2

V C F2

n1 n2
Pf1

C V F1



Pf

F C V

n1 n2


Figura 7. Planos focales de S.R.E. convexa y cóncava.

3. Fórmula de Gauss para S.R.E.

Vamos ahora a obtener una relación matemática que nos permita encontrar la posición de la
imagen producida por una S.R.E. cuando se conozcan sus características ( n1 , n2 , R ) y la
posición del objeto fuente. Como hicimos para los espejos esféricos establecemos antes unas
convenciones de signo que nos garanticen la validez de la fórmula cualquiera que sea la
superficie considerada.

- La luz viaja de izquierda derecha.

- Son positivas las distancias que se miden de izquierda a derecha y negativas aquellas que se
miden de derecha a izquierda.

- La distancia p del objeto a la S.R.E. se mide desde el objeto hacia el vértice.

- La distancia q entre la S.R.E. y la imagen se mide desde el vértice hacia la imagen.

- La primera distancia focal f1 se mide desde el primer foco F1 hacia el vértice; por lo
tanto f1 > 0 si el foco F1 es real, f1 < 0 si el foco F1 es virtual.

- La segunda distancia focal f 2 se mide desde el vértice hacia el segundo foco F2 ; por lo
tanto f 2 es positiva o negativa según sea real o virtual el segundo foco.


- El radio de curvatura R se mide desde el centro de curvatura C hacia el vértice; por lo
tanto R es positivo o negativo según la superficie sea convexa o cóncava.

Construyamos entonces la imagen I de un objeto puntual localizado sobre el eje óptico mediante
la simple aplicación de la ley de Snell a un rayo cualquiera (pero paraxial) que incide sobre la
S.R.E.

n1 n2
θ1 P

β θ2
o α v γ
K c

p r
q

Figura 8. Construcción de la imagen producida por una S.R.E.

Con relación a la Figura 8 aplicamos el teorema de los senos a los triángulos OPC y CPI y
obtenemos:

p+R R q− R R
= ; =
sen (π − θ1 ) sen α sen θ 2 sen γ

de donde:

p+ R q−R
sen θ 1 = .sen α ; sen θ 2 = .sen γ
R R

Es evidente que de acuerdo con la ley de Snell: n1 sen θ1 = n2 sen θ 2 , lo que implica:

p+R q−R
n1 .sen α = n2 .sen γ (1)
R R


En la aproximación de rayos paraxiales los ángulos α, γ son pequeños de manera que
sen α ≅ tan α y sen γ ≅ tan γ ; igualmente K , que es el pie de la perpendicular trazada
desde P hacia el eje óptico, coincide aproximadamente con V , de manera que OK ≅ OV = p ;
KI ≅ VI = q .

h
Teniendo en cuenta estas aproximaciones podemos remplazar en la ( sen α ≅ tan α ≅
1) ,
p
h
sen γ ≅ tan γ ≅ y obtenemos:
q

p+ R h q− R h
n1 . . = n2 . .
R p R q

de donde se obtiene fácilmente:

n1 n2 n2 − n1
+ = (2)
p q R

que es la llamada fórmula de Gauss para superficies refractoras esféricas.

A través de la (2) podemos facilmente obtener la localización de los focos teniendo en cuenta que
si p = f1 entonces q = ∞ y viceversa si q = f 2 entonces p = ∞ , lo cual implica:

n1 . R
f1 = (3)
n2 − n1

n2 . R
f2 = (4)
n2 − n1

de donde:

f1 n1
f2 = (5)
n2

es decir que las distancias focales son p
roporcionales a los índices de refracción de los dos
medios separados por la S.R.E..


4. Construcción gráfica de imágenes.

Sin recurrir a la fórmula de Gauss puede determinarse, con buena aproximación, la posición de la
imagen producida por una S.R.E. realizando construcciones gráficas de acuerdo con las siguientes
reglas:

a) Un rayo que para por el centro de curvatura no se desvía.

b) Un rayo que pase por (o se dirija hacia) el primer foco F1 (según éste sea real o virtual),
se refracta paralelamente al eje óptico.
c) Un rayo que incide paralelamente al eje óptico se refracta pasando por el segundo foco si
éste es real, o de manera que su prolongación pase por el segundo foco F2 si éste es
virtual.

La Figura siguiente muestra algunos casos de interés.

n1 n2

O C
V I

n1 n2

I
O C
F1 V F2

Nota : Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos


n1 n2

O
I V

F2 C F1

Nota : Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos

Figura 9. Tres diversos casos de construcción gráfica de imágenes.

