1. EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA
ARITMÉTICA DISMAL
Cipriano Bonilla

2. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
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3. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
AGRADECIMIENTO
Agradezco primeramente a Dios por ayudarme durante estos 4 años de arduo estudio y
por permitirme realizar este trabajo para optar por el Título de Licenciado en Matemática.
A mi madre Alicia A. De Bonilla por todo su apoyo incondicional, a mi padre, a mis
hermanos y cada uno de mis familiares que me animaron a seguir y lograr mis metas.
Al Dr. JAIME GUTIÉRREZ, profesor del Departamento de Matemática, por su ayuda y
dedicación en el asesoramiento del material para la realización de este trabajo.
A la profesora Guadalupe Tejada, por su apoyo y a todo los profesores que han apoyado
a ser un mejor profesional.
A cada uno de mis compañeros de IV año de Licenciatura en Matemática y cada uno de
mis amigos por estar presto en ayudarme en los momentos difíciles.
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4. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
DEDICATORIA
A mis padres, a mis hermanos, familiares y a toda mi familia en Cristo. Por ser motivo
de inspiración de querer ser alguien en la vida y compartir este gran logro.
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5. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
INTRODUCCIÓN
Un curso de Teoría de Números “Elemental” incluye usualmente resultados clásicos y
elegantes, entre ellos podemos mencionar la ley de reciprocidad cuadrática, resultados de
conteo usando la fórmula de inversión de Möbius y otras funciones teórico-numéricas;
aún el teorema del número primo, sobre la densidad aproximada de los primos entre los
enteros, tiene una prueba difícil pero “elemental”. Otros temas en Teoría de Números
Elemental tales como: soluciones de sistemas de congruencias lineales (teorema chino de
los restos), solución de ecuaciones cuadráticas binarias (la ecuación de Pell y fracciones
continuas), números de Fibonacci, ternas pitagóricas, representación de enteros mediante
formas y ecuaciones diofánticas, resultan ser precursores de herramientas sofisticadas y
resultados importantes en otras áreas de la matemática.
En esta monografía se pretende incursionar, estudiar y dar a conocer algunos resultados
numéricos del Teorema de Bertrand en un nuevo tipo de aritmética, la Aritmética
Dismal, la cual fue publicada el 5 de Julio de 2010 por David Applegate, Marc LeBrunv
y Neil Sloane.
Para empezar veremos el teorema de Bertrand en la aritmética clásica, luego nos
introduciremos en la aritmética dismal donde veremos las operaciones básicas de suma y
producto dismal y otros analogías que se han desarrollado con el programa llamado
Wolfram Mathematica versión 8.0. Luego de esto nos centraremos en formular el
teorema de Bertrand en esta aritmética, haremos un programa que nos ayude a ver como
es el comportamiento de este teorema en esta aritmética y además obtener la suficiente
información numérica para comprobar con certeza de que este teorema sea cierto o falso
en esta aritmética. Por ultimo veremos una comparación del teorema de Bertrand en la
aritmética clásica versus la aritmética dismal.
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6. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
1. Antecedentes Históricos
1.1. El teorema de Bertrand en la Aritmética Clásica
Los números primos son los componentes fundamentales de todos los números enteros,
así como los átomos lo son de la materia. De este modo, el estudio de los números primos
es fundamental para entender a fondo las propiedades de los números naturales.
Recordemos que un número positivo p es primo si sus únicos divisores positivos son él
mismo y 1. Se tiene que todo número natural se expresa como producto de números
primos (de forma única salvo permutaciones).
El teorema de Bertrand dice que si n > 3 es un entero, entonces existirá al menos un
número primo p con n < p < 2n − 2. Otra formulación más débil pero más elegante es:
para todo n > 1 existe al menos un primo p tal que n < p < 2n.
Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1,
siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menor
que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primo
entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos
ocurra, tan grande como queramos.
Este teorema fue inicialmente formulado en 1845 por Joseph Bertrand (1822-1900). El
propio Bertrand verificó su certeza para [2, 3 × 106], es decir Joseph Bertrand verificó
que para cada entero n entre 2 y 6, 000,000 existe siempre como mínimo un primo entre n
y 2n. Ver [1]
J. Bertrand Chebyshov
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7. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
La demostración de esta conjetura la encontró Chebyshov (1821-1894) en 1850 y por
tanto el teorema también es conocido como Teorema de Bertrand-Chebyshov o Teorema
de Chebyshov. Ver [2]
Más tarde también dio una demostración P. Ërdos uno de los matemáticos más geniales
de este siglo, que la descubrió cuando tenía solo 18 años.
Ramanujan (1887-1920) dio una demostración más simple.
