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Ejercicios Resueltos
Ense˜nanza media
Ecuaciones cuadr´aticas
´Ultima edici´on: 10 de agosto de 2015
Aplique la f´ormula para resolver las siguientes ecuaciones:
i) x2
+ x = 0
ii) 3x2
− 2 = 0
iii) x2
+ 2x + 1 = 0
iv) x2
− x − 30 = 0
v) 2x2
+ 3x − 1 = 0
vi) 3x2
− x − 2 = 0
vii) x2
+ 2x + 3 = 0
viii) x2
− 5x − 4 = 0
ix) 4x2
+ 4x + 1 = 0
x) 2x2
+ x − 2 = 0
xi) x2
+ 6x + 5 = 0
xii) x2
− 6x + 5 = 0

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Soluci´on:
i) Identificamos los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 0. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−1 ±
√
12 − 4 · 1 · 0
2 · 1
,
x =
−1 ±
√
1 − 0
2
,
x =
−1 ±
√
1
2
,
x =
−1 ± 1
2
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
y
x2 =
−1 − 1
2
=
−2
2
= 1
ii) Identificamos los coeficientes a = 3, b = 0 y c = −2. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
0 ± 02 − 4 · 3 · (−2)
2 · 3
,
x =
±
√
0 − (−24)
6
,
x =
±
√
24
6
,
x =
±
√
6 · 4
6
,
x =
±2
√
6
6
,
x =
±
√
6
3
,
2

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como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
√
6
3
,
y
x2 = −
√
6
3
iii) Identificamos los coeficientes a = 1, b = 2 y c = 1. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−2 ±
√
22 − 4 · 1 · 1
2 · 1
,
x =
−2 ±
√
4 − 4
2
,
x =
−2 ±
√
0
2
,
x =
−2 ± 0
2
,
x =
−2
2
,
x = −1.
Este es un ejemplo en que x tiene un solo valor, pero con multiplicidad 2.
iv) Identificamos los coeficientes a = 1, b = −1 y c = −30. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 1 · (−30)
2 · 1
,
x =
1 ±
√
1 − (−120)
2
,
x =
1 ±
√
1 + 120
2
,
x =
1 ±
√
121
2
,
x =
1 ± 11
2
,
3

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como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
1 +
√
11
2
=
12
2
= 6,
y
x2 =
1 −
√
11
2
=
−10
2
= −5.
v) Identificamos los coeficientes a = 2, b = 3 y c = −1. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−3 ± 32 − 4 · 2 · (−1)
2 · 2
,
x =
−3 ±
√
9 − (−8)
4
,
x =
−3 ±
√
9 + 8
4
,
x =
−3 ±
√
17
4
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
−3 +
√
17
4
y
x2 =
−3 −
√
17
4
vi) Identificamos los coeficientes a = 3, b = −1 y c = −2. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
4

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x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 3 · (−2)
2 · 3
,
x =
1 ±
√
1 − (−24)
6
,
x =
1 ±
√
1 + 24
6
,
x =
1 ±
√
25
6
,
x =
1 ± 5
6
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
1 + 5
6
=
6
6
= 1,
y
x1 =
1 − 5
6
=
−4
6
=
−2
3
.
vii) Identificamos los coeficientes a = 1, b = 2 y c = 3. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−2 ± (2)2 − 4 · 1 · 3
2 · 1
,
x =
−2 ±
√
4 − 12)
2
,
x =
−2 ±
√
−8
2
,
x =
−2 ±
√
−1 · 4 · 2
2
,
x =
−2 ± 2
√
−1 · 2
2
,
x =
−2 ± 2
√
−1 ·
√
2
2
,
x =
−2 ± 2i
√
2
2
,
x = −1 ± i
√
2,
5

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como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 = −1 + i
√
2,
y
x2 = −1 − i
√
2.
viii) Identificamos los coeficientes a = 1, b = −5 y c = −4. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−(−5) ± (−5)2 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1
,
x =
5 ±
√
25 − (−16)
2
,
x =
5 ±
√
25 + 16
2
,
x =
5 ±
√
41
2
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
5 +
√
41
2
,
y
x2 =
5 −
√
41
2
.
ix) Identificamos los coeficientes a = 4, b = 4 y c = 1. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
6

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x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−4 ±
√
42 − 4 · 4 · 1
2 · 4
,
x =
−4 ±
√
16 − 16
8
,
x =
−4 ±
√
0
8
,
x =
−4
8
,
x =
−1
2
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x, entonces
x1 = x2 = =
−1
2
.
Tambi´en podriamos decir que la soluci´on es x = 1
2 con multiplicidad 2.
x) Identificamos los coeficientes a = 2, b = 1 y c = −2. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−1 ± 12 − 4 · 2 · (−2)
2 · 2
,
x =
−1 ±
√
1 − (−16)
4
,
x =
−1 ±
√
1 + 16
4
,
x =
−1 ±
√
17
4
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
−1 +
√
17
4
,
y
x2 =
−1 −
√
17
4
.
7

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xi) Identificamos los coeficientes a = 1, b = 6 y c = 5. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−6 ±
√
62 − 4 · 1 · 5
2 · 1
,
x =
−6 ±
√
36 − 20
2
,
x =
−6 ±
√
16
2
,
x =
−6 ± 4
2
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
−6 + 4
2
=
−2
2
= −1,
y
x2 =
−6 − 4
2
=
−10
2
= −5,
xii) Identificamos los coeficientes a = 1, b = −6 y c = 5. Luego, reemplazamos en la ecuaci´on
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
,
x =
−(−6) ± (−6)2 − 4 · 1 · 5
2 · 1
,
x =
6 ±
√
36 − 20
2
,
x =
6 ±
√
16
2
,
x =
6 ± 4
2
,
como es una ecuaci´on cuadr´atica, tiene dos valores para x (el s´ımbolo ± indica que debemos tomar el signo +
y el signo −), entonces
x1 =
6 + 4
2
=
10
2
= 5,
8

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y
x2 =
6 − 4
2
=
2
2
= 1,
9