1. CALCULO VECTORIAL CARLOS BAHOQUEZ
PEDRO ROMERO EDGAR NOGUERA
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE
DERIVADA DIRECCIONAL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea f (x, y) una funci´ n de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derIvada
o
direccional de f en (a, b) en la direcci´ n de u al siguiente l´
o ımite (si existe):
Cuando la funci´ n es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en funci´ n de las
o o
derivadas parciales:
Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = fx (a, b) cos θ + fy (a, b) sen θ
GRADIENTE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Se llama gradiente de la funci´n diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:
o
f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y))
Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar:
Du f (a, b) = f (a, b) · u
PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCI´ N DE DOS VARIABLES
O
• Si f (a, b) = 0, entonces Du f (a, b) = 0 para todo u.
• La derivada direccional en (a, b) es m´ xima en la direcci´ n del vector gradiente
a o f (a, b) (direcci´ n de
o
m´ ximo incremento de f ), siendo k f (a, b)k su valor m´ ximo.
a a
• La derivada direccional en (a, b) es m´ınima en la direcci´ n del vector − f (a, b) (direcci´ n de m´
o o ınimo
incremento de f ), siendo − k f (a, b)k su valor m´
ınimo.
• La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direcci´ n perpendicular al vector gradiente.
o
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCI´ N DE TRES VARIABLES
O
La derivada direccional de f (x, y, z) en (a, b, c) en la direcci´ n del vector unitario u = (u1 , u2 , u3 ) es
o
Du f (a, b, c) = fx (a, b, c)u1 + fy (a, b, c)u2 + fz (a, b, c)u3 = f (a, b, c) · u
donde
f (a, b, c) = (fx (a, b, c), fy (a, b, c), fz (a, b, c))
es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables.

2. CALCULO VECTORIAL CARLOS BAHOQUEZ
PEDRO ROMERO EDGAR NOGUERA
EJERCICIOS
1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican:
(a) f (x, y) = 5 + x2 − 3y 2 , en el punto (1, 2) y el la direcci´ n θ = π .
o 6
(b) f (x, y) = y 2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la direcci´ n v = 3i − 4j.
o
2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y 2 en P (−3/4, 0) en la direcci´ n
o
que va de P a Q(0, 1).
3. La temperatura en grados cent´ıgrados en la superficie de una placa met´ lica es T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 ,
a
donde x e y se expresan en cent´ ımetros. A partir del punto (2, −3), ¿en qu´ direcci´ n aumenta m´s
e o a
r´ pidamente la temperatura de la placa? ¿Cu´ l es el ritmo de crecimiento?
a a
4. Halla el vector gradiente de la funci´ n f (x, y, z) = x2 + y 2 − 4z, as´ como las direcciones de m´ ximo y
o ı a
m´ınimo incremento de f en el punto (2, −1, 1). ¿Existe alguna direcci´ n en la que la derivada direccional
o
sea nula?