Como puede verse en la Figura 9 una S.R.E. convexa (cuando n2 > n1 ) produce siempre imagen
real e invertida excepto cuando p < f 1 , caso en el cual se produce una imagen virtual y derecha;
una S.R.E. cóncava (para n2 > n1 ) siempre produce imágenes virtuales y derechas.

5 Aumento de una S.R.E.

Habiendo definido el aumento a través de la relación A = − I
0 podemos encontrar el aumento
de una S.R.E. haciendo referencia a la Figura 10.

n1 n2
B L

O
V C D
A
I

G E

Figura 10. Identificación de triángulos semejantes para la
determinación del aumento de una S.R.E.


Hay varios pares de triángulos semeja ntes:

a) La semejanza de los triángulos ABC y CDE nos da :

I q−R
A=− =− (6)
0 p+R

b) La semejanza de los triángulos ABF1 y F1CV :

I f1
A=− =− (7)
0 p − f1

c) La semejanza de los triángulos LVF2 y F2 DE :

I q − f2
A=− =− (8)
0 f2

FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

OPTICA GEOMETRICA
LENTES DELGADAS

Una lente es un sistema óptico limitado por dos superficies refractoras que tienen un eje en
común; por lo general las dos superficies son porciones de esfera o de plano y encierran un medio
cuyo índice de refracción es diferente con respecto a los índices de refracción que están a ambos
lados de la lente.

Cuando el espesor, medido en la dirección del eje de la lente, es lo suficientemente pequeño para
que pueda suponerse que la desviación de un rayo luminoso tenga lugar únicamente en el plano
que pasa por el centro de la lente, ésta se denomina lente delgada. Las lentes delgadas se
clasifican según la forma y según las propiedades de convergencia así:

Lentes Convergentes Lentes Divergentes

a) b) c) a1 )
1
b) c)
1

Figura 1. Propiedades de convergencia de lentes en aire.
a) Biconvexa b) plano-convexa c) menisco-convergente.
a') Biconvexa b') plano-cóncava c') menisco-divergente.

Es importante anotar que las propiedades de convergencia de una lente dependen de los medios
situados a los lados de ésta y que cuando estos medios no se especifican se entiende que la lente
está sumergida en aire.

Para estudiar los efectos de una lente delgada sobre los rayos luminosos, así como hicimos en el
análisis de los anteriores sistemas ópticos, utilizaremos la aproximación de rayos paraxiales y
supondremos que la lente sea lo suficientemente delgada para que las distancias con respecto a la

1


lente puedan medirse con respecto a un plano perpendicular al eje óptico del sistema y que pase
por el centro de la lente.

A

V1 C V2
C2 C1

B

Figura 2. Lente delgada. V1 ,V2 vértices de las dos S.R.E. que conforman
la lente, C1 ,C2 centros de curvatura de las S.R.E.; C centro
de la lente; AB plano con respecto al cual se miden las distancias
a la lente.

1 Propiedades focales.

Para las lentes convergentes se denomina primer foco F1 el punto desde el cual divergen los
rayos incidentes que cuando pasan por la lente se refractan paralelos al eje óptico.

F1

f1

2


F2

f2

Figura 3. Focos reales de una lente convergente.

Por otra parte se define segundo foco F2 el punto en el cual convergen los rayos refractados
que inciden, sobre la lente, paralelos al eje óptico.

Si por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente se obtienen los
planos focales que gozan de las siguientes propiedades:

Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayos
incidentes que se refractan paralelos entre sí.

Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayos
refractados cuando inciden, sobre la lente, paralelos entre sí.

Pf1

F1 C

3


Pf2

F2
C

Figura 4. Planos focales de una lente convergente.

Para las lentes divergentes se denomina primer foco F1 el punto hacia el cual aparentemente
convergen los rayos incidentes que se refractan paralelos al eje óptico.

F1

f1

F2

f2

Figura 5. Focos virtuales de una lente divergente.

Por otra parte se define segundo foco F2 el punto desde el cual aparentemente divergen los
rayos refractados que inciden paralelos al eje óptico.

4


Si por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente, se obtienen los
planos focales que gozan de las siguientes propiedades:

Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos hacia los cuales convergerían (en ausencia
de la lente) los rayos incidentes que se refractan paralelos entre sí.

Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergen
los rayos refractados que inciden paralelos entre sí.

Pf1

F1

Pf2

F2

Figura 6. Planos focales de una lente divergente.

5


Como puede d
educirse de las definiciones y de las Figuras 3, 4, 5, 6, los focos y los planos
focales son reales para lentes convergentes y virtuales para lentes divergentes.

2 Fórmula de Gauss para lentes delgadas.

Utilizando la aproximación de rayos paraxiales y las convenciones de signo que ya hemos
establecido para las S.R.E. vamos ahora a obtener una relación matemática mediante la cual es
posible calcular la posición de la imagen producida por una lente delgada cuando se conozca la
posición de objeto fuente y las características del sistema óptico. Para lograr el objetivo
determinaremos la posición de la imagen producida por la primera S.R.E. y utilizaremos esa
imagen como objeto fuente para la segunda S.R.E. Con relación a la Figura 7 , en la cual se ha
exagerado el espesor de la lente, calculamos a través de la fórmula para superficies refractoras , la
posición de la imagen I' producida por la primera S.R.E. así:

n1 n2 n − n1
+ = 2 (1)
p q' R1

n1 n2 n3
θ2 θ3
θ4
θ1

O C2 V1 C V2 C1 I I´

OV 1 = p ; V1C 1 = R1 ; V2C 2 = R2 ; V1 I' = q' ; V2 I = q
V1V2 = x ; V2 I' = p' , C = centro de la lente.

Figura 7. Imagen producida por una lente.

6


De acuerdo con lo que hemos dicho la imagen I' funciona ahora como objeto fuente de la
segunda superficie de la cual dista V2 I' = p' . Dado que, en este caso, esta distancia se recorre
de derecha a izquierda, I' es una fuente virtual para la segunda superficie y por lo tanto p' es
negativa, de manera, que para la segunda S.R.E. podemos escribir:

n2 n3 n − n2
− + = 3 (2)
p' q R2

Con relación a la Figura 7, es evidente que q' = x + p' , pero si la lente es delgada x ≅ 0 y por
lo tanto podemos decir que V1 ≡ C ≡ V2 y q' ≅ p' . Combinando las ecuaciones (1), (2) se
obtiene:

n1 n3 n − n1 n3 − n2
+ = 2 + (3)
p q R1 R2

Esta última ecuación es la que generalmente se denomina fórmula de Gauss para lentes delgadas
en su forma más general.

Si la lente está sumergida en aire n1 ≅ n3 ≅ 1 y está hecha con un material de índice de
refracción n la relación (3) se simplifica así:1

 1 1 
+ = ( n − 1) 
1 1
−  (4)
p q  R1 R2 

Es fácil ver que en este caso( 1 ) las dos distancias focales f1 y f 2 son iguales, de manera que
puede hablarse de la distancia focal f de la lente, la cual está dada por cualquiera de las dos
condiciones p = f y q = ∞ ó p = ∞ y q = f , en ambos casos se obtiene, según la (4):

 1 1
= ( n − 1) 
1
−  (5)
f  R1 R2 

Esta última relación se denomina fórmula del constructor de lentes porque evidentemente
permite construir una lente con una distancia focal predeterminada escogiendo el material con un

( 1 ) y en todos los casos en los cuales la lente está rodeada por un solo medio.

7


oportuno índice de refracción n y moldeándolo mediante superficies esféricas con los radios de
curvatura necesarios.

A la magnitud P = 1 f se le denomina poder de la lente; esta magnitud es obviamente positiva
para las lentes convergentes (que tienen distancia focal positiva dado que los focos son reales) y
negativa para las lentes divergentes (dado que éstas tienen focos virtuales y por lo tanto distancia
focal negativa); su unidad de medida es la dioptría equivalente naturalmente a m −1 ; por ejemplo
una lente cuyo poder sea P = +2 dioptrías es una lente convergente cuya distancia focal es 0.5
metros.

Combinando las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:

1 1 1
+ = (6)
p q f

ecuación formalmente idéntica a la ecuación para los espejos esféricos.

3 Construcción gráfica de imágenes.

Sin recurrir a la fórmula de Gauss es posible determinar, con buena aproximación, la posición de
la imagen producida por una lente delgada teniendo en cuenta que los rayos que pasan por (o se
dirigen hacia) el primer foco se desvían paralelos al eje óptico, los que inciden paralelos al eje
óptico se refractan de manera que pasan por (o divergen como si se generaran en) el segundo foco
y que los rayos que pasan por el centro de la lente no sufren desvia ción.

