1. Universidad Politécnica Estatal del Carchi
Comercio Internacional, Integración, Administración y
Economía Empresarial.
Escuela: Comercio Exterior y Negociación Comercial
Internacional
“Estadística Inferencial”
Tema: “PRUEBA DE HIPOTESIS”
Msc. Jorge Pozo
Autor:
Ramírez Goyes Carla Damaris
Nivel: sexto Paralelo: “A”
Marzo-Agosto 2012
Tulcán-Ecuador
2. Tema: Prueba de Hipótesis.
1. Problema: El desconocimiento de la prueba de hipótesis impide la realización y
desarrollo de problemas que posteriormente realizaremos en nuestra futura
carrera de Comercio Exterior y Negociación Internacional.
2.1 Objetivos General
Resolver y aplicar la prueba de hipótesis en ejercicios planteados para tener
un mejor progreso como competitivos en el futuro.
2.2 Objetivos Específicos
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Asumir el nivel se significación de la prueba
Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
Determinar elaborar el esquema de la prueba
Analizar calcular el estadístico de la prueba
3. 3. Justificación
El presente trabajo lo he realizado con la finalidad de aprender a determinar el
Chi-cuadrado, su importancia para conocer lo esencial que ayudara en la carrera
de comercio exterior y como profesionales en este campo y hacer la toma de
decisiones aplicando los pasos respectivos, al observar los resultados podemos
sacar muchas perspectivas, en donde estas son la acción de asociar una cosa con
otra que nos permiten razonar de forma rápida y analizar las cosas que están
aconteciendo.
4. PRUEBA DE HIPÓTESIS
La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para
describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la
información de una muestra para probar un reclamo o conjetura sobre la
población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El proceso que
corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se llama
prueba de hipótesis (Tenorio Bahena, Jorge, 2006).
Los términos prueba de hipótesis y probar una hipótesis s utilizan indistintamente.
La prueba de hipótesis comienza como una afirmación, o suposición sobre un
parámetro de la población, como la media poblacional (Tamayo y Tamayo, Mario,
2010).
Una prueba de hipótesis consiste en contratar dos hipótesis estadísticas. Tal
contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. La decisión
consiste en rechazar o no una hipótesis a favor de otra. (Lincoln L., 2008)
Hipótesis Nula (Ho).- Se refiere siempre a un valor específico del parámetro de la
población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el
subíndice cero no hay diferencia por lo general hay un “no” en la hipótesis nula que
indica que “no hay cambio” podemos rechazar o aceptar “Ho”. (Pick, Susan y López,
Ana Luisa., 2009).
Hipótesis Alternativa (Ha).- Es cualquier hipótesis que sea diferente de la nula
es una afirmación que se acepta si los datos muéstrales proporcionan evidencia
suficiente de que la hipótesis nula es falsa, se le conoce también como hipótesis de
investigación el planteamiento de hipótesis alternativa nunca contiene un signo de
igualdad con respecto al valor especificado del parámetro (Pick, Susan y López,
Ana Luisa., 2009).
5. Nivel de Significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como
nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar
la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel está bajo el control de
la persona que realiza la prueba (Lincoln L., 2008).
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área
de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la
hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones,
una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo
(aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no
se puede rechazar la hipótesis nula.
La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la
estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis nula
es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presentarse si
la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de
rechazo.
6. Tipos de errores.- Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de
hipótesis, ya sea de aceptación del Ho o de la Ha, puede incurrirse en error:
Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es
verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se
denomina con la letra alfa α
Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es
aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.
En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.
En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador
y las consecuencias posibles.
Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno, debe diseñarse de forma que
minimice los errores de decisión. En la práctica un tipo de error puede tener más
importancia que el otro, y así se tiene a conseguir poner una limitación al error de
mayor importancia. La única forma de reducir ambos tipos de errores es
incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible.
La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta β,
depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de la
7. población. Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la diferencia entre la
estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es grande, la
probabilidad de cometer un error de tipo II, probablemente sea pequeña.
El estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera, se
habrán apoyado exclusivamente en el análisis de una parte de ésta. De la
probabilidad con la que estemos dispuestos a asumir estos errores, dependerá, por
ejemplo, el tamaño de la muestra requerida. Las contrastaciones se apoyan en que
los datos de partida siguen una distribución normal
Existe una relación inversa entre la magnitud de los errores α y β: conforme a
aumenta, β disminuye. Esto obliga a establecer con cuidado el valor de a para las
pruebas estadísticas. Lo ideal sería establecer α y β.En la práctica se establece el
nivel α y para disminuir el Error β se incrementa el número de observaciones en la
muestra, pues así se acortan los límites de confianza respecto a la hipótesis
planteada. La de las pruebas estadísticas es rechazar la hipótesis planteada. En
otras palabras, es deseable aumentar cuando ésta es verdadera, o sea, incrementar
lo que se llama poder de la prueba (1- β) La aceptación de la hipótesis planteada
debe interpretarse como que la información aleatoria de la muestra disponible no
permite detectar la falsedad de esta hipótesis.
