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:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
CIENTÍFICA
PROFESORA: VIVIANA POLISENA
AÑO: 2008/2009
LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Otro enfoque para su estudio
ÁREA: MATEMÁTICA
ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Por Claudia Durnbeck
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2. PLANTEAMIENTO
TRABAJO FINAL
POSGRADO: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
TEMA: LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
ÁREA: MATEMÁTICA
ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Referencias para una adecuada interpretación de esta propuesta:
 Cuando nombremos “Límite”: Estaremos refiriéndonos al Límite
de una función de Dos variables.
 Cuando digamos “Límite Doble”: Estaremos refiriéndonos al
Límite también llamado Límite Simultáneo, que es cuando las
dos variables tienden juntas al punto en cuestión.
FUNDAMENTACIÓN:
El concepto de Límite de funciones de Dos Variables, también llamado
Límite Doble, se desarrolla, en general, en primer año de las distintas
Facultades de Ingeniería.
En esta etapa del estudio universitario, encontramos alumnos
habituados a resolver ejercicios con resultado únicos, lo que les
permite llegar a conclusiones irrefutables sobre el problema planteado.
La dificultad que representa explicar y comprender el tema Límite de
Funciones de dos Variables se debe, a mí entender, a las siguientes
razones:
1. Se inicia el desarrollo del tema con la expresión, que define el
Límite Doble:
Con
Interpretarla, implica, conocer el significado de los operadores y
cuantificadores que en ella interviene y, en general, la mayoría
son nuevos para alumnos de este nivel.
2

3. También su comprensión, implica tener claros ciertos conceptos
como: Dominio de una función, punto de acumulación, entorno
reducido de un punto ó distancia entre puntos en , y otros.
Hacemos un gráfico escueto, difícil de comprender, señalado a
dónde están ubicados los elementos que intervienen en la
definición y hablamos de caminos…
2. Las posibilidades de elegir el camino(*) para acercarnos a un
punto, en el espacio de 2-dim, no son únicas, ni finitas, muy por
el contrario…las posibilidades de elección son infinitas.
En la práctica, lo que se hace, es encontrar el valor de Límite por
algunos caminos, teniendo en cuenta que si existe, es único, si
por esas trayectorias, elegidas arbitrariamente, se llega al
mismo resultado, entonces se ´supone´ que el límite existe y su
valor corresponde al hallado.
Suponer un resultado, no es algo que resulte cómodo en
matemática, creo que la incertidumbre no es familiar en el
lenguaje de la matemática básica, y es lo que hace que el tema
propuesto, sea uno de los pocos en el que los docentes
aceleramos, para cruzar rápido el puente y llegar al próximo
tema y los alumnos quedan con el interrogante…pero…entonces
…existe el límite, ó no?
(*) Distintas curvas planas, cuyas ecuaciones ya deben ser
conocidas, su dominio, estar incluidas en el Dominio de nuestra
función y el punto pertenecer a ella.
3. Para afirmar que el Límite de una función en un punto existe
irrefutablemente, se debe probar que “él mismo” verifica la
definición y no siempre es posible hacerlo, depende de la
expresión de la función, e incluso en los casos posibles, para el
alumno es una tarea muy difícil.
Sin certeza, no hay comodidad matemática.
3