O
F1 F2
I
(a)

8


Figura 8. a) Imagen real producida por una lente convergente.
b) Unico caso ( p < f ) en el cual una lente convergente
forma una imagen virtual.
c) Una lente divergente siempre produce imagen virtual.

Con estas simples reglas podemos visualizar la imagen de cualquier objeto-fuente y determinar si
dicha imagen es real o virtual mediante construcciones gráficas, algunas de las cuales se
presentan en la Figura 8.

Tal como se muestra en la Figura 8 una lente convergente forma una imagen real e invertida
siempre que p > f , pero forma una imagen virtual y derecha cuando p < f (éste es el caso
que se presenta cuando se utiliza una lente convergente como lupa).

Por otra parte una lente divergente produce siempre imágenes virtuales y derechas cualquiera que
sea la posición del objeto-fuente.

4 Aumento de una lente - Fórmula de Newton.

Si definimos, como en los casos anteriores, el aumento de una lente a través de la relación

9


I
A=−
0

donde el signo negativo da cuenta de la inversión de la imagen real con respecto al objeto-fuente,
es posible calcular el aumento estableciendo relaciones de proporcionalidad entre lados
homólogos en varias parejas de triángulos semejantes que pueden determinarse analizando la
Figura 9.

AC = p ; CD = q ; F1C = f ;
CF 2 = f ; RF 1 = x1 ; F2 D = x 2
AB = GC = 0 ; CH = DE = I
Figura 9. Determinación del aumento de una lente.

a) A partir de los triángulos semejantes ABF1 y F1CH se obtiene:

I f
A=− = − (7)
0 x1

b) Si consideramos los triángulos semejantes GCF2 y F2 DE se obtiene:

I x
A= − = − 2 (8)
0 f

c) A través de los triángulos semejantes ABC y CHE obtenemos:

I q
A=− = − (9)
0 p

10


Las tres relaciones que hemos encontrado para el aumento son obviamente equivalentes; sin
embargo combinando las ecuaciones (7), (8) se obtiene:

x1 . x2 = f 2 (10)

esta relación denominada fórmula de Newton es particularmente interesante porque permite
localizar la imagen producida por la lente (en este caso su distancia con respecto al segundo foco)
conociendo la distancia focal de la lente y la distancia del objeto-fuente al primer foco; esto nos
permite decir que la fórmula de Newton es equivalente a la fórmula de Gauss.

11

Utilizando la aproximación de rayos paraxiales y las convenciones de signo que
ya hemos establecido para las S.R.E. vamos ahora a obtener una relación matemática
mediante la cual es posible calcular la posición de la imagen producida por una lente
delgada cuando se conozca la posición de objeto fuente y las características del sistema
óptico. Para lograr el objetivo determinaremos la posición de la imagen producida por la
primera S.R.E. y utilizaremos esa imagen como objeto fuente para la segunda S.R.E.
Con relación a la Figura , en la cual se ha exagerado el espesor de la lente, calculamos a
través de la fórmula para superficies refractoras , la posición de la imagen I' producida
por la primera S.R.E. así:

n1 n2 n2 − n1
− + = (1)
s s' R1

De acuerdo con lo que hemos dicho la imagen I' funciona ahora como objeto
fuente de la segunda superficie de la cual dista V2I’ = p’. Dado que, en este caso, esta
distancia se recorre de derecha a izquierda, I’ es una fuente virtual para la segunda
superficie y por lo tanto p’ es negativa, de manera, que para la segunda S.R.E. podemos
escribir:

n2 n n − n2
− + 3 = 3 (2)
s '+ x s ' ' R2

Con relación a la Figura 7, es evidente que q = x + p, pero si la lente es delgada x ≅ 0 y
por lo tanto podemos decir que V1 ≡ C ≡ V2 y q’ ≅ p’. Combinando las ecuaciones (1),
(2) se obtiene:

n1 n 2 n 2 − n1  n1 n 2 n 2 − n1
− + =  − s + s' = R
s s' R1 
⇒
1

n n n − n2  n n n − n2
− 2 + 3 = 3 − 2 + 3 = 3 +
s '+ x s ' ' R2   s '+ x s ' ' R2
n1 n 2  n 2 n  n − n 2 n2 − n1
− + + − + 3= 3 +
s s '  s '+ x s ' '  R2 R1