8. MARCO TEÒRICO
EJERCICIO1
El banco de préstamos estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros (Y)
mensuales Una muestra aleatoria de sus clientes reveló los siguientes datos en
dólares:
X 350 400 450 500 950 850 700 900 600
Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130
Determinar la ecuación lineal de las dos variables, Trace el diagrama de
dispersión en el plano cartesiano, Estime el ingreso que corresponde a un
ahorro semanal de 90 dólares, Si el ahorro es de 200 dólares que gasto
puede realizar el obrero en dicha semana, Si el ingreso es de 350 dólares
cual es el salario.
Como primer paso empezamos realizando la tabla de las dos variables
Ingresos Ahorros
N X Y XY X2 Y2 (xi-x)2 (yi-y)2
1 350 100 35000 122500 10000 80275,89 12345,43
2 400 110 44000 160000 12100 54442,89 10223,23
3 450 130 58500 202500 16900 33609,89 6578,83
4 500 160 80000 250000 25600 17776,89 2612,23
5 950 350 332500 902500 122500 100279,89 19290,43
6 850 350 297500 722500 122500 46945,89 19290,43
7 700 250 175000 490000 62500 4444,89 1512,43
8 900 320 288000 810000 102400 71112,89 11857,03
9 600 130 78000 360000 16900 1110,89 6578,83
∑ 5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89
APLICACIÓN DE LA FORMULA
10. -73.89
Ecuación lineal de las dos variables.
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
400
350
300
Título del eje
250
200
Y
150
100 Lineal (Y)
50
0
0 200 400 600 800 1000
Título del eje
Ingreso que corresponde a un ahorro semanal de 90 dólares.
11.
12. Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en dicha Semana.
Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
95% 1,96
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la
prueba
Como n es menor que 30 utilizaremos la T de student
13. Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
15. 2. El gerente de personal de la empresa P&C quiere estudiar la relación entre
el ausentismo y la edad de sus trabajadores. Tomo una muestra aleatoria de
10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.
Edad (año) 25 46 58 37 55 32 41 50 23 60
Ausentismo (días por año) 18 12 8 15 10 13 7 9 16 6
17. b) Calcule el coeficiente de determinación. De su comentario sobre el ajuste de la
línea de regresión a los datos de la muestra.
18. En la gráfica se puede observar que se obtiene una regresión lineal negativa y los
puntos de dispersión no se encuentran tan dispersos a la línea.
3. En un estudio para determinar la relación entre edad (X) y presión sanguínea
(Y) una muestra aleatoria de 9 mujeres ha dado los siguientes resultados.
x 54 40 70 35 62 45 55 50 38
y 148 123 155 115 150 126 152 144 114
a) Encuentre la ecuación de regresión de Y en X y estime la presión sanguínea para
una mujer de 75 años.
b) Utilizando t-Student pruebe la hipótesis B=0.9, contra la hipótesis B > 0,9 al nivel de
significación a=0.05
c) Pruebe la hipótesis nula Ho: p=0,9 contra H1: p > 0.9
Número Edad(X) Presión (Y) X2 Y2 X*Y (X-X)2 (Y-Y)2
1 54 148 2916 21904 7992 16,90 136,11
2 40 123 1600 15129 4920 97,79 177,78
3 70 155 4900 24025 10850 404,46 348,44
4 35 115 1225 13225 4025 221,68 455,11
5 62 150 3844 22500 9300 146,68 186,78
6 45 126 2025 15876 5670 23,90 106,78
7 55 152 3025 23104 8360 26,12 245,44
8 50 144 2500 20736 7200 0,01 58,78
9 38 114 1444 12996 4332 141,35 498,78
21. Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
22. Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
99% 2.58
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la
prueba
Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-2.58 +2.58
Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
23. En un estudio para determinar la relación entre edad (X) y presión sanguínea
(Y) una muestra aleatoria de 9 mujeres ha dado los siguientes resultados:
X 54 40 70 35 62 45 55 50 38
Y 148 123 155 115 150 126 152 144 114
a) Halle la ecuación de regresión de Y en X y estime la presión sanguínea para una
mujer de 75 años.
b) Utilizando t-Student pruebe la hipótesis , contra la hipótesis .9 al
nivel de significación .
c) Pruebe la hipótesis contra
a) Determinar la ecuación lineal de las dos variables.
Desarrollo
X Y XY X2 Y2 (X-X) (X-x)2 (Y-y) (y-y)2
54 148 7992 2916 21904 4,11 16,89 11,67 136,19
25. Para una persona de 75 años vamos a encontrar la presión sanguínea.
El gerente de ventas de una cadena de tiendas obtuvo información de los pedidos por
internet y del número de ventas realizadas por esa modalidad. Como parte de su
presentación en la próxima reunión de vendedores al gerente le gustaría dar
información específica sobre la relación entre el número de pedidos y el número de
ventas realizadas.
TIENDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
26. Número
pedidos
50 56 60 68 65 50 79 35 42 15
Número
ventas
45 55 50 65 60 40 75 30 38 12
a) Use el método de mínimos cuadrados para expresar la relación entre estas dos
variables.
b) Haga un análisis de los coeficientes de regresión.
c) ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para indicar que las unidades
producidas aportan información para producir los gastos generales?
d) Realice un análisis de la bondad del ajuste de la ecuación de regresión lineal.
e) ¿Qué puede usted concluir acerca de la correlación poblacional entre gastos
generales y unidades producidas?
Desarrollo
NÚMERO NÚMERO (X- (Y-
TIENDA XY X2 X-X Y2 Y-X
PEDIDOS VENTAS X)2 X)2
1 50 45 2250 2500 -2 4 2025 -2 4
2 56 55 3080 3136 4 16 3025 8 64
3 60 50 3000 3600 8 64 2500 3 9
4 68 65 4420 4624 16 256 4225 18 324
5 65 60 3900 4225 13 169 3600 13 169
6 50 40 2000 2500 -2 4 1600 -7 49
7 79 75 5925 6241 27 729 5625 28 784
8 35 30 1050 1225 -17 289 900 -17 289
9 42 38 1596 1764 -10 100 1444 -9 81
10 15 12 180 225 -37 1369 144 -35 1225
TOTAL 520 470 27401 30040 0 3000 25088 0 2998
X=
28. -4,324
Ecuación lineal de las dos variables.
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2. Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3. Asumir el nivel se significación de la prueba
29. 95% 1,96
4. Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
Como n es menor que 30 utilizaremos la T de estudent
5. Elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
6. Calcular el estadístico de la prueba
(0,00987)
30. En este caso la hipótesis nula se acepta. Es decir si existe relación entre el número de
pedidos y las ventas que se realizan en las tiendas.
Con los siguientes datos muestrales
Coeficiente de 135 115 95 100 110 120 125 130 140
inteligencia: IQ
Notas de un 16 13 12 12 14 14 15 15 18
examen
a) Halle la ecuación de regresión muestral
b) Interprete la pendiente de parcial.
c) Utilizando t-Student pruebe la hipótesis = 0, contra la hipótesis >0 al nivel
de significación α=0,05. ¿Se puede aceptar que =1?
d) El grado de asociación entre las dos variables.
e) Utilizando t-Student pruebe la hipótesis p=0 contra la hipótesis p>0 al nivel de
significación α= 0,05
Coeficiente de
Notas de un
inteligencia IQ
examen (Y)
(X)
135 16 2160 18225 256 16,11 259,57
115 13 1495 13225 169 -3,89 15,12
36. El banco “PRESTAMO” estudia la relación entre las variables, ingresos (x) y ahorros
(y) mensual de sus cliente. Una muestra aleatoria de sus clientes revelo los siguientes
datos en dólares:
x 350 400 450 950 850 700 900 600
y 100 110 130 160 350 250 320 130
37. a) ¿Cuáles son los supuestos del modelo de regresión?
Ingresos x Ahorros Y XY
350 100 35000 122500 -283,33 80275,89
400 110 44000 160000 -233,33 54442,89
450 130 58500 202500 -183,33 33609,89
500 160 80000 250000 -133,33 17776,89
950 350 332500 902500 316,67 100279,89
850 350 297500 722500 216,67 46945,89
700 250 175000 490000 66,67 4444,89
900 320 288000 810000 266,67 71112,89
600 130 78000 360000 -33,33 1110,89
∑ 5700 ∑ 1900 ∑ 1388500 ∑4020000 ∑ 410000,01
b) Dibuje el diagrama de dispersión y describa la tendencia trazando una
línea través de los puntos.
c) Determine la regresión lineal muestral. Interprete la ecuación.
38. d) Analice que tan bien se ajustan los puntos del diagrama de dispersión
a la línea de regresión utilizando el coeficiente de determinación.
1. Continuando con el ejercicio 10, la pendiente de la regresión muestral
resulto, b= 0,45, se quiere determinar si está pendiente es significativa en la
población utilizando el método de análisis de varianza.
39. 2. Continuamos con el ejercicio 10 determine:
a) La cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es X=$1200
b) La cantidad de ahorro, cuando el ingreso es x=1200
40. 3. Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la relación
entre los gastos de publicidad semanal por radio y ventas de sus productos.
En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gasto de publicidad($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80
Ventas($) 300 250 400 550 750 630 930 700 840
En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio.
a. Determinar la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de publicidad.
Gasto x Ventas Y XY
30 300 9000 900 -25,56 653,31
20 250 5000 400 -35,56 1264,51
40 400 16000 1600 -15,56 242,11
50 550 27500 2500 -5,56 30,91
70 750 52500 4900 14,44 208,51
60 630 37800 3600 4,44 19,36
80 930 74400 6400 24,44 597,31
70 700 49000 4900 14,44 208,51
80 840 67200 6400 24,44 597,31
∑ 500 ∑ ∑ ∑ ∑
41. b. Interprete la pendiente de regresión.
c. ¿En cuánto estimaría las ventas de la quinta semana?
4. Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre
cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de Fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en Quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
Sacos hec X Rendimiento Y XY
3 45 135 9 -3,82 14,59
4 48 192 16 -2,82 7,95
5 53 265 25 -1,82 3,31
6 55 330 36 -0,82 0,67
7 60 420 49 0,18 0,03
8 65 520 64 1,18 1,39
9 68 612 81 2,18 4,75
42. 10 70 700 100 3,18 10,11
11 74 814 121 4,18 17,47
12 76 912 144 5,18 26,83
75 614 4900 645 87,12
(6,82)
5. El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un
curso de matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes
resultados:
Alumno X Y XY X2 Y2 X1 - (X1- )2 Y1- (Y1- )2
A1 14 12 168 196 144 -2,4 5,8 -0,6 0,4
A2 16 13 208 256 169 -0,4 0,2 0,4 0,2
A3 22 15 330 484 225 5,6 31,4 2,4 5,8
A4 20 15 300 400 225 3,6 13,0 2,4 5,8
A5 18 17 306 324 289 1,6 2,6 4,4 19,4
43. A6 16 11 176 256 121 -0,4 0,2 -1,6 2,6
A7 18 14 252 324 196 1,6 2,6 1,4 2,0
A8 22 16 352 484 256 5,6 31,4 3,4 11,6
A9 10 8 80 100 64 -6,4 41,0 -4,6 21,2
A10 8 5 40 64 25 -8,4 70,6 -7,6 57,8
∑164 ∑126 ∑2212 ∑2888 ∑1714 ∑0,0 ∑198,4 ∑0,0 ∑126,4
a) Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de horas de
estudio invertidas. Interprete la ecuación de regresión.
COVARIANZA
DESVIACIÓN
44. VARIANZA
ORDENADA AL ORIGEN
PENDIENTE
ECUACIÓN
6. Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una
importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y
(ventas en miles de dólares) ha dado los siguientes resultados:
45. a) Determine la ecuación de regresión:
ECUACIÓN
b) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la variación total es
explicada por la regresión?
46. X (ºC) Y gramos
0 10 8 10 9 11
15 15 12 14 16 18
30 27 23 25 24 26
45 33 30 32 35 34
60 46 40 43 42 45
75 50 52 53 54 55
a) Encuentre la ecuación de regresión de Y en X
b) Estime la varianza de la regresión poblacional
c) Determine el coeficiente de regresión estandarizado beta
d) Calcule el error estándar de la pendiente b. Además desarrolle un intervalo
de confianza del 95% para β. ¿Se puede aceptar que β=0.6?
e) Determine un intervalo de confianza del 95% para la cantidad promedio de
producto químico que se disolverá en 100 gramos de agua a 50ºC.
f) Determine un intervalo de predicción del 95% para la cantidad de producto
químico que se disolverá en 100 gramos de agua a 50ºC.
48. SEGUNDO MÉTODO
Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0.6
La hipótesis alternativa
Ha= β<0.6; β>0.6
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
49. Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
95% 1.96
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usará en la prueba
Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
En una empresa exportadora en un nuevo proceso artesanal de fabricación
de cierto artículo que está implantado, se ha considerado que era
interesante ir anotando periódicamente el tiempo medio (medido en
minutos) que se utiliza para realizar una pieza (variable Y) y el número de
días desde que empezó dicho proceso de fabricación (variable X). Con ello,
se pretende analizar cómo los operarios van adaptándose al nuevo proceso,
mejorando paulatinamente su ritmo de producción conforme van
adquiriendo más experiencia en él. A partir de las cifras recogidas, que
aparecen en la tabla adjunta, se decide ajustar una función exponencial que
explique el tiempo de fabricación en función del número de días que se lleva
trabajando con ese método.
X Y
10 35
50. 20 28
30 23
40 20
50 18
60 15
70 13
Tiempo en N° de XY X2
min. (X) días (Y)
10 35 350 100 -30 900
20 28 560 400 -20 400
30 23 690 900 -10 100
40 20 800 1.600 0 0
50 18 900 2.500 10 100
60 15 900 3.600 20 400
70 13 910 4.900 30 900
280 152 5.110 14.000 0 2.800
a) Determinar la ecuación lineal de las dos variables
52. c) ¿Qué tiempo se predeciría para la fabricación del artículo cuando se
lleven 100 días?
d) ¿Qué tiempo transcurriría hasta que el tiempo de fabricación que se
prediga sea de 10 minutos?
