1. ¿Qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Las más usadas son:
- El diagrama de árbol
- Análisis combinatorio.
Por: Eduardo Gómez A.
2. DIAGRAMA DE ÁRBOL:
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas
para enumerar todas las posibilidades lógicas de una
secuencia de eventos, donde cada evento puede
ocurrir en un número finito. Proporcionan un
método sistemático de enumeración objetiva de los
resultados.
Raíz Ramas
3. A continuación se presenta un Diagrama de Árbol,
referente a las respuestas que se pueden dar a tres
preguntas de Verdadero o Falso.
Tenemos dos opciones para cada pregunta: V o F. El
árbol presenta dos ramas en cada pregunta.
1. La teoría de conjuntos fue desarrollada por G.
Cantor. a) V b) F
2. G. Cantor es de origen francés. a) V b) F
3. La teoría de conjuntos sirve para simplificar la
Estadística. a) V b) F
5. Se tiene en un estante 3 libros. Uno de
Álgebra, otro de Contabilidad y otro de
Biología. ¿De cuántas formas distintas
se pueden ordenar los libros?
8. ANÁLISIS COMBINATORIO
Los diagramas de árbol muestran objetivamente el
número de resultados posibles en que se puede
disponer de la ordenación de un conjunto de
elementos, pero esta enumeración es limitada, pues
a medida que aumenta el número de objetos dicha
ordenación se complica, por lo que hay que utilizar
otro procedimiento más sencillo para determinar el
número total de resultados. Con este fin, nos
apoyaremos en los conceptos permutaciones y
combinaciones, los cuales tienen como base el
principio fundamental del conteo.
9. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
REGLA DEL PRODUCTO:
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una
vez que este ha ocurrido, otro evento B puede
ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el
número total de formas diferentes en que ambos
eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es
igual a n1 x n2.
10. ¿De cuantas maneras pueden
repartirse 3 premios a un conjunto de
10 personas, suponiendo que cada
persona no puede obtener más de un
premio?
11. Aplicando el principio fundamental del conteo,
tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan
9 personas para recibir el segundo, y posteriormente
quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí
que el número de maneras distintas de repartir los
tres premios, sería:
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720
12. ¿Cuántas placas de automóvil se
pueden hacer utilizando dos letras
seguidas de tres cifras? No se admiten
repeticiones.
13. Solución:
27 x 26 x 10 x 9 x 8 = 505.440
El símbolo ! se lee factorial y es el producto
resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es
decir, sea n un número entero positivo, el producto
n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
n! = n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
14. Ejemplos:
1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de
escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y
4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar
las prendas?
Solución:
Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los
pares de zapatos (Z = 2), los pantalones de 3
maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:
Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24
Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.
15. 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7
personas en una fila?
Solución:
La primera posición en la fila (P1), puede ser
ocupada por cualquiera de las 7 personas (P1 = 7); la
segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.
P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
Es decir: 7! = 5.040
Existen 5.040 maneras de colocar a 7 personas en
una fila.
16. 3. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8
mujeres que aspiran a los papeles principales.
¿De cuántas formas el director puede elegir la
pareja principal?
Solución:
El director puede elegir a la pareja principal de:
6 x 8 = 48 formas.
17. 4. ¿Cuántos juegos de placas de circulación
para automóviles pueden fabricarse, si se
utilizan 3 dígitos y 3 letras? (en ese orden),
si no se puede repetir ningún dígito ni
letra en cada placa, ni se puede utilizar el
cero, las letras O, Ñ y W.
18. Solución:
9 x 8 x 7 x 24 x 23 x 22 = 6.120.576 placas.
Pueden fabricarse 6.120.576 juegos de placas con
estas características.
19. REGLA DE LA SUMA:
Si una primera tarea puede realizarse de m formas y
una segunda tarea puede realizarse de n formas, y
no es posible realizar ambas tareas de manera
simultánea, entonces para realizar cualquiera de
ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.
Ejemplo:
Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de
filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de
alguno de estos dos temas, por la regla de la suma
puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y
filosofía, sino historia o filosofía.
20. PERMUTACIONES
Una permutación de un conjunto de elementos, es
un ordenamiento específico de todos o algunos
elementos del conjunto, facilita el recuento de las
ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los
elementos del conjunto.
Nota: En una permutación el orden en que se
disponen los elementos del conjunto es importante.