Sustituyendo los valores correspondientes tenemos lo siguiente:

n1 n2  n2 n  n − n2 n2 − n1 n n n n n − n2 n2 − n1
− + + − + 3= 3 + ⇒− 1 + 2 − 2 + 3 = 3 +
s s '  s '+ x s ' '  R2 R1 s s ' s '+0 s ' ' R2 R1

n1 n3 n3 − n2 n 2 − n1
+ = − +
s s' ' R2 R1
Como nosotros sabemos que el valor del índice de refracción n1 y el n3 es el
mismo ya que es el del agua, pues podemos simplificar la ecuación anterior:

nag − n2 n2 − nag  1 1 
⇒ nag · − +  = (nag − n2 )·
nag nag  1 1
− + = + R − R 
s s' ' R2 R1  s s' '   2 1 

Para obtener el valor del foco basta conocer que cualquier rayo proveniente del
infinito (s = + ∞) irá a parar al foco (s’’ = f ) o viceversa:

 1 1  1 nag − nlente  1 1 
nag · 0 +  = (nag − nlente )·
 1 nag R1 R2
 − ⇒ =  − ⇒ f =
 f 

 
 R2 R1  f nag R 
 2 R1  nag − nlente R1 + R2

Por tanto, queda demostrado que la distancia focal de un sistema de lentes
depende de el media donde esté sumergido.

Gráficas y diagramas.

Cuando se habla en fotometría de magnitudes y unidades de media se definen una
serie de términos y leyes que describen el comportamiento de la luz y sirven como
herramientas de cálculo. Pero no hemos de olvidar que las hipótesis utilizadas para
definirlos son muy restrictivas (fuente puntual, distribución del flujo esférica y
homogénea, etc.). Aunque esto no invalida los resultados y conclusiones obtenidas,
nos obliga a buscar nuevas herramientas de trabajo, que describan mejor la realidad,
como son las tablas, gráficos o programas informáticos. De todos los inconvenientes
planteados, el más grave se encuentra en la forma de la distribución del flujo luminoso
que depende de las características de las lámparas y luminarias empleadas.

Influencia de la luminaria en la forma del haz de luz.

A menudo no le daremos mucha importancia a este tema, como pasa en la iluminación
de interiores, pero será fundamental si queremos optimizar la instalación o en temas
como la iluminación de calles, decorativa, de industrias o de instalaciones deportivas.

A continuación veremos los gráficos más habituales en luminotecnia:

• Diagrama polar o curva de distribución luminosa.
• Diagramas isocandela.
o Alumbrado por proyección.
o Alumbrado público. Proyección azimutal de Lambert.
• Curvas isolux.

Diagrama polar o curvas de distribución luminosa

En estos gráficos la intensidad luminosa se representa mediante un sistema de tres
coordenadas (I,C, ). La primera de ellas I representa el valor numérico de la
intensidad luminosa en candelas e indica la longitud del vector mientras las otras
señalan la dirección. El ángulo C nos dice en qué plano vertical estamos y mide la
inclinación respecto al eje vertical de la luminaria. En este último, 0º señala la vertical
hacia abajo, 90º la horizontal y 180º la vertical hacia arriba. Los valores de C utilizados
en las gráficas no se suelen indicar salvo para el alumbrado público. En este caso, los
ángulos entre 0º y 180º quedan en el lado de la calzada y los comprendidos entre 180º
y 360º en la acera; 90º y 270º son perpendiculares al bordillo y caen respectivamente
en la calzada y en la acera.

1

Con un sistema de tres coordenadas es fácil pensar que más que una representación
plana tendríamos una tridimensional. De hecho, esto es así y si representamos en el
espacio todos los vectores de la intensidad luminosa en sus respectivas direcciones y
uniéramos después sus extremos, obtendríamos un cuerpo llamado sólido
fotométrico. Pero como trabajar en tres dimensiones es muy incómodo, se corta el
sólido con planos verticales para diferentes valores de C (suelen ser uno, dos, tres o
más dependiendo de las simetrías de la figura) y se reduce a la representación plana
de las curvas más características.