Una empresa dedicada a al transporte de carga pesada obtiene los
siguientes datos:
2010 2011 TOTAL
Transporte Nacional 380 422 802
Transporte Internacional 292 345 637
672 767 1439
1) Ho= La aceptación del sistema es independiente al rechazo del mismo
H1= Existe dependencia entre la aceptación y el rechazo
2) La prueba es unilateral u de cola derecha
3) Asumimos que el nivel de significación es α= 0.02
4) Utilización de la Distribución Muestral Chi-Cuadrado porque las variables
son cualitativas
5) Esquema de la prueba
gl= (C-1) (F-1)
(2-1) (2-1)= 1
gl= 1
53. α= 0.02
x2(2)= 5,412
6) Cálculo dl estadístico de la prueba
2010 2011 TOTAL
Transporte 380 422 802
Nacional
Transporte 292 345 637
Internacional
672 767 1439
374,53 427,47
380 422
297,47 339,53
292 345
0,34
7) Toma de decisiones
54. El valor obtenido se cae en la región de aceptación por lo que aceptamos Ho y
rechazamos H1
EJERCICIO 2 Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la
relación entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de sus
productos. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gasto de Publicidad 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80
($)
Venta ($) 300 250 400 - 550 750 630 930 700 840
En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio
Determine la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de publicidad
N x Y X2 Y2 XY (xi-x)2 (yi-y)2
1 30 300 900 90000 9000 136,11 21267,36
2 20 250 400 62500 5000 469,44 38350,69
3 40 400 1600 160000 16000 2,78 2100,69
4 50 550 2500 302500 27500 69,44 10850,69
5 70 750 4900 562500 52500 802,78 92517,36
6 60 630 3600 396900 37800 336,11 33917,36
7 80 930 6400 864900 74400 1469,44 234417,36
8 70 700 4900 490000 49000 802,78 64600,69
9 80 840 6400 705600 67200 1469,44 155367,36
500 5350 31600 3634900 338400 5558,33 653389,58
DESARROLLO
57. 533.32
Ecuación lineal de las dos variables.
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
80
70
60
50
40
Series1
30
20
10
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
58. PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
95% 1,96
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la
prueba
Como n es menor que 30 utilizaremos la T de student
Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
59. En cuánto estimaría las ventas de la quinta semana
Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad de
fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de Fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en Quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
60. X Y XY
3 45 135 9 -4,5 20,25
4 48 192 16 -3,5 12,25
5 52 260 25 -2,5 6,25
6 55 330 63 -1,5 2,25
7 60 420 49 -0,5 0,25
8 65 520 64 0,5 0,25
9 68 612 81 1,5 2,25
10 70 700 100 2,5 6,25
11 74 814 121 3,5 12,25
12 76 912 144 4,5 20,25
Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante, por el
método de mínimos cuadrados.
61. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.
1000
800
Título del eje
600
400 Ahorros Y
Lineal (Ahorros Y)
200
0
0 20 40 60 80 100
Título del eje
Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este valores
yr= -5,27 + 10,79(30)
yr= 318,43
Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el error o
residual
62. -76=1.63 es el error.
El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un
curso de matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes
resultados:
Alumno
Horas de 14 16 22 20 18 16 18 22 10 8
estudio
Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 8 5
N X Y X2 Y2 XY (X1- )2 (Y1- )2
A1 14 12 196 144 168 5,8 0,4
A2 16 13 256 169 208 0,2 0,2
A3 22 15 484 225 330 31,4 5,8
A4 20 15 400 225 300 13,0 5,8
A5 18 17 324 289 306 2,6 19,4
A6 16 11 256 121 176 0,2 2,6
A7 18 14 324 196 252 2,6 2,0
A8 22 16 484 256 352 31,4 11,6
A9 10 8 100 64 80 41,0 21,2
A10 8 5 64 25 40 70,6 57,8
∑164 ∑126 ∑2888 ∑1714 ∑2212 ∑198,4 ∑126,4
Determinar la recta de regresión de la calificación sobre el número de horas de
estudios invertidos. Interprete la ecuación de regresión.
63.
64. Ecuación lineal de las dos variables.
0.92
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
80
70
60
50
40
Series1
30
20
10
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
65. Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
99% 2.58
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la
prueba
Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-2.58 +2.58
Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
66. 3
Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una
importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y (ventas
en miles de dólares) ha dado los siguientes resultados:
Determine la ecuación de regresión:
68. EJERCICIO 5
El banco de préstamos estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros (Y)
mensuales Una muestra aleatoria de sus clientes reveló los siguientes datos en
dólares:
X 350 400 450 500 950 850 700 900 600
Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130
Determinar la ecuación lineal de las dos variables, Trace el diagrama de
dispersión en el plano cartesiano, Estime el ingreso que corresponde a un
ahorro semanal de 90 dólares, Si el ahorro es de 200 dólares que gasto
puede realizar el obrero en dicha semana, Si el ingreso es de 350 dólares
cual es el salario.
Como primer paso empezamos realizando la tabla de las dos variables
Ingresos Ahorros
N X Y XY X2 Y2 (xi-x)2 (yi-y)2
1 350 100 35000 122500 10000 80275,89 12345,43
2 400 110 44000 160000 12100 54442,89 10223,23
3 450 130 58500 202500 16900 33609,89 6578,83
4 500 160 80000 250000 25600 17776,89 2612,23
5 950 350 332500 902500 122500 100279,89 19290,43
6 850 350 297500 722500 122500 46945,89 19290,43
7 700 250 175000 490000 62500 4444,89 1512,43
8 900 320 288000 810000 102400 71112,89 11857,03
9 600 130 78000 360000 16900 1110,89 6578,83
∑ 5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89
70. -73.89
Ecuación lineal de las dos variables.
