Este documento presenta los principios fundamentales de las estructuras discretas para la computación, incluyendo fórmulas para la suma, el producto, las permutaciones y las combinaciones. Contiene ejemplos resueltos de cada uno de estos principios.

1. Tarea #4 Estructuras Discretas para la Computación
Nombre: Elmer Jaén
Cédula: 6-722-1865
Grupo: 4IL121
A. Fórmulas de los principios de la suma y el producto.
1. Suma en un sistema binario.
Valor 1(n) + Valor 2(n) = C 45B29(16) + 803(16) = 4632C (16)
2. Producto en un sistema binario.
Valor 1(n) * Valor 2(n) = C 101.1(2) * 10.1(2) = 1101,11 (2)
3. Permutación si 𝒓 ≤ 𝒏 con repetición.
𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛 𝑟
4. Permutación si 𝒓 = 𝒏 sin repetición.
𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛!
5. Permutación si r = n, y si la repetición es de forma circular.
𝑃(𝑛, 𝑟) = (𝑛 − 𝑟)!
6. Permutación si 𝒓 ≤ 𝒏 sin repetición.
𝑃(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
7. Combinaciones.
𝑪 ∙ 𝒓! = 𝑷 𝒏
𝒓
=
𝒏!
(𝒏−𝒓)!
𝑪 =
𝒏!
𝒓!(𝒏−𝒓)!
Principio de la suma:
Ejemplo 1: Se desea cruzar un río, para ellos se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador.
¿De cuántas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
Solución:
Medios de transporte que se tienen: bote, lancha, deslizador
Entonces;
Número de maneras = 3 + 2 + 1 = 6
Ejemplo 2: Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en Panamá o en 8 tiendas en
Colón. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?
Solución:
6 formas + 8 formas = 14 formas

2. Ejemplo #3: Lucía tiene en su ropero 4 vestidos y 5 conjuntos deportivos. ¿De cuántas
maneras puede vestirse?
Solución:
Puede escoger 4 vestidos y 5 conjuntos deportivos; por tanto: 4 + 5 = 9 maneras en las que
puede vestirse.
Principio del producto o multiplicación:
Ejemplo 1: Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras
pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente?
Solución:
El primer viajero puede seleccionar cualquiera de los 3 hoteles y el segundo viajero tendrá 2
hoteles para escoger, ya que debe de estar en uno diferente, por lo que el número de formas
en que pueden hospedarse los 2 viajeros en los 3 hoteles será:
3 x 2 = 6.
Ejemplo 2: Hay 10 aviones que vuelan entre las ciudades de Panamá y Buenos Aires ¿De
cuántas maneras puede ir una persona de Panamá a Buenos Aires y regresar en un avión
diferente?
Solución:
El viaje de Panamá a Buenos Aires se puede hacer en cualquiera de los 10 aviones, pero el
de Buenos Aires a Panamá sólo se puede hacer en uno de los 9 aviones restantes, por lo que
las formas de realizar el viaje redondo serán:
10 x 9 = 90
Ejemplo 3: Un salón de conferencias tiene 5 puertas:
a) ¿de cuántas maneras puede entrar al salón un estudiante y salir por una puerta diferente?
b) ¿y si sale por cualquier puerta?
Solución:
a) 5 x 4 = 20 maneras.
b) 5 x 5 = 25 maneras.

3. Teorema sobre el principio de multiplicación: Para arreglos r<=, sin repetición
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
Características:
 Sí importa el orden
 No participan todos los elementos
 No se repiten los elementos
Ejemplo 1: Permutaciones para arreglos de tamaño r = 5 sin repetición
Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar el presidente, vicepresidente,
secretario y tesorero de un grupo de 10 personas? Es necesario contar el número de
ordenamientos de cuatro personas seleccionadas de un grupo de 10, ya que cada arreglo elige
(de manera única) un presidente (primera elección), un vicepresidente (segunda elección), un
secretario (tercera elección) y un tesorero (cuarta elección).
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
𝑷(𝟏𝟎, 𝟒) =
𝟏𝟎!
(𝟏𝟎 − 𝟒)!
=
𝟏𝟎!
𝟔!
= 𝟓𝟎𝟒𝟎
Ejemplo 3: En un banco hay 4 cajeros y hay 27 clientes que desean usar los servicios que
brinda el banco. ¿Cuántas son las posibilidades de arreglos que se pueden formar entre
cajeros y clientes?
En este caso, el orden es importante, por ello se utiliza la permutación.

