Este documento explica el concepto de derivada direccional para funciones de una, dos y tres variables. Define la derivada direccional como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección, cuando este cambio tiende a cero. También introduce el gradiente como un vector formado por las derivadas parciales de la función, y explica que la derivada direccional puede expresarse en términos del producto interno entre el gradiente y la dirección unitaria.

1. Alumna:
Gregory Batista
CI:26131214
Matemática III
San Cristóbal, julio 2017

2. Derivada direccional
jseniu

θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
Denotada por:
t
yxfsentytxf
yxfD
t
u
),(),cos(
lim),(
0
−++
=
→
θθ
),( yxfDu
 se define como
siempre que ese límite exista.

3. Interpretación geométrica de la
derivada direccional
{ }),(/),,( yxfzzyx ==Σ
πΣ=C
( )),(,, bafba





=
+=
+=
zz
sentby
tax
θ
θ
π
cos
:
u


4. x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
πPlano
t
baftsenbtaf
t
bafyxf
m
),(),cos(
),(),(
sec
−++
=
−
=
θθ
Interpretación geométrica de la
derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t
( ) ( ) tbyax =−+−
22

5. x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
πPlano
t
baftsenbtaf
m
t
tag
),(),cos(
lim
0
−++
=
→
θθ
tagu mbafD =),(
Interpretación geométrica de la
derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t

6. Interpretación geométrica de la
derivada direccional

7. Derivada direccional
jseniu

θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
θθ senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),( +=

8. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Fijado un punto (a, b) y sea
θθ senyxfyxftg yx ),(cos),()( +=′
Por ser f una función diferenciable de x e y,
podemos aplicar la regla de la cadena.
Si t=0
θθ sentbytax +=+= ;cos
),()( yxftg =
)(),()(),()( tyyxftxyxftg yx
′+′=′
θθ senbafbafg yx ),(cos),()0( +=′

9. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Por otro lado
),(
),(),cos(
lim
)0()(
lim)0(
0
0
bafD
t
bafsentbtaf
t
gtg
g
u
t
t
=
−++
=
−
=′
→
→
θθ
θθ senbafbafg yx ),(cos),()0( +=′
Por lo tanto
θθ senbafbafbafD yxu ),(cos),(),( +=

10. Gradiente de una función de dos
variables
),( yxf∇

Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que fx y fy
existen. Se llama gradiente de f, al vector
Se “lee delta de f ”
Otra notación
f∇

),( yxfgrad
jyxfiyxfyxf yx

),(),(),( +=∇
Es un vector del plano xy

11. Forma alternativa de la derivada
direccional
jseniu

θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
uyxfyxfDu

 •∇= ),(),(

12. Propiedades del Gradiente
),(),(demáximovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmáximo
u ∇
∇



Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto
(x, y)
uyxfyxf

 todopara0),(Dentonces0),(Si u ==∇

13. Propiedades del Gradiente
),(),(demínimovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmínimo
u ∇−
∇−



entonces es normal a la curva de nivel que
pasa por (x0, y0)
0),( 00

≠∇ yxf
Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto (x0, y0) y
),( 00 yxf∇


14. Derivada direccional máxima

15. Derivada direccional para
funciones de tres variables
kcjbiau

++=
Si f es una función diferenciable de x, y, z su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
),,(),,(),,(),,( zyxfczyxbfzyxafzyxfD zyxu ++=
1=u


16. Gradiente de una función de tres
variables
Sea w = f (x, y, z) una función de x, y,y z tal que fx,,
fy y fz existen. Se llama gradiente de f, al vector
kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx

),,(),,(),,(),,( ++=∇
uzyxfzyxfDu

 •∇= ),,(),,(
La derivada direccional en términos del gradiente

17. Propiedades del gradiente de una
función de tres variables
uzyxfzyxf

 todopara0),,(Dentonces0),,(Si u ==∇
),,(),,(demáximovalorEl
).,,(pordada
vienededirecciónLa
zyxfeszyxfD
zyxf
fdeocrecimientmáximo
u ∇
∇



entonces es normal a la superficie de nivel
que pasa por (x0, y0,z0)
0),,( 000

≠∇ zyxf
Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x0, y0,z0) y
),,( 000 zyxf∇