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
400
350
300
Título del eje
250
200
Y
150
100 Lineal (Y)
50
0
0 200 400 600 800 1000
Título del eje
72. Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en dicha Semana.
Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.
73. Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados en el nivel
de producción. En la tabla que sigue se da la información recabada sobre gastos
generales y las unidades producidas en 10 plantas y se desea estimar una
ecuación de regresión para estimar gastos generales futuros.
Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200
Unidades 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10
producidas
N x Y X2 Y2 XY (xi-x)2 (yi-y)2
1 300 15 90000 225 4500 160000,00 412,09
2 1000 45 1000000 2025 45000 90000,00 94,09
3 1100 55 1210000 3025 60500 160000,00 388,09
4 1200 75 1440000 5625 90000 250000,00 1576,09
5 600 30 360000 900 18000 10000,00 28,09
6 800 40 640000 1600 32000 10000,00 22,09
7 900 45 810000 2025 40500 40000,00 94,09
8 500 20 250000 400 10000 40000,00 234,09
9 400 18 160000 324 7200 90000,00 299,29
10 200 10 40000 100 2000 250000.00 640.09
sumatoria 7000 353 6000000 16249 309700 1100000,00 3788,10
Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de regresión.
74.
75. Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
80
70
60
50
40
Series1
30
20
10
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba
76. 99% 2.58
Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la
prueba
Quinto paso elaborar el esquema de la prueba
-2.58 +2.58
Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
77. 3
EJERCICIO
El Ecuador se ha caracterizado por ser un país rico en su flora y fauna como también
en la exportación de mariscos entre ellos se encuentra el camarón, en el año de 2010 y
2011 Ecuador ha exportado las siguientes toneladas de camarón a los EE.UU
Camarón ( en miles de dólares)
Mes 2010 2011
1 47 75
2 52 83
3 61 106
4 63 106
5 84 97
6 83 98
7 79 109
8 67 93
9 69 89
10 83 87
78. 11 86 77
12 76 85
Para la toma de decisiones recurrimos a realizar los debidos cálculos matemáticos y
estadísticos
82. SEGUNDO MÉTODO
+
Sx = = 18.05
sy= 22.59
Ẋ = 50.42
Ῡ=
TERCER MÉTODO
a= 60.46
83. EJERCICIO
El Ecuador en el año de 2010 y 2011 ha exportado las siguientes toneladas de
manufacturas textiles a México
Manufacturas de textiles ( en miles de dólares)
Mes 2010 2011
1 8642 16011
2 12389 9853
3 14015 18999
4 19892 19130
5 24025 26309
6 21683 25374
7 17769 18576
8 13354 13456
9 11409 12978
10 16717 17986
11 12795 13465
12 18357 19844
Para la toma de decisiones recurrimos a realizar los debidos cálculos matemáticos
y estadísticos
89. 1. El banco “PRÉSTAMOS” estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros (Y)
mensuales de sus clientes. Una muestra aleatoria de sus clientes revelo los
siguientes datos en dólares.
b) Cuáles son los supuestos modelos de regresión.
c) Dibujo de el diagrama de dispersión en el plano cartesiano
y = 0,4516x - 74,919
R² = 0,9262
400
Título del eje x
300
200
Y
100
Lineal (Y)
0
0 200 400 600 800 1000
Título del eje y
d) Determine la ecuación de regresión muestral.
90. e) Calcule el ahorro estándar de estimación.
f) Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.
93. 2. Un comerciante mayorista encargó un estudio para determinar la relación entre
los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de sus productos. En el
estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gasto de Publicidad ($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80
Venta ($) 300 250 400 - 550 750 630 930 700 840
En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio
b) Determine la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de publicidad.
Semanas Ingresos Ahorros
x Y xy
2 30 300 9000 900 90000 -25,6 652,80 -294,44 86694,91
3 20 250 5000 400 62500 -35,55 1263,80 -344,44 118638,91
4 40 400 16000 1600 160000 -15,55 241,80 -194,44 37806,91
6 50 550 27500 2500 302500 -5,55 30,80 -44,44 1974,91
7 70 750 52500 4900 562500 14,45 208,80 155,56 24198,91
8 60 630 37800 3600 396900 4,45 19,80 35,56 1264,51
9 80 930 74400 6400 864900 24,45 597,80 335,56 112600,51
10 70 700 49000 4900 490000 14,45 208,80 105,56 11142,91
11 80 840 67200 6400 705600 24,45 597,80 245,56 60299,71
500 5350 338400 31600 3634900 0,05 3822,22 454622,22
Primer caso
X=
Y=
94.
95. a) Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este
valores
= -5,27 + 10,79(30)
= 318,43
4. Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad de
fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
a) Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante, por el
método de mínimos cuadrados.