En la curva de distribución luminosa, los radios representan el ángulo y las
circunferencias concéntricas el valor de la intensidad en candelas. De todos los planos
verticales posibles identificados por el ángulo C, solo se suelen representar los planos
verticales correspondientes a los planos de simetría y los transversales a estos (C = 0º
y C = 90º) y aquel en que la lámpara tiene su máximo de intensidad. Para evitar tener
que hacer un gráfico para cada lámpara cuando solo varía la potencia de esta, los
gráficos se normalizan para una lámpara de referencia de 1000 lm. Para conocer los
valores reales de las intensidades bastará con multiplicar el flujo luminoso real de la
lámpara por la lectura en el gráfico y dividirlo por 1000 lm.

Matriz de intensidades luminosas

También es posible encontrar estos datos en unas tablas llamadas matriz de
intensidades luminosas donde para cada pareja de valores de C y obtenemos un
valor de I normalizado para una lámpara de flujo de 1000 lm.

2

Diagramas isocandela

A pesar de que las curvas de distribución luminosa son herramientas muy útiles y
prácticas, presentan el gran inconveniente de que sólo nos dan información de lo que
ocurre en unos pocos planos meridionales (para algunos valores de C) y no sabemos
a ciencia cierta qué pasa en el resto. Para evitar estos inconvenientes y conjugar una
representación plana con información sobre la intensidad en cualquier dirección se
definen las curvas isocandela.

En los diagramas isocandelas se representan en un plano, mediante curvas de nivel,
los puntos de igual valor de la intensidad luminosa. Cada punto indica una dirección
del espacio definida por dos coordenadas angulares. Según cómo se escojan estos
ángulos, distinguiremos dos casos:

• Proyectores para alumbrado por proyección.
• Luminarias para alumbrado público. Proyección azimutal de Lambert.

En los proyectores se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares con ángulos
en lugar de las típicas x e y. Para situar una dirección se utiliza un sistema de
meridianos y paralelos similar al que se usa con la Tierra. El paralelo 0º se hace
coincidir con el plano horizontal que contiene la dirección del haz de luz y el meridiano
0º con el plano perpendicular a este. Cualquier dirección, queda pues, definida por sus
dos coordenadas angulares. Conocidas estas, se sitúan los puntos sobre el gráfico y
se unen aquellos con igual valor de intensidad luminosa formando las líneas
isocandelas.

En las luminarias para alumbrado público, para definir una dirección, se utilizan los
ángulos C y usados en los diagramas polares. Se supone la luminaria situada dentro
de una esfera y sobre ella se dibujan las líneas isocandelas. Los puntos de las curvas
se obtienen por intersección de los vectores de intensidad luminosa con la superficie
de esta. Para la representación plana de la superficie se recurre a la proyección
azimutal de Lambert.

3

En estos gráficos, los meridianos representan el ángulo C, los paralelos y las
intensidades, líneas rojas, se reflejan en tanto por ciento de la intensidad máxima.
Como en este tipo de proyecciones las superficies son proporcionales a las originales,
el flujo luminoso se calcula como el producto del área en el diagrama (en
estereorradianes) por la intensidad luminosa en este área.

Además de intensidades y flujos, este diagrama informa sobre el alcance y la
dispersión de la luminaria. El alcance da una idea de la distancia longitudinal máxima
que alcanza el haz de luz en la calzada mientras que la dispersión se refiere a la
distancia transversal.

Curvas isolux

Las curvas vistas en los apartados anteriores (diagramas polares e isocandelas) se
obtienen a partir de características de la fuente luminosa, flujo o intensidad luminosa, y
dan información sobre la forma y magnitud de la emisión luminosa de esta. Por contra,
las curvas isolux hacen referencia a las iluminancias, flujo luminoso recibido por una
superficie, datos que se obtienen experimentalmente o por calculo a partir de la matriz
de intensidades usando la fórmula:

Estos gráficos son muy útiles porque dan información sobre la cantidad de luz recibida
en cada punto de la superficie de trabajo y son utilizadas especialmente en el
alumbrado público donde de un vistazo nos
podemos hacer una idea de como iluminan
las farolas la calle.

Lo más habitual es expresar las curvas
isolux en valores absolutos definidas para
una lámpara de 1000 lm y una altura de
montaje de 1 m.

Los valores reales se obtienen a partir de las curvas usando la expresión:

También puede expresarse en valores relativos a la iluminancia máxima (100%)
para cada altura de montaje. Los valores reales de la iluminancia se calculan
entonces como:

Ereal = Ecurva · E máx con

siendo a un parámetro suministrado con las gráficas.