Las demostraciones nos las vamos a reproducir aquí, ya que resulta algo complicado de
seguir. Ver [3] y [4]
P. Ërdos S. Ramanujan
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8. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
2. Aritmética Dismal
Este artículo “Dismal Arithmetic” se publicó recientemente el 5 de julio del 2011,
podemos encontrar mucha más información en la página web de OEIS. Ver [5], [6] y [7]
Aritmética Dismal es como la aritmética que aprendimos en la escuela, sólo más simple:
no hay acarreos, cuando se agregan los dígitos que usted acaba de tomar la más grande, y
cuando se multiplican los dígitos de tomar la más pequeña.
Cuando se suman o multiplican números, seguiremos reglas similares a las nuestras, con
la excepción de que no hay que llevar dígitos a otras posiciones. Usaremos y para
dichas operaciones y los símbolos “+” y “x” para las operaciones en la aritmética clásica..
2.1. Operaciones Básicas
Aritmética dismal es un álgebra conmutativa en la que las operaciones en un solo
dígito se definen por:
a) Suma
Por ejemplo: 2 6=6
Para números con dos y más cifras se procede de la misma forma digito a digito,
por ejemplo:
169 36890
248 73448
269 76898
b) Producto
Por ejemplo: 3 7=3
Para números con dos y más cifras se procede de la misma forma digito a digito,
por ejemplo:
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9. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
57 35 345 826
55 345
33 222
355 345 _
34545
Observación: La resta y la división no están definidas en esta aritmética.
2.2. Otras analogías
En la aritmética Dismal usaremos como base la base 10, la identidad multiplicativa ya no
es 1, sino b-1, que sería 9.basica
Sea A, el conjunto de "dígitos" {0, 1, 2,. . ., b-1}, equipado con el binario de dos
operaciones: la suma y el producto.
 m n:= máx.{m, n},
 m n:= mín. {m, n}, para m, n Є A.
Como la resta y la división Dismal no están definidas, lo cual hace que los números
Dismales constituyan solamente un semianillo, la suma y el producto satisfacen las leyes
conmutativa y asociativa, además la multiplicación se distribuye sobre la suma. Esto es
por lo anterior mencionado de que los números Dismales constituyen un semianillo. Por
otro lado, este semianillo tiene una identidad multiplicativa y no hay divisores de cero.
Ver más en [8].
Observación: Para mayor información de esta interesante aritmética, dirigirse a la
monografía de Alberto Segura: Aritmética Dismal.
2.3. Primo Dismal
En la aritmetica Dismal, la identidad multiplicativa es el 9.
Por ejemplo:
9 3 = 3, 9 32=32
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10. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
De hecho, se deduce de la definición de multiplicación que la identidad multiplicativa es
el más grande numero de un solo dígito. En este caso sería el 9 y de hecho se puede
comprobar que 9 n = n para todo n.
De esto podemos definir lo siguiente:
 Para todo x entero, lo que es la única "unidad dismal" 9 tal que
los producto dismales de 9 x siempre es igual a x.
 Un primo dismal p no es el producto dismal de todos los números
excepto 9 y p.
 Si p es primo, entonces al menos un digito de p debe ser igual a 9.
Algunos primos Dismal son:
19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 109, 209, 219,309,
319, 329, 409, 419, 429, 439, 509, 519, 529, 539, 549, 609, 619, 629, 639, . . .
Una condición necesaria para que un número sea primo es que debe contener un digito
igual a 9. Si k es grande, casi todos los números de longitud k que contienen a 9 como un
digito y que no termine en cero son primos.
Observación: Debemos tener en cuenta que la presencia de un dígito igual a 9 es una
condición necesaria pero no suficiente para que un número sea primo.
Como sabemos el primo más pequeño en la aritmética común es el 2, en esta aritmética
el primo dismal más pequeño es el 19.
3. Formulación del teorema de Bertrand en La aritmética dismal.
En esta aritmética tenemos como unidad el 9 y el menor número primo es 19.
El teorema de Bertrand en la aritmética dismal seria asa: “Para cualquier número
natural n mayor que 9, existe un número primo p que cumple n < p < 19n” con 19n el
producto dismal de 19 por n.
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11. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
4. Operaciones de la aritmética dismal en Mathematica versión 8.0
Se utilizado el programa Wolfram Mathematica versión 8.0. Para ahorrar y facilitar el
cálculo y el manejo de cantidades numéricas, a continuación veremos los programas y su
metodología utilizados para desarrollar cada operación y cálculo necesario en esta
aritmética.