Nro. X Y XY X2 Y2
1 3 45 135 9 2025
2 4 48 192 16 2304
3 5 52 260 25 2704
4 6 55 330 36 3025
5 7 60 420 49 3600
6 8 65 520 64 4225
7 9 68 612 81 4624
8 10 70 700 100 4900
9 11 74 814 121 5476
10 12 76 912 144 5776
∑613 ∑4895 ∑645 ∑38659
96. b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.
1000 y = 10,773x - 4,0698
R² = 0,9758
800
Título del eje
600
400 Ahorros Y
200 Lineal (Ahorros Y)
0
0 20 40 60 80 100
Título del eje
b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el error o
residual?
-76=1.63 es el error.
97. d. Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este
valores
98. 5. El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso de
matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes resultados:
Alumno
Horas de 14 16 22 20 18 16 18 22 10 8
estudio
Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 8 5
a) Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de horas de
estudio invertidos. Interprete la ecuación de regresión.
99.
100. 6. Sobre la base de una muestra de tamaño 28 se encontró que la ecuación de
regresión muestral de gastos mensuales (Y) sobre tamaño de la familia (X) es:
Además la covarianza de Y con X es igual a 32, y la desviación estándar de Y es igual a
5
a) Determine el coeficiente de correlación y analizar la bondad del ajuste de la
línea de regresión con el coeficiente de determinación.
Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una importadora
registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y (ventas en miles de
dólares) ha dado los siguientes resultados:
c) Determine la ecuación de regresión:
101. Ecuación
d) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la variación
total es explicada por la regresión?
102. 7. Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados en el nivel de
producción. En la tabla que sigue se da la información recabada sobre gastos
generales y las unidades producidas en 10 plantas y se desea estimar una ecuación de
regresión para estimar gastos generales futuros.
Gastos generales 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200
($)
Unidades 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10
producidas
a) Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de
regresión.
103.
104. 1.6 ANEXOS
EJERCICIO 1
Se elige aleatoriamente a 50 trabajadores de la empresa de transporte “TCI” y 120 de
la empresa de transporte “Trans Bolivariana S.A”. La pertenencia a una u otra
compañía de transporte pesado depende de las causas fortuitas. Suponga que en las
dos compañías siguen un método distinto en la tramitación y almacenamiento en la
asignatura de metodología de la investigación.
Sea X₁ la media obtenida a los 50 empleados en una prueba sobre investigación al final
del módulo.
Sea X₂ la media obtenida a los 120 empleados X₁= 74; X₂=79, Q₁=12, Q₂=18
Podemos afirmar que son iguales los rendimientos en el transporte y tramitación de
los empleados de las dos compañías de transporte. Sea = 0,01
Solución:
1) H₀: U₁=U₂
Hₐ: U₁≠U₂
2) Según Hₐ, la prueba es bilateral o compuesta de dos colas
3) = 0,01
4) Como n₁= 50; n₂=120 entonces n₁, n₂>30. Utilizaremos la prueba de
hipótesis con diferencia de medias
105. 5) Grafico
6) Cálculo Estadístico
7) Toma de decisiones
El esquema estadístico cae en la zona de aceptación, luego aceptamos la
hipótesis nula y por lo tanto el rendimiento de las compañías de investigación
en ambas empresas de transporte es el mismo ya que utilizan diferentes
métodos pero llegan a lo mismo y tienen el mismo rendimiento.
106. EJERCICIO 2
En el ecuador se estudia la relación entre las variables, de exportaciones de flores del
periodo 2010 (X) y exportaciones del 2011 (Y) totales en el Ecuador. Una muestra
aleatoria de datos obtenidos de la página del Banco Central del Ecuador se reveló los
siguientes datos en dólares:
EXPORTACIÓN DE FLORES EN MILLONES-ENERO-DICIEMBRE
Meses Año Año X2 Y2 X*Y (X-X)2 (Y-Y)2
2010(X) 2011(Y)
1 57 60 3249,00 3600,00 3420,00 40,11 32,11
2 76 91 5776,00 8281,00 6916,00 641,78 1344,44
3 49 50 2401,00 2500,00 2450,00 2,78 18,78
4 54 58 2916,00 3364,00 3132,00 11,11 13,44
5 50 54 2500,00 2916,00 2700,00 0,44 0,11
6 41 48 1681,00 2304,00 1968,00 93,44 40,11
7 37 46 1369,00 2116,00 1702,00 186,78 69,44
8 41 50 1681,00 2500,00 2050,00 93,44 18,78
9 47 51 2209,00 2601,00 2397,00 13,44 11,11
10 61 53 3721,00 2809,00 3233,00 106,78 1,78
108. Sobre la base de una muestra de tamaño 28 se encontró que la ecuación de regresión
muestral de Exportaciones tradicionales mensuales (Y) sobre tamaño de las
exportaciones no tradicionales (X) es:
Además la covarianza de Y con X es igual a 32, y la desviación estándar de Y es igual a
5
b) Determine el coeficiente de correlación y analizar la bondad del ajuste de la
línea de regresión con el coeficiente de determinación.