4. Teorema sobre el principio de multiplicación: número de permutaciones de n objetos
tomados r a la vez.
Características:
 Sí importa el orden
 No participan todos los elementos
 Sí se repiten los elementos
Ejemplo 1: Suponga que hay doce prendas en la vitrina de una boutique de ropa femenina;
de acuerdo con ello determine lo siguiente:
a) Permutaciones para arreglos de tamaño n = r con repetición.
Ejemplo 2: En una urna tenemos cinco bolas numeradas del 1 al 5. Se extraen tres bolas
sucesivamente con reposición. ¿Cuántos resultados distintos es posible obtener?
n = 5
r = 3
𝑷(𝟓, 𝟑) = 𝒏 𝒓
= 𝟓 𝟑
= 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓
Ejemplo 3: Cuantos grupos diferentes pueden formarse de 2 en 2 con 4 frutas distintas.
n = 4
r = 2
𝑷(𝟒, 𝟐) = 𝒏 𝒓
= 𝟒 𝟐
= 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟔

5. Permutaciones sin repetición.
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏!
Características:
 Sí importa el orden
 Sí participan todos los elementos
 No se repiten los elementos
Ejemplo 1: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 7 personas en una fila de asientos?
Solución:
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏!
𝑷(𝟕, 𝒓) = 𝟕!
𝑷(𝟕, 𝒓) = 𝟓𝟎𝟒𝟎
Se pueden sentar de 5040 formas diferentes.
Ejemplo 2: ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición diferente que la portería?
Solución: Se dispone de 10 jugadores que pueden jugar en 10 posiciones diferentes; por
tanto:
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏!
𝑷(𝟏𝟎, 𝒓) = 𝟏𝟎!
𝑷(𝟏𝟎, 𝒓) = 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎
Se pueden colocar de 3628800 formas diferentes.
Ejemplo 3: ¿De cuántas formas se pueden aparcar 8 coches en línea atendiendo a su
matrícula?
Solución: Tenemos 8 coches que se pueden aparcar en 8 posiciones diferentes; por tanto,
aplicamos la fórmula y queda:
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏!
𝑷(𝟖, 𝒓) = 𝟖!
𝑷(𝟖, 𝒓) = 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎
Se podrán aparcar de 40320 formas diferentes.

6. Permutaciones con repetición.
𝑷𝑹 𝒏
𝒂,𝒃,𝒄…
=
𝒏!
𝒕 𝟏! 𝒙 𝒕 𝟐! … 𝒕 𝒌!
Características:
 Sí importa el orden
 Sí participan todos los elementos
 Sí se repiten los elementos
Ejemplo 1: Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
Solución: Tenemos que:
n = 9
a = 3
b = 4
c = 2
Por tanto:
𝑷𝑹 𝒏
𝒂,𝒃,𝒄…
=
𝒏!
𝒕 𝟏! 𝒙 𝒕 𝟐! … 𝒕 𝒌!
𝑷𝑹 𝟗
𝟑,𝟒,𝟐…
=
𝟗!
𝟑! 𝒙 𝟒! 𝒙 𝟐!
𝑷𝑹 𝟗
𝟑,𝟒,𝟐…
= 𝟏𝟐𝟔𝟎
Se pueden formar 1260 números de 9 cifras.
Ejemplo 2: Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines,
dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.
Solución: Tenemos que:
n = 6 banderines
a = 2 banderines rojos
b = 3 banderines verdes
c = 1 banderín morado

7. Por tanto:
𝑷𝑹 𝒏
𝒂,𝒃,𝒄…
=
𝒏!
𝒕 𝟏! 𝒙 𝒕 𝟐! … 𝒕 𝒌!
𝑷𝑹 𝟔
𝟐,𝟑,𝟏…
=
𝟔!
𝟐! 𝒙 𝟑! 𝒙 𝟏!
𝑷𝑹 𝟔
𝟐,𝟑,𝟏…
= 𝟔𝟎
Se pueden obtener 60 señales.
Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras es posible plantar 8 árboles en una línea divisoria de un
terreno tres nogales, cuatro manzanos y dos ciruelos?
Solución: Tenemos que:
n = 8 árboles
a = 3 nogales
b = 4 manzanos
c = 2 ciruelos
Por tanto:
𝑷𝑹 𝒏
𝒂,𝒃,𝒄…
=
𝒏!
𝒕 𝟏! 𝒙 𝒕 𝟐! … 𝒕 𝒌!
𝑷𝑹 𝟖
𝟑,𝟒,𝟐…
=
𝟖!
𝟑! 𝒙 𝟒! 𝒙 𝟐!
𝑷𝑹 𝟖
𝟑,𝟒,𝟐…
= 𝟏𝟒𝟎
Se pueden plantar de 140 maneras.