Producto Dismal
Explicación de cómo funciona este programa: Multiplicaremos dismalmente dos números
n y m.
r = IntegerLength[n]: guarda en r la cantidad de dígitos que tiene n.
s = IntegerLength[m]: guarda en s la cantidad de dígitos que tiene m.
a = IntegerDigits [n, 10]: descompone a n en cada uno de sus dígitos (a es un vector de
longitud r).
b = IntegerDigits [m, 10]: descompone a m en cada uno de sus dígitos (b es un vector de
longitud s).
c = Table[Min[a[[i]], b[[j]]], {j, s, 1, -1}, {i, 1, r}]: c es una lista de lista en cada lista se
guarda el mínimo de comparar cada uno de los elementos del vector a con cada uno de
los elementos del vector b.
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12. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
d = Table[FromDigits[c[[i]]]*10^(i - 1), {i, s}]:d es una lista que hace que cada lista de c
se convierta en un numero entero y además le añade i-1 ceros a la derecha como necesite
ese número.
e = Table[IntegerDigits[d[[i]], 10, r + s - 1], {i, s}]: se toma cada número de la lista d y
los descompone en cada uno de sus dígitos y los convierte en vectores de longitud r+s-1
añadiendo a la izquierda ceros hasta alcanzar esa longitud y se guardan en una lista e.
f = Table[Max[e[[All, i]]], {i, r + s - 1}]: toma la lista de lista y las acomoda en una
matriz de manera que cada la primera fila es la primera lista de e, la segunda fila es la
segunda lista y así sucesivamente, f es una lista que guarda en la posición uno el máximo
de la columna uno de la matriz y así sucesivamente.
FromDigits[f]: convierte la lista f en un número entero el cual es el resultado de
multiplicar n por m.
Función G[z_]
Como todo primo 10-dismal debe tener al menos un digito igual a 9 y no puede terminar
en cero (salvo 90), lo primero que haremos es eliminar del intervalo [m, n] los números
que no cumplen con estas condiciones. La función definida anteriormente realiza este
procedimiento para cualquier lista de números enteros.
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13. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
Ejemplo:
G[{3, 4, 9, 67, 19, 78, 99, 90, 43, 23, 56, 79}] = {9, 19, 99, 79}
Programa del Teorema de Bertrand
Esta función devuelve la cantidad de números primos dismales que hay entre un número
n y 19n.
be = ProductoDismal[19, n]: calcula el producto dismal de 19 por n.
primos = G[Table[i, {i, n, be}]]: aquí guardamos los candidatos a primos, ya que la
función G[Z_] devuelve una lista de números que contienen uno más dígitos iguales a 9.
compuestos1 = Union[compuesto, {9}]: esta es una lista que contiene todos los
productos dismales hasta 5 cifras y le añadimos la unidad.
primosncifras = Complement[primos, compuestos1]: cuando intersecamos los
candidatos a primos con los compuesto nos devuelve los primos dismales.
m = Length[primosncifras]: devuelve la longitud de la lista de los primos dismales, es
decir, la cantidad de primos dismales que hay entre n y 19n.
Ejemplos:
1) BertrandDismal[10] = 18 (18 primos en el intervalo [10,190])
2) BertrandDismal[99] = 2 (2 primos en el intervalo [99,199])
3) BertrandDismal[100] = 99 (99 primos en el intervalo [100,1100])
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14. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
Usos que le podemos dar a este Programa del Teorema de Bertrand
 Bert100 = Table[BertrandDismal[i], {i, 10, 100}]: devuelve una lista que
contiene la cantidad de primos que tiene cada número desde el 10 hasta 100.
{18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 16, 16, 16,
16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14,
14, 14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 11,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 99}
Esto lo podemos interpretar así: para n=10 hay 18 primos dismales, para n=11 hay 18
primos,… y para n=100 hay 99 primos.
 des = DiscretePlot[BertrandDismal[i], {i, 10, 100}]: muestra un gráfico del
resultado anterior de la siguiente manera:
Podemos hacer lo mismo para los números del 10 hasta 1000, obtendremos el siguiente
gráfico:
 esq = DiscretePlot[BertrandDismal[i], {i, 10, 1000}]
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15. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
Observación: Para n =99, el Teorema de Bertrand nos dice que en el inérvalo [99, 199]
hay 2 primos dismales y para cualquier otro n mayor que 9 habrá más de 2 primos
dismales.
Podemos seguir haciéndolo para números más grandes, pero necesitaríamos una
computadora más potente que nos permita hacer estos cálculos.
Programa del teorema de Bertrand en la Aritmética Clásica
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16. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
Hemos hecho este programa para mostrar el comportamiento del Teorema de Bertrand en
la Aritmética clásica, calculáremos la cantidad de primos que hay entre un numero m y
2m (su doble).