4

Problemas resueltos
1. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd de
intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular la
iluminancia horizontal y vertical para los siguientes valores del ángulo alfa: 0,
30º, 45º, 60º, 75º y 80º.

Solución
Como vimos al hablar de magnitudes fotométricas, las componentes de la iluminancia,
se pueden calcular empleando las fórmulas:

Y dado que conocemos todos los datos (h = 2 m, I = 80 cd y los diferentes valores de
alfa) solo queda sustituir y calcular:

Como podemos ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma. Así pues, los
resultados finales son:

R (m) EH (lux) EV (lux) E (lux)
0º 0 20 0 20
30º 1.15 12.99 7.5 15
45º 2 7.07 7.07 10
60º 3.46 2.5 4.33 5
75º 7.45 0.35 1.29 1.34
80º 11 0.10 0.59 0.60

5

Si representamos el diagrama isolux de la superficie podemos observar que las curvas
son circunferencias, debido a que la intensidad es constante en todas direcciones, que
la iluminancia disminuye a medida que los puntos se alejan del foco y que la máxima
iluminancia se encuentra en la proyección de la fuente sobre la superficie (0º).

2. Una superficie circular de 3 m de radio está iluminada por una bombilla de 50
cd de intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura sobre el
centro de la plataforma. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre la
superficie.

Solución
En este caso nos piden la iluminancia sobre la superficie, es decir, la iluminancia
horizontal. Como la intensidad es constante en todas direcciones y la altura también el
valor de la iluminancia dependerá únicamente de la distancia de los puntos al foco. En
nuestro caso el punto más próximo es la proyección de la bombilla sobre la superficie
( = 0º) y los más alejados son aquellos que están en los bordes (R = 3 m).

Iluminancia máxima:

Iluminancia mínima (R = 3 m):

3. Tenemos un proyector situado en el techo de 0.04 m2 de superficie que
ilumina con una intensidad de 100 cd en cualquier dirección una mesa de 0.5 m2
de superficie. La mesa se puede considerar una superficie especular de factor
de reflexión de 0.8. Calcular la luminancia de la fuente y la luminancia de la mesa
para el observador de la figura.

6

Solución
Luminancia de la fuente:

Luminancia de la mesa:

Como la mesa no es una superficie reflectante perfecta una parte de la intensidad
luminosa que le llega es absorvida por esta. Esto quiere decir que en la fórmula de la
luminancia el valor de I estará afectado por el factor de reflexión.

4. Tenemos una luminaria simétrica situada en el centro de una habitación de 5 x
2 m a 3 m de altura del suelo. Calcular la iluminancia sobre los puntos marcados
en el dibujo a partir del diagrama polar de la luminaria. El flujo luminoso de la
lámpara es de 500 lm.

Solución
En este caso la intensidad no es uniforme ni constante en cualquier dirección y por ello
tenemos que trabajar con gráficos. Esto no supone ninguna complicación adicional
respecto a lo visto anteriormente y la mecánica y las fórmulas empleadas siguen
siendo las mismas. La única diferencia estriba en que los valores de la intensidad los
tomaremos de un gráfico polar, que en este caso depende sólo del ángulo alfa debido
a que la luminaria es simétrica.

Los pasos a seguir son:

• Calcular

7

• Leer I( ) relativo del gráfico

• Calcular la iluminancia

Iluminancia en a:

Iluminancia en b:

Iluminancia en c:

8

Iluminancia en d:

5. Un tramo de calle está iluminado por una farola de 10 m de altura y 10000 lm
de flujo luminoso cuyo diagrama isolux se adjunta.

Calcular la iluminancia en los siguientes puntos de la calzada:

9

Solución
Resolver este problema es muy sencillo, pues sólo hay que trasladar los puntos de la
calle al diagrama isolux dividiendo sus coordenadas por la altura de la luminaria, leer
los valores del gráfico y calcular la iluminancia con la fórmula.

Iluminancia en c:

Las coordenadas absolutas de c son: x = 15 m e y =12.5 m

Ahora las dividimos por la altura (10 m) para convertirlas en valores relativos que
situaremos sobre el gráfico:

xr = 1.5 ; yr = 1.25

A continuación leemos los valores relativos de la iluminancia del diagrama:

Coordenadas Er (lx/1000
relativas lm)
(1.5,1.25) 5 lx

Finalmente aplicamos la fómula y ya está.