4. Si bien admito que el estudio del Límite de funciones de dos Variables
puede ser poco atractivo o antipático, lo que fundamenta mi inquietud,
es que lo utilizamos como hipótesis en muchos teoremas y
definiciones, como en el tema inmediato : Continuidad, el que a su
vez, es la base para fundamentar otras Definiciones y Teoremas.
Sin haber entendido adecuadamente el concepto de Límite de
funciones de dos variables…
HIPÓTESIS:
 ¿Es posible desarrollar el tema, sin utilizar, al menos
inicialmente, las expresiones: Infinitos (caminos) vs. Único (valor
del Límite) y es posible que exista…?
 ¿Si la función está definida ¨naturalmente¨ en el punto, el límite
está resuelto?
 ¿Sería conveniente comenzar el estudio del Límite de una
función, analizando en el punto, previamente, el comportamiento
Algebraico de la función?
 ¿Es suficiente ¨hallar¨ mecánicamente el Límite ó es necesario
justificar su existencia?
 ¿Cuál es la prestación más interesante que brindan los límites
Reiterados o Iterados?
 ¿Los Límites Reiterados…son límites direccionales?
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5. OBJETIVOS:
 Encontrar otra manera de comenzar el desarrollo del tema que
no sea por la Definición. Es decir, No comenzar por la definición.
 Representar gráficamente la situación del Límite de manera clara
y didáctica, para usar ésta representación como partida en el
desarrollo del tema.
 Utilizar el Concepto ya estudiado de Límite de funciones de una
Variables, como apoyo, destacando las diferencias y
concordancias.
 Transmitir los conceptos de L. Simultáneo, L. Iterados y L.
Direccionales, con herramientas didácticas y pedagógicas
accesibles, de modo que el alumno pueda descubrir las
diferencias y las concordancias que hay entre ellos, y así
potenciar su valor como herramientas en el estudio del Límite.
 Utilizar las representaciones Gráficas de la función estudiada,
como guía en el estudio.
 Relacionar conceptos vistos en cursos anteriores, como Álgebra,
Análisis Matemático I y Geometría, de modo que nos sirvan de
apoyo en este estudio.
 Por último: Encontrar un procedimiento más estimulante para el
alumno que el tradicional, con respecto al estudio de Límite.
Teniendo como meta, que el alumno se involucre en las
investigaciones propuestas, es decir, en el análisis algebraico de
la función y la interpretación de su representación gráfica.
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6. Límite de Funciones de Dos Variables
Otro enfoque para su estudio
Desarrollo
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7. Pensemos en la idea Intuitiva del concepto de Límite: En general, se
entiende como una barrera hasta la cual podremos llegar. Hablamos
cotidianamente de límites entre Países, de los límites entre terrenos,
de los límites que deben tener nuestros hijos…Cuando hablamos de
los límites de Funciones, nos referimos al valor al cual ellas tienden,
cuando nos acercamos a cierto elemento de su dominio, que de algún
modo, es también ¨hasta dónde llegan¨.
Usamos este concepto ¨intuitivamente¨ en cursos de Geometría,
cuando definimos longitud de una circunferencia como el Límite al que
tiende una sucesión de perímetros de Polígonos circunscriptos o
inscriptos en ella, cuando la longitud de los lados tiende a cero.
También en cursos de Física, cuando nos referimos a la “velocidad
instantánea” como el Límite de la “velocidad media” para intervalos de
tiempo cada vez más pequeños. Y hay muchos ejemplos para la idea
de límite de funciones de una variable independiente.
Para el estudio del límite de funciones de una variable independiente,
hemos visto que el problema se reduce a observar cómo se comporta
la función al acercarnos a un punto del Dominio por derecha e
izquierda, moviéndonos en general, sobre la recta Y=0.
En el caso de funciones de dos variables independientes, para
acercarnos a un punto del Dominio, , tenemos infinitas
opciones, infinitos caminos para llegar a él. Y es justamente esto, lo
que hace complejo el estudio del Límite de funciones de Dos
Variables, pues si recordamos ¨La unicidad del Límite¨, propiedad vista
para funciones de una variable, y también válida para funciones de
dos variables, ¨Si el Límite existe, es único e independiente del camino
utilizado¨ y nunca podremos verificar que por todas estas opciones,
llegamos al mismo resultado.
Conclusión 1:
Es por eso, que solamente si el Límite hallado, verifica la definición,
podremos asegurar la existencia del Límite.
Veremos un ejemplo, tomando una función sencilla, que nos ilustrará
sobre el comportamiento de los valores de una función escalar de dos
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8. variables, cuando los puntos del Dominio se aproximan a un punto que
puede o no pertenecer a él.
Sea: y estudiemos su comportamiento en
Dominio de la función, todo el plano R2, solo representamos el primer
octante.
Realizamos una tabla de valores en las proximidades de (3;2), con el
objeto de vincular este estudio, con el de funciones de una variable.
8

9. Tomemos valores sobre las rectas x=3 e y=2.
X y F(x;y)
2,991 2 4,991
2,995 2 4,995 Observemos la tabla y el gráfico, sin
olvidar que nos estamos moviendo
2,999 2 4,999 sobre las rectas x=3 e y=2.
Cuanto más nos acercamos al punto del
3 2 5 Dominio (3;2) , la función se aproxima al
3 1,999 4,999 número real 5. La diferencia entre f(x;y)
y 5 será más pequeña, cuando los (x;y)
3 1,995 4,995 estén más cerca de (3;2).
3 1,991 4,991
Consideremos que el valor absoluto de
esta diferencia es menor que dos milésimo:
9

