vectorial

2. CÁLCULO VECTORIAL
Daniel Garzón
Departamento de Matemáticas, fı́sica y Estadı́stica
Universidad de La Sabana

3. DERIVADAS DIRECCIONALES
En esta lección estudiaremos las derivadas direccionales de una función f de
varias variables. Estas nos dan la razón de cambio de la función en una di-
rección unitaria cualquiera. Ya estudiamos dos derivadas direccionales muy
importantes, las derivadas parciales, estas son las derivadas direccionales, en
dirección de los vectores unitarios (1, 0), (0, 1). Las derivadas parciales nos
ayudaran a definir la derivada direccional en general.
FIGURA: Derivada parcial
En la figura anterior dibujamos una de las rectas que define el plano tangente,
esta tiene como vector director (0, derivada parcial en y, 1)

4. DERIVADAS DIRECCIONALES DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS DIRECCIONALES
DERIVADA DIRECCIONAL
Dada una función f(x, y), un punto (a, b) en el dominio de f, y un vector
unitario ⃗
v = (v1, v2). Nos interesa conocer la pendiente de la recta tangente
de la curva definida por f(a + tv1, b + tv2)
Recta definida por el vector derivada direccional

5. DERIVADAS DIRECCIONALES CONJUNTOS DE NIVEL
DERIVADA DIRECCIONAL
Ası́ el vector director de la recta tangente estará dado por
v1, v2, f′
v(x, y)
(a,b)
,
donde f′
v(x, y) (a,b)
es la pendiente de la recta que estábamos buscando, esta
se conoce como la derivada direccional, de la función f en la dirección del
vector v en el punto (a, b). Como el vector
v1, v2, f′
v(x, y)
(a,b)
,
vive en el plano tangente entonces podemos calcular
v1, v2, f′
v(x, y)
(a,b)
como una combinación lineal de
0, 1, ∂f(a,b)
∂y
,
1, 0, ∂f(a,b)
∂x
.

6. DERIVADAS DIRECCIONALES DERIVADA DIRECCIONAL
DERIVADA DIRECCIONAL
Ası́ encontramos una formula analı́tica para calcular f′
v(x, y)
(a,b)
,
f′
v(x, y)
(a,b)
= v1
∂f(a, b)
∂x
+ v2
∂f(a, b)
∂y
Si hacemos ∇f(a, b) =
∂f(a,b)
∂x , ∂f(a,b)
∂y
entonces,
f′
v(x, y)
(a,b)
= ⃗
v · ∇f(a, b)
Y extrapolando podemos definir el concepto para un campo escalar de mas de
dos variables
f′
v = ⃗
v · ∇f

7. DERIVADAS DIRECCIONALES VECTOR GRADIENTE
VECTOR GRADIENTE
Como la derivada direccional es la razón de cambio en una dirección dada,
una buena pregunta que nos podemos hacer, es, ¿en cual dirección se
encuentra la mayor razón de cambio de la función f(x, y) a partir de un punto
dado (a, b)? Esta pregunta se resuelve fácilmente al reexpresar la derivada
direccional como,
f′
v(x, y)
(a,b)
= ⃗
v · ∇f(a, b) = ∥⃗
v∥∥∇f(a, b)∥ cos θ = ∥∇f(a, b)∥ cos θ
donde θ es el angulo entre los vectores ⃗
v, y ∇f(a, b). Claramente la derivada
direccional alcanza el máximo, cuando θ = 0, esto es ∇f(a, b) = λ⃗
v, lo que
indica que la dirección en la cual se encuentra la mayor razón cambio está
dada por la dirección del vector ∇f(a, b), y la razon de cambio en esta
dirección es ∥∇f(a, b)∥. El vector ∇f(a, b) se conoce como el vector
gradiente calculado en el punto (a, b).

8. BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. Tromba, A., Cálculo Vectorial Addison Wesley (1998).