8. Combinación.
𝑪(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
Características:
 No importa el orden
 No participan todos los elementos
 No se repiten los elementos
Ejemplo 1: ¿Cuántos subconjuntos de 6, 8 y 10 elementos tiene el conjunto Q?
Q= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o}
Solución:
Para 6 elementos:
𝑪(𝟏𝟓, 𝟔) =
𝟏𝟓!
𝟔! (𝟏𝟓 − 𝟔)!
=
𝟏𝟓!
(𝟔!)(𝟗!)
= 𝟓𝟎𝟎𝟓 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
Para 8 elementos:
𝑪(𝟏𝟓, 𝟖) =
𝟏𝟓!
𝟖! (𝟏𝟓 − 𝟖)!
=
𝟏𝟓!
(𝟖!)(𝟕!)
= 𝟔𝟒𝟑𝟓 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
Para 10 elementos:
𝑪(𝟏𝟓, 𝟏𝟎) =
𝟏𝟓!
𝟏𝟎! (𝟏𝟓 − 𝟏𝟎)!
=
𝟏𝟓!
(𝟏𝟎!)(𝟗!)
= 𝟑𝟎𝟎𝟑 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
Ejemplo 2: ¿De cuantas maneras puede salir una mano de póker (5 cartas) si se juega
con una baraja española (40 cartas) o con una baraja inglesa (52 cartas)?
Solución:
𝑪(𝟒𝟎, 𝟓) =
𝟒𝟎!
𝟓! (𝟒𝟎 − 𝟓)!
=
𝟒𝟎!
(𝟓!)(𝟑𝟓!)
= 𝟔𝟓𝟖𝟎𝟎𝟖 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒂𝒋𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒏𝒐𝒍𝒂
𝑪(𝟓𝟐, 𝟓) =
𝟓𝟐!
𝟓! (𝟓𝟐 − 𝟓)!
=
𝟓𝟐!
(𝟓!)(𝟒𝟕!)
= 𝟐𝟓𝟗𝟖𝟖𝟗𝟔𝟎 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒂𝒋𝒂 𝒊𝒏𝒈𝒍𝒆𝒔𝒂

9. Ejemplo 3: ¿Cuántos equipos de dos alumnos se pueden formar de 6 alumnos, para la
exposicion en clase?
Solución:
𝑪(𝟏𝟔, 𝟐) =
𝟔!
𝟐! (𝟔 − 𝟐)!
=
𝟔!
(𝟐!)(𝟒!)
= 𝟏𝟓
Combinación con repetición.
𝑪(𝒏, 𝒌) =
(𝒌 + 𝒏 − 𝟏)!
(𝒌 − 𝟏)! 𝒏!
Características:
 No importa el orden
 No participan todos los elementos
 Sí se repiten los elementos
Ejemplo 1: En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.
¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
Solución:
k = 35
n = 3
𝑪(𝒏, 𝒌) =
(𝒌 + 𝒏 − 𝟏)!
(𝒌 − 𝟏)! 𝒏!
𝑪(𝟑, 𝟑𝟓) =
(𝟑𝟓 + 𝟑 − 𝟏)!
(𝟑𝟓 − 𝟏)𝟑!
=
𝟑𝟕!
𝟑! (𝟑𝟒)!
= 𝟔
Ejemplo 2: ¿Cuántas contraseñas de 3 letras se pueden formar con las primeras 4 letras del
alfabeto (a, b, c, d)?
Solución:
k = 4
n = 3
𝑪(𝒏, 𝒌) =
(𝒌 + 𝒏 − 𝟏)!
(𝒌 − 𝟏)! 𝒏!
𝑪(𝟑, 𝟒) =
(𝟒 + 𝟑 − 𝟏)!
(𝟒 − 𝟏)𝟑!
=
𝟔!
𝟑! (𝟑)!
= 𝟔𝟎

10. Ejemplo 3: En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.
¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
Solución:
k = 35
n = 3
𝑪(𝒏, 𝒌) =
(𝒌 + 𝒏 − 𝟏)!
(𝒌 − 𝟏)! 𝒏!
𝑪(𝟑, 𝟑𝟓) =
(𝟑𝟓 + 𝟑 − 𝟏)!
(𝟑𝟓 − 𝟏)𝟑!
=
𝟑𝟕!
𝟑! (𝟑𝟒)!
= 𝟕𝟕𝟕𝟎