10. Volvamos a la tabla y tomemos (x,y)=(3;1,9999) para verificar:
x Y f(x;y)
3 1,9999 4,9999
Vemos que a los (x;y) que se encuentren a una distancia de (3;2)
inferior a 0,001 le corresponden por medio de la función, valores
reales que están a una distancia menor que 0,002 de 5.
Debemos tener en cuenta que fijamos previamente el número 0,002 y
de ahí se desprendió el número 0,001, por lo tanto es .
Del desarrollo anterior deducimos que para cualquier número
(en el ejemplo ) , es suficiente elegir (en el
ejemplo )
Porque si:
Conclusión 2:
Tomamos una función sencilla, conocida por los alumnos y de fácil
representación, realizamos un desarrollo similar al que se hace para
funciones de una variable y relacionamos este nuevo concepto.
Analizamos gráfica y analíticamente grupalmente y luego… definimos.
Generalizando la deducción anterior, expresamos la Definición de
Límite de funciones de Dos variables:
Literalmente:
(Sugerimos ser muy explícitos para tener una mejor llegada al alumno,
siempre relacionar con la gráfica, para lograr una rápida interpretación)
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11. ¨El Límite de la función f(x;y)cuando (x;y) tiende o se aproxima al
punto de acumulación del Dominio de la función (a;b,) es igual número
real L, si y solo si, para todo número real Épsilon ( , positivo, existe
en correspondencia o dependiente de él, otro número real Delta
( , también positivo, de tal modo que para todo punto (x;y) del
dominio que pertenezca al entorno reducido del punto (a;b) de radio
Delta, entonces la diferencia entre el valor de la función en ese punto y
el número real L, tomada en valor absoluto, es menor que Épsilon¨.
(Observemos la representación de la función, junto con los alumnos e
interpretemos gráficamente la definición, antes de expresarla
simbólicamente)
Simbólicamente:
Con
No es necesario que la función este definida en (a;b) para que el
Límite en ese punto exista.
Hasta el momento, hicimos un desarrollo similar al que algunos
autores hacen para Límite de funciones de una variable.
Observemos la diferencia: Cuando hablamos de distancia en R, solo
tenemos la posibilidad de tomarla de un lado o del otro del punto. En
cambio, para hablar de distancia en R2, tenemos que hablar de
Entorno.
Conclusión 3:
Usamos los conceptos adquiridos para funciones de una variable y
establecemos las diferencias con este nuevo concepto: El entorno en
R2.
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12. Definición:
Dado un punto y un número real , llamaremos
Entorno del punto , de radio ¨ ¨, al conjunto de todos los puntos
pertenecientes al cuyas distancias a son menores que ¨ ¨.
Simbólicamente:
Será Entorno Reducido, cuando el punto no pertenezca al
Entorno.
Recordemos Distancia en :
Este Disco con centro en el punto al cual nos aproximamos, abre un
abanico de infinitos caminos posibles. El Entorno no necesariamente
tiene que ser circular, pero es común trabajar con este tipo. Se
representa en por un círculo de centro y radio r.
Si el resultado del Límite no es el mismo para todas las trayectorias
posibles de acercarnos al punto entonces el Límite no existe.
Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente del
camino elegido y de que el camino debe contener al punto.
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13. Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estén
incluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste,
no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular el
límite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto de
puntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites
¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función.
Antes de ver algunos ejemplos, distinguiremos dos situaciones:
a)
Cuando la función está definida en el punto donde queremos
estudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando calculo el
Límite Doble o Simultáneo.
b)
Cuando la función no está definida en el punto donde queremos
calcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcular
el Límite Doble.
En el caso a), cuando no hay indeterminación, problema resuelto: El
Límite Doble existe. Debemos pensarlo “intuitivamente”, el Límite al
cual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función.
El caso b) es el que nos va a ocupar, cuando el Límite doble
simultáneo no existe, lo que genera la necesidad de usar otros
caminos para buscar el límite.
Veamos algunos Ejemplos.
1er. Ejemplo:
Hallar
Previamente, estudiamos cual es el Dominio de la función.
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14. Son todos los puntos del plano a excepción del punto (0;0). Como
ya hemos dicho, no es necesario que el punto donde se estudia el
Límite pertenezca al Dominio de la función, pero si debe ser un punto
de acumulación, es decir, es necesario que esté definida para los
punto de un entorno reducido de, en este caso, de (0;0).
Haciendo uso de los programas con los que contamos actualmente,
por ejemplo el Derive, graficamos la función a estudiar, para obtener
la información que orientará el análisis. Sugerimos hacerla rotar,
aplicar zoom, cambiar los colores, etc.
Observemos esta primera posición de la gráfica y prestemos atención
a lo que sucede en (0;0), teniendo en cuenta la referencia que figura
arriba a la izquierda, con respecto a la posición de los ejes.
l
Vemos que aparentemente en (0;0) hay una irregularidad, la hacemos
rotar de tal modo de observar “desde arriba” como se comporta en el
origen.
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15. Y en esta posición vemos el “agujero” en (0;0), lo que No implica que
el Límite no exista, pues puede no estar definida en el punto y sin
embargo tener Límite en él.
Aplicamos el L. D.:
Pertenece al grupo b) pues obtenemos una indeterminación.
Recurramos a otros caminos para, descartar la existencia del Límite,
encontrando dos Límites distintos, ó por distintas trayectorias un
mismo valor, con lo que tendremos es un “candidato “ a Límite y
deberemos probarlo por Definición para asegurar la absoluta
existencia, lo que es, en la mayoría de los casos, muy complicado.
Introducimos el siguiente concepto:
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16. Límites Reiterados o Sucesivos:
Éstos no perteneces al grupo de los Límites Restringidos.
Definición:
Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y
luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un
procedimiento que permite transformar el Límite de una función de
dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
Los Límites Reiterados, presuponen que un cierto entorno reducido de
“b” sobre la recta x=a y un cierto entorno reducido de “a” sobre la
recta y=b existen las funciones y respectivamente.
La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no
existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto.
Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los
Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos
variables No existe.
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17. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del
Límite.
Volvamos el ejemplo y apliquemos los Límites Reiterados:


