Calculo de Predicados Estructuras Discretas I SAIA UFT

1. Cálculo de predicados
En estos cálculos se tienen elementos simples para formar expresiones atómicas, a
diferencia de una proposición simple donde su valor es verdadero o falso de acuerdo a una
interpretación.
En el cálculo de predicados el valor de verdad depende de componentes que forman
el predicado. En otras palabras, se tiene una proposición que depende de dos variables, y que
por supuesto el valor de verdad depende de los valores que se le dan a las variables. En
general, se puede decir que un predicado puede tener una o más variables y que las variables
pueden tomar valores de un conjunto específico llamado dominio. El Cálculo de Predicados
permite ampliar el espectro del Cálculo Proposicional, trabajando con fórmulas de diversos
tipos además del booleano.
Mientras la lógica proposicional presenta limitaciones expresivas no permitiendo
describir la estructura interna de las proposiciones, la lógica de predicados cuenta con un
lenguaje mucho más expresivo que posibilita resolver esas limitaciones.
Por lo tanto se puede definir Cálculo de predicado como un sistema formal,
estructurado para el estudio de la inferencia en los lenguajes formales con cuantificadores
que alcanzan solo a variables de individuos, y con predicados y funciones cuyos argumentos
son constantes o variables de individuos. La construcción de fórmulas en este cálculo obliga
a definir nuevas expresiones llamadas predicados.
Un predicado es una aplicación de una función booleana cuyos argumentos pueden
ser de diferentes tipos, es decir un predicado puede ser una función de tipo Z → B.
Los nombres de las funciones (igual, menor) son llamados símbolos de predicados.
También se utiliza la notación x < y para expresar el predicado menor(x, y). Por ejemplo, la
siguiente expresión x < y ∧ x = z ⇒ q(x, z + x) contiene tres predicados, x < y, x = z y q(x, x
+ z).
Los argumentos de los predicados son en este caso, variables de tipo distinto de B o
también expresiones de estos tipos.
Los argumentos de un predicado son llamados términos, por ejemplo en la fórmula
anterior los términos en los predicados son x, y, z y z + x.
Términos y fórmulas del cálculo de predicados
Al igual que el cálculo proposicional, el cálculo de predicados define el concepto de
fórmula, pero establece además, una expresión fundamental que se denomina término y se
define según las reglas siguientes:
1. Toda constante y toda variable es un término.

2. 2. Si t1,t2,...,tn son términos y f es un símbolo de función n-aria, entonces f(t1,t2,..., tn) es un
término.
3. Todo término es el resultado de la aplicación un número finito de veces de las dos reglas
anteriores.
Conociendo la definición de término, es posible establecer el concepto de fórmula del cálculo
de predicados, que se sustenta en el de fórmula elemental o átomo:
definiciòn. Si t1, t2,..., tn son tèrminos y R un símbolo de relación n-aria, entonces R(t1, t2,...,
tn) es una fórmula elemental o átomo.
Un átomo representará una proposición elemental, pero para representar la proposiciones no
elementales no basta con una fórmula atómica por lo que se define el concepto de fórmula
de la siguiente manera:
1. Toda fórmula elemental es una fórmula.
2. Si A es una fórmula, entonces ¬A es una fórmula.
3. Si A y B son fórmulas, entonces [A v B], [A ᴧ B], [A ⇒ B] y [A ⇔ B] son fórmulas.
4. Si A es una fórmula donde x ocurre libre, entonces ∀(x)A y ∃(x)A son fórmulas.
5. Toda fórmula es el resultado solamente de la aplicación de un número finito de veces de
las reglas1, 2, 3 y 4.
Interpretación de fórmulas del cálculo de predicados
En el cálculo proposicional, una interpretación de una fórmula es una asignación de
valores a las variables involucradas, determinar todas las interpretaciones de una fórmula no
resulta difícil pues cada variable sólo tomas valores en {0, 1}.
En el cálculo de predicados esto se torna mucho más complejo, pues las variables
toman valores en diversos universos y aparecen los cuantificadores que hacen necesario
analizar desde otra perspectiva la interpretación de fórmulas, siendo preciso establecer:
1. Un conjunto U, que será el dominio de valores de cada variable libre y al que pertenecerán
todas las constantes.
2. Una función con dominio en Un y codominio en U por cada símbolo de función n-aria.
3. Una relación definida en Un por cada símbolo de relación n-aria.
Quedando entonces determinado que una fórmula A tiene una interpretación en U si todos
los símbolos de constantes, de funciones n-arias y de relaciones n-arias que ocurren en A se
interpretan, respectivamente, en elementos, funciones n-arias y relaciones n-arias en U.