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1. Subespacios vectoriales
Definición. Ejemplos.
Operaciones con s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 1/1

2. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v.,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

3. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

4. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
llamamos a S K-subespacio vectorial de V si :
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

5. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
llamamos a S K-subespacio vectorial de V si :
S=∅
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

6. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
llamamos a S K-subespacio vectorial de V si :
S=∅
S+S⊂S
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

7. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
llamamos a S K-subespacio vectorial de V si :
S=∅
S+S⊂S
KS ⊂ K
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

8. s.e.v. - definición
Dados (V, K, +, .) e.v., y S ⊂ V
llamamos a S K-subespacio vectorial de V si :
S=∅
S+S⊂S
KS ⊂ K
Lo anotamos
S⊂V
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

9. Ejemplo 1 - ker(A)
Dada una matriz A ∈ Mm×n (K), el conjunto
−
→
ker(A) = {X ∈ K : AX = 0 }
n
es un s.e.v. de Kn
c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

10. Ejemplo 1 - ker(A)
Dada una matriz A ∈ Mm×n (K), el conjunto
−
→
ker(A) = {X ∈ K : AX = 0 }
n
es un s.e.v. de Kn
c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

11. Ejemplo 2
El conjunto
S = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}
es un s.e.v. de R3 .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

12. Ejemplo 2
El conjunto
S = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}
es un s.e.v. de R3 .
Pregunta: ¿Podemos escribir S como ker(A)
para algún A?
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

13. Ejemplo 3
El conjunto
S = {(x, y, 1) : x, y ∈ R}
no es un s.e.v. de R3 .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

14. Teorema
Dado (V, K, +, .) e.v.
S s.e.v. de V ⇔ (S, K, +, .) e.v. tal que S ⊂ V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

15. Demostración ⇒
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z)
[S3] ∃O ∈ S TAL QUE : X + O = X ∀X ∈ S
[S4] TODO X TIENE OPUESTO : ∀X ∈ S ∃(−X) ∈ S :
X + (−X) = O
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/1

16. Demostración ⇒
[P1] A SOCIATIVA : (αβ)X = α(βX)
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X ∀X ∈ S
[P3] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN K:
(α + β)X = αX + βX
[P4] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN S:
α(X + Y ) = αX + αY
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1

17. Demostración ⇐
ejercicio
c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/1

18. Corolario
S s.e.v. de V ⇒ O∈S
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/1

19. Ejemplo 4 - espacios de funciones
F(R) = {f : R → R : f función} e.v. sobre R
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

20. Ejemplo 4 - espacios de funciones
F(R) = {f : R → R : f función} e.v. sobre R
C(R) = {f ∈ F : f continua } ⊂ F(R)
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

21. Ejemplo 4 - espacios de funciones
F(R) = {f : R → R : f función} e.v. sobre R
C(R) = {f ∈ F : f continua } ⊂ F(R)
s.e.v.
C 1 (R) = {f ∈ F(R) : f diferenciable} ⊂ C(R)
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

22. Ejemplo 4 - espacios de funciones
F(R) = {f : R → R : f función} e.v. sobre R
C(R) = {f ∈ F : f continua } ⊂ F(R)
s.e.v.
C 1 (R) = {f ∈ F(R) : f diferenciable} ⊂ C(R)
s.e.v.
R[x] = {polinomios de variable real} ⊂ C 1 (R)
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

23. Ejemplo 4 - espacios de funciones
R∗ [x] = {polinomios reales de grado n}
n
no es un s.e.v. de R[x]
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

24. Ejemplo 4 - espacios de funciones
R∗ [x] = {polinomios reales de grado n}
n
no es un s.e.v. de R[x]
Rn [x] = {polinomios reales de grado ≤ n} ⊂ R[x]
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

25. Ejemplo 4 - espacios de funciones
R∗ [x] = {polinomios reales de grado n}
n
no es un s.e.v. de R[x]
Rn [x] = {polinomios reales de grado ≤ n} ⊂ R[x]
s.e.v.
L∞ (R) = {f ∈ F : f acotada} ⊂ F(R)
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

26. ∩ de s.e.v.
S⊂V
s.e.v. =⇒ S ∩ T ⊂ V
T⊂V s.e.v.
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/1

27. ∪ de s.e.v.
sin embargo
S⊂V
s.e.v. =⇒ S ∪ T ⊂ V
T⊂V s.e.v.
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/1

28. + de s.e.v.
S⊂V
s.e.v. =⇒ S + T ⊂ V
T⊂V s.e.v.
s.e.v.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/1

29. + de s.e.v.
S⊂V
s.e.v. =⇒ S + T ⊂ V
T⊂V s.e.v.
s.e.v.
donde
S + T := {X + Y : X ∈ S Y ∈ T}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/1