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS:
Por el principio fundamental del conteo podemos
enunciar que el número de permutaciones de n
objetos distintos tomados de n en n, es:
nPn = n!
21. Ejemplos:
Se quiere conocer el conjunto de todas las
disposiciones posibles de tres personas colocadas en
hilera para tomar una fotografía.
3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo
compuesto de un presidente, un vicepresidente, un
secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras
hay de constituir el comité?
5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
22. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES
GRUPOS DE r ELEMENTOS:
Podemos calcular el número de permutaciones nPr,
de n elementos, tomados de grupo o subconjuntos
de r elementos.
𝒏 𝑷 𝒓 =
𝒏!
𝒏 − 𝒓 !
Si de un estante tomamos 2 de 3 litros ¿Cuántas
permutaciones pueden realizarse?
𝟑 𝑷 𝟐 =
𝟑!
𝟑−𝟐 !
= 3! = 6
Pueden realizarse 6 permutaciones.
23. Cinco personas entran a una sala en la que hay 8
sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
ocupar las sillas?
𝟖 𝑷 𝟓 =
𝟖!
𝟖 − 𝟓 !
=
𝟖!
𝟑!
=
𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑!
𝟑!
= 𝟔. 𝟕𝟐𝟎
Pueden ocupar las sillas de 6.720 maneras
diferentes.
24. PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS
ELEMENTOS SON DIFERENTES:
Si los elementos de un conjunto no son todos
diferentes entre sí, es decir, algunos de los
elementos son idénticos, la fórmula de las
permutaciones presenta un nuevo aspecto.
El número de permutaciones que se pueden formar
en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos
idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etc,
es:
𝒏 𝑷 𝒏 𝟏
,𝒏 𝟐
,…𝒏𝒌 =
𝒏!
𝒏 𝟏! 𝒏 𝟐! … 𝒏𝒌!
25. Ejemplos:
¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras
pueden formarse con las letras LULU?
𝟒 𝑷 𝟐,𝟐 =
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟐𝟒
𝟒
= 𝟔
Pueden formarse 6 palabras.
¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse
con la palabra Mississippi?
𝟏𝟏 𝑷 𝟒,𝟒,𝟐,𝟏 =
𝟏𝟏!
𝟒! 𝟒! 𝟐! 𝟏!
=
𝟑𝟗. 𝟗𝟏𝟔. 𝟖𝟎𝟎
𝟏. 𝟏𝟓𝟐
= 𝟑𝟒. 𝟔𝟓𝟎
Pueden formarse 34.650 palabras.
26. PERMUTACIONES CIRCULARES:
Cuando los elementos se encuentran dispuestos en
forma circular, tenemos:
𝒏 𝑷 𝒄 =(n-1)!
¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en
un llavero?
𝟓 𝑷 𝒄 =(5-1)! = 4! = 24
Se pueden ordenar de 24 maneras.
27. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas
alrededor de una mesa?
𝟒 𝑷 𝒄 =(4-1)! = 3! = 6
Se pueden ubicar de 6 maneras.
28. COMBINACIONES
Una combinación es un subconjunto o una
disposición de todos los elementos de un conjunto,
sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no
ordenados, cada uno formado por r elementos, que
pueden obtenerse de un conjunto de n elementos
es:
𝒏 𝑪 𝒓 =
𝒏!
𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!
ó
𝒏
𝒓
=
𝒏!
𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!
29. Ejemplos:
El número de subconjuntos de 2 elementos del
conjunto A que tiene 5 elementos es:
A = {a, e, i, o, u}
𝟓 𝑪 𝟐 =
𝟓!
𝟓 − 𝟐 ! 𝟐!
=
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐
= 𝟏𝟎
Resultan 10 subconjuntos:
E = {ae, ai, ao, au, ei, eo, eu. io, iu, ou}
30. Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas
combinaciones pueden realizarse?
𝟑 𝑪 𝟐 =
𝟑!
𝟑 − 𝟐 ! 𝟐!
=
𝟑!
𝟏! 𝟐!
=
𝟔
𝟐
= 𝟑
Por lo tanto el resultado se reduce a 3 posibles
formas porque en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
31. Se tienen cinco obreros para un trabajo
especial que requiere de tres de ellos.
¿De cuántas maneras diferentes se
puede seleccionar un equipo de tres?