10

Como se puede ver el proceso a seguir es siempre igual y los

Coordenadas Coordenadas
Punto Er (lx/1000 lm) E (lx)
absolutas relativas
a (20,0) (2,0) 100 10
b (0,5) (0,0.5) 25 2.5
c (15,12.5) (1.5,1.25) 5 0.5
d (0,10) (0,1) 25 2.5
e (25,5) (2.5,0.5) 1 0.1
f (30,15) (3,1.5) 1 0.1

Problemas propuestos
1. Tenemos una fuente luminosa puntual de 100 cd de intensidad constante en
todas direcciones situada sobre una plataforma rectangular de 20x10 m como la
de la figura. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre la superficie y la
iluminancia en los puntos (3, 10), (0, 15), (7, 20) y (10, 15).

Ver resultados

Coordenadas (15,4) (10,0) (3,10) (0,15) (7,20) (10,15)
E (lux) 11.10 0.0676 1.45 2.40 1.06 0.99

Ver solución

Coordenadas d (m) E (lux)
(15,4) 0 0º 11.10
(10,0) 16.16 79.48º 0.0676
(3,10) 5.1 59.53º 1.45
(0,15) 4 53.13º 2.40
(7,20) 5.83 62.77º 1.06
(10,15) 6 63.43º 0.99

2. Para la disposición de luminarias de la figura, calcular la iluminancia en el
centro de la placa (a) y en el punto b.

11

Ver resultados

Punto E (lux)
a 2.84
b 1.19

Ver solución

con

Como a está situada en el centro de simetrías de
la placa d1, d2 y d3 son iguales.

Conocidos d y h, sabemos el ángulo alfa.

Punto a 1 2 3 Ea
d 5.59 5.59 5.59
48.19º 61.78º 40.31º
E (lux) 1.19 1.17 0.48 Ea = 2.84
Punto b 1 2 3 Eb
d 10 11.18 5
63.43º 74.98º 68.20º
E (lux) 0.36 0.19 0.64 Eb = 1.19

3. Para el tramo de calle de la figura, calcular la iluminancia en los puntos a, b, c,
d, e y f. La farola mide 8 m de altura y la lámpara tiene un flujo de 15000 lm.
Asimismo, se suministran los diagramas polares de las luminarias referenciadas
a 1000 lm.

12

Ambos
Diagramas polares disponibles:

Ver resultados

Punto a b c d e f
E(lux) 21.09 19.06 15.08 15.72 6.15 11.17

Ver solución

Punto d (m) tan C Ir (cd/1000 lm) I (lm) E (lx)
a 0 0 0º 0º 90 1350 21.09
b 8 1 45º 90º 230 3450 19.06
c 4 0.5 26.6º 270º 90 1350 15.08
d 5 0.625 32º 180º 110 1650 15.72
e 14 1.75 60.3º 0º 210 3150 6.15
f 10 1.25 51.3º 45º 195 2925 11.17

4. Para el tramo de calle de la figura calcular las iluminancias de los puntos a, b,
c y d a partir de la matriz de intensidades luminosas de la luminaria.

90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º

0º 140 140 140 140 140 140 140
10º 120 130 130 135 160 200 230
20º 110 120 120 125 210 290 310
30º 100 110 115 160 300 320 330
40º 90 100 110 180 400 330 260
50º 70 80 100 200 450 190 110
60º 60 70 120 280 470 90 60
70º 30 20 60 230 300 60 20
Otros datos:
80º 5 8 10 15 35 40 15
90º 0 0 0 0 0 0 0
h = 10 m
cd / 1000 lm
= 20000 lm

13

Ver resultados

Punto a b c d
E(lux) 28 13.44 13 4.78

Ver solución

14

Problemas resueltos
1. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd de
intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular la
iluminancia horizontal y vertical para los siguientes valores del ángulo alfa: 0,
30º, 45º, 60º, 75º y 80º.

Solución
Como vimos al hablar de magnitudes fotométricas, las componentes de la iluminancia,
se pueden calcular empleando las fórmulas:

Y dado que conocemos todos los datos (h = 2 m, I = 80 cd y los diferentes valores de
alfa) solo queda sustituir y calcular:

Como podemos ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma. Así pues, los

R (m) EH (lux) EV (lux) E (lux)
0º 0 20 0 20
30º 1.15 12.99 7.5 15
45º 2 7.07 7.07 10
60º 3.46 2.5 4.33 5
75º 7.45 0.35 1.29 1.34
80º 11 0.10 0.59 0.60

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