A continuación se explicara que hace cada parte del programa:
pro = 2 (m): calcula el producto clásico de 2 por m.
num = Table[i, {i, m, pro}]: devuelve una lista que inicia con el numero m , con un
aumento de uno en uno, hasta 2m.
primos = Table[Prime[n], {n, pro}]: devuelve una lista de los pro primeros primos, es
decir siempre nos devolver una lista con los 2m primeros primos.
primosBer = Intersection[num, primos]: devuelve los primos que se encuentra en el
intervalo [m,2m].
cont = Length[primosBer]: cuenta cuantos primos hay en el intervalo [m,2m]
Usos de este programa
 Podemos calcular lo siguiente:
1) BertrandClasico[10] = 4 (4 primos en el intervalo [4,8])
2) BertrandClasico[99] = 20 (20 primos en el intervalo [99,198])
3) BertrandClasico[100] = 21 (21 primos en el intervalo [100,200])
 BertCla100 = Table[BertrandClasico[i], {i, 2, 100}]: calcular cuántos primos hay
en el intervalo [m, 2m] para m desde 2 hasta 100.
{2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 7, 7, 8, 8, 9,
10, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 9, 10, 10, 10, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 13, 13,
12, 12, 13, 13, 14, 14, 13, 14, 15, 15, 14, 14, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 15, 15, 16, 16, 16, 16,
16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 20, 19, 20, 21}.
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17. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
 GraBertCla100 = DiscretePlot[BertrandClasico[i], {i, 2, 100}]: obtener el grafico
de lo anterior.
 GraBertCla1000 = DiscretePlot[BertrandClasico[i], {i, 2, 1000}]: obtener el
grafico desde 2 hasta 1000.
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18. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
Comparación de los gráficos del Teorema de Bertrand en ambas aritméticas
Para un intervalo de 2 a 100
 saa = DiscretePlot[{BertrandClasico[i], BertrandDismal[i]}, {i, 2, 100}]
1 2
1. Aritmética Dismal 2. Aritmética Clásica
Observación: el comportamiento del Teorema de Bertrand en ambas Aritmética parece
ser opuesto y un poco inconveniente para la Aritmética Dismal.
Veamos que pasa para un intervalo más grande.
2. Para un intervalo de 2 a 1000
 saa=DiscretePlot[{BertrandClasico[i],BertrandDismal[i]},{i,2,1000}]
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19. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
2
1
1. Aritmética Dismal 2. Aritmética Clásica
Observación: En la Aritmética clásica, sabemos que el propio J. Bertrand sabía que este
teorema era cierto de acuerdo a la evidencia numérica que poseía, pero no pudo
demostrarlo, Chebyshov 5 años después da la demostración a este teorema.
En la Aritmética Dismal podemos decir con toda certeza de que el Teorema de Bertrand
es cierto, es decir: “En el intervalo [n, 19n] siendo siempre habrá más de un
primo”, la evidencia numérica mostrada anteriormente es muestra de que es cierto.
Lo que faltaría es una demostración rigurosa, la cual alguien interesado y con ganas de
hacer Matemática, la hará algún día.
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20. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]
CONCLUSIÓN Y RECOMENDACIONES
 Con estos resultados comprobamos cuál es la densidad de los números primos
dismales. Como vemos, tiene una regularidad matemática sorprendente.
 El Teorema de Bertrand es cierto en esta aritmética, la evidencia numérica es una
muestra de que se cumple, lo que faltaría es una demostración rigurosa.
 Si queremos más evidencia numérica para este teorema y otros resultados es
necesario un software potente como Mathematica versión 8.0. y además de un
ordenador con la capacidad de manejar grandes cifras.
 Esta es una nueva aritmética, así que les animo a incursionar en otros temas
maravillosos y hacer mucha Matemática.
 También les recomiendo visitar los sitios web:
http://oeis.org/wiki/Template:Mathematics y http://mathematicsite.jimdo.com
donde puede encontrar valiosa información de este tema y otros que le podrían
interesar.
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21. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Postulado_de_Bertrand
[2] http://foro.migui.com/vb/showthread.php/11175-Teorema-de-Bertrand-Chebichev
[3] http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/
[4]http://usuarios.multimania.es/teoriadenumeros/bertrand.html
[5] http://oeis.org/wiki/Template:Mathematics
[6]http://oeis.org/search?q=PRIMES+DISMAL&sort=&language=english&go=B%C3%
Busqueda
[7] http://www2.research.att.com/~njas/doc/carry2.pdf
[8] http://oeis.org/A087061
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