1. Producto vectorial
Definición
Interpretación geométrica
Producto mixto
Jana Rodriguez Hertz – p. 1/2
2. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
3. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
4. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
x2 x3 x1 x3 x1 x2
X ∧Y = ,− ,
y2 y3 y1 y3 y1 y2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
5. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
x2 x3 x1 x3 x1 x2
X ∧Y = ,− ,
y2 y3 y1 y3 y1 y2
◦ ◦ ◦
x1 x2 x3
y1 y2 y3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
6. PEDRO
CALCULO
Observación 1
Se puede recordar por la fórmula
e1 e2 e3
X ∧ Y = x1 x2 x3
y1 y2 y3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2
15. Antisimetría
Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene:
X ∧ Y = −Y ∧ X
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
16. Antisimetría
Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene:
X ∧ Y = −Y ∧ X
el producto vectorial es ANTISIM E TRICO
´
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
17. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
18. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
19. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
20. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
21. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z)
el producto vectorial es MULTILINEAL
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
25. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
26. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
27. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
entonces N = U ∧ V es un vector normal al
plano,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
28. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
entonces N = U ∧ V es un vector normal al
plano, ∴
π)(X − P ) · N = 0
es una ecuación reducida del plano π
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
29. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
30. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
31. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
e1 e2 e3
U ∧V = 1 2 1 =
−1 1 −2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
32. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
33. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π)(X − P )⊥(−5, 1, 3) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
34. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π) − 5(x − 1) + (y + 1) + 3(z + 2) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
35. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:
x = 1 +λ −µ
y = −1 +2λ +µ
z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π) − 5x + y + 3z + 12 = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
36. Intersección de 2 planos
El vector director de la recta dada por:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r)
a2 x + b2 y + c2 z = d2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
37. Intersección de 2 planos
El vector director de la recta dada por:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r)
a2 x + b2 y + c2 z = d2
es:
(a1 , b1 , c1 ) ∧ (a2 , b2 , c2 )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
39. Interpretación gemoétrica (II)
Dados X, Y ∈ R3 , tenemos
|X ∧ Y | = |X||Y |sen∠(X, Y )
la terna (X, Y, X ∧ Y ) es directa
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2
40. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
41. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
42. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante
x1 x2 x3
y1 y2 y3 ≥ 0
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
43. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
44. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
x1 x2 x3
[X, Y, Z] = y1 y2 y3
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
45. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
x1 x2 x3
[X, Y, Z] = y1 y2 y3 = (X ∧ Y ) · Z
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
48. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
49. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
50. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . que tiene un área bien
definida.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
51. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) =
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
52. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) = |X||Y |senθ
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
53. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) = |X ∧ Y |
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
54. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
|X ∧ Y | es el área
del paralelogramo
definido por X e Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
56. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
57. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
58. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El área de la base del
prisma es |X ∧ Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
59. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El área de la base del
prisma es |X ∧ Y |La altura del prisma es |Z| cos ψ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
60. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V =
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
61. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = |X ∧ Y ||Z| cos ψ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
62. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = ±(X ∧ Y ) · Z
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
63. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = ±[X, Y, Z]
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
64. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
65. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
66. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{d(P, X) : X ∈ r}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
67. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − X| : X ∈ r}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
68. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
69. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
d(P, r) = |W |.senθ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
70. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
|V ∧ W |
d(P, r) =
|V |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2