Una muestra de 600 millones de las exportaciones tradicionales en un mes con X
(Exportaciones), Y (exportaciones en miles de dólares) ha dado los siguientes
resultados:
109. e) Determine la ecuación de regresión:
Ecuación
f) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la variación
total es explicada por la regresión?
110. 100
90
80
70
Título del eje
60
50
Ahorros (Y)
40
Lineal (Ahorros (Y))
30
20
10
0
0 20 40 60 80
Título del eje
111. EJERCICIO 3
Una muestra de 80 alambres de acero exportados por la fábrica A de Ecuador de una
resistencia media de rotura de 1230 lbs. y S= 120 lbs.; otra muestra de 100 de
alambres de aceros exportados por la fábrica de Colombia B de una resistencia media
de 1190 lbs. Con una S = 90 lbs. ¿Hay una diferencia real en resistencia media de las
dos marcas de alambre de acero si ?
Solución:
1) H₀=U₁=U₂
Hₐ= U₁<U₂; U₁>U₂
2) Es una campana bilateral
3) El nivel de significación es
4) Se utiliza una diferencias de medias n₁=80>30; n₂ 100>30
5) Grafico
112. 6) Calculo estadístico
7) Toma de decisiones
El esquema estadístico cae en la zona de rechazo por lo tanto rechazamos la
hipótesis nula y se puede deducir que existe una diferencia real de la resistencia
media de las dos marca de acero de cada una de las fábricas.
113. EJEMPLO 4
Un aditivo servirá más millas por galón. La compañía ha reutilizado un gran número
de mediciones recorridas en la gasolina sin aditivo, bajo condiciones controladas
rigurosamente, los resultados muestra una media de 2,47 millas por galón y un S= 4,8.
Se realizan pruebas con una muestra de 75 autos que utilizan la gasolina con aditivos,
la media de la muestra es de 26,5 millas/ galón
Solución:
1) H₀= 26,5
U 24,7
Hₐ: El nuevo aditivo incrementas el número de millas por galón por lo tanto
X=26,5 en donde U>24,7
2) La prueba es unilateral a la derecha
3) El nivel de significación
4) N>30 por lo tanto se utiliza la prueba de hipótesis
5) Grafico
6) Calculo estadístico
114. 7) Toma de decisiones
Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa
CONCLUSIÓN
De acuerdo con la realización del presente trabajo, he llegado a las siguientes
conclusiones:
La Estadística inferencial es un instrumento muy empleado por parte de los
investigadores en las distintas áreas científicas y su necesidad e importancia
han ido aumentando durante los últimos años.
El interés de los diferentes usuarios por la información Estadística obedece
principalmente a que permite adentrarse en aspectos importantes de los
fenómenos económicos y sociales: Su magnitud, es decir, las dimensiones que
estos tienen y su estructura, o sea, la forma como esos fenómenos se
desagregan en sus componentes.
Para que las Estadísticas sean de utilidad en cuanto a la caracterización de los
fenómenos y al conocimiento de la realidad, deben cumplir determinados
requisitos, siendo el principal el de veracidad, en el sentido de que los datos
correspondan a cuantificaciones con suficiente precisión, de los universos de
estudio y sus diversos subconjuntos, dentro de márgenes de tolerancia. A
115. asimismo los datos deben ser conceptualmente significativos, es decir,
obtenidos a partir de definiciones previamente establecidas.
116. RECOMENDACIONES
Es necesario el uso de la estadística en las empresas, ya que a través de ésta se
cuenta con la capacidad para reconocer que actividades o productos generan
utilidad, y cuales solo pérdida y reconocer errores entre otros. No contar con
datos e interpretarlos correctamente, es para los administradores como
caminar a oscuras. Contar con los datos, les permite ver lo que está
aconteciendo y en consecuencia tomar las medidas más apropiadas.
Toda empresa debe contar con datos estadísticos en cuanto a lo que acontece
tanto interna como externamente, para decidir sobre bases racionales, y
adoptar las medidas preventivas y correctivas con suficiente tiempo para
evitar daños, en muchos casos irreparables para la organización.
También es necesario acompañar la estadística de las poderosas herramientas
informáticas, porque le permiten a los directivos, asesores y personal, contar
con la suficiente información para mejorar a partir de ella los procesos de la
empresa como por ejemplo: Tomar mejores decisiones comerciales, mejorar la
seguridad y hacer un uso mucho más productivo y provechoso de los recursos.
117. 10. FINANCIEROS Y TÉCNICOS.
DESCRIPCIÓN CANTIDAD VALOR UNITARIO VALOR TOTAL
Papel bond 30 0,04 0,44
Impresiones 30 0,04 0,44
Material de oficina 0,00
Movilización 0,25
Internet 0.40
Imprevistos 0.30
TOTAL 30 0,08 4.83
9. CRONOGRAMA DE TAREAS
T DESCRIPCION DE LA 1 2 3 4 5 6 7 8
TAREA
T1 X
T2 X
T3 X
T4 X
T5 X
T6 X
T7 X
T8 X
T9 X
T10 PRUEBA DE HIPOTESIS X
BIBLIOGRAFÍA
118. Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage
Learning.
Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