Este resultado de la aplicación de Límites Reiterados, nos ilusiona
sobre la existencia del Límite por haber obtenido el mismo valor por
dos caminos distintos…
Pero sabemos que esto no indica nada, lo ideal hubiera sido que ellos
tengan resultados distintos, así podríamos concluir en la No existencia
del Límite.
Debemos seguir trabajando.
Conclusión 4:
Explicamos en forma sencilla, que son y para qué son útiles los
Límites Iterados o Reiterados, como así también sus limitaciones,
definiéndolos e ilustrando con un ejemplo.
Tomemos ahora la trayectoria , Parábola incluida en el Dominio
de la función y que pasa por el punto (0;0), apropiado.
Entonces:
No podemos sacar ninguna conclusión con esta indeterminación
obtenida, el camino elegido, no nos proporciona ningún dato.
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18. (La idea didáctica es, en este primer ejercicio, transitar por distintos
caminos, que NO nos lleven por un tobogán a la solución, para que
los alumnos puedan ver que nosotros también erramos en la elección
de trayectorias y que quede claro, que cuando no nos brindan datos,
debemos descartarlos)
Tomemos ahora la trayectoria y=x, siempre repasando: Está incluida
en el Dominio de la función y contiene al punto de estudio.
Hemos encontrado dos valores distintos del Límite.
La función NO puede tener Límite en (0;0) porque en un entorno del
punto, hay elementos para los cuales la función tiende y para otros a
0 (ver resultado de los Límites Iterados).
2do. Ejemplo:
Hallar :
Elegimos un ejercicio cuya función es similar a la del ejemplo anterior
con el propósito de llamar la atención del alumno sobre la definición de
cada una. Cuando arribemos a una conclusión de este segundo
ejemplo, haremos las comparaciones.
Observemos su Representación gráfica:
18

19. 19

20. Aplicando L.D. simultáneo, tenemos:
Indeterminación, caso b), debemos seguir
estudiándolo por otros caminos.
Hallemos los Iterados:


Iguales…Tomamos otra trayectoria, por ejemplo y=mx, haz de rectas
que pasan por el origen, recordemos que el resultado tiene que ser
independiente de m, de lo contrario tendríamos infinitas soluciones,
para .
Encontramos un candidato a Límite, es 0. Debemos intentar probar
que para ese valor se cumple la definición, de otro modo, no podremos
asegurar la existencia del mismo.
:
20

21. Comparemos el Ejercicio 1 con el 2, teniendo en cuenta que en ambos
casos, buscamos el Límite en (0;0).
Las funciones son:
Ejemplo 1)
Ejemplo 2)
Funciones del mismo tipo, ambas cociente de polinomios de dos
variables.
Analizamos con el alumno, porqué la 1) No tiene límite y la 2) Sí,
siendo muy parecidas? Con la intensión de que haga este tipo de
análisis, como Método, antes de comenzar a resolver un ejercicio,
21

22. como así también, observar previamente las gráficas, porque esta
información puede orientarlo en cómo encarar la demostración, si
para la No Existencia o para la Existencia.
En 1) el Polinomio del numerador es de igual grado que el de
denominador. Si atendemos a la parte algebraica, que pasará para
valores próximos a (0;0)…podemos imaginar e incluso probar con
puntos tales que . Sabemos que los puntos de este
entorno reducirán su valor cuanto más próximos estén a (0;0) y por
ser de igual grado numerador y denominador , lo harán
simultáneamente, de modo que la indeterminación es inevitable al
llegar al punto. Esto nos dispone a buscar la prueba de que No existe
límite. Para ello, sugerimos, “ Pispear” la función para detectar en que
subconjunto del Dominio la función tendría infinitos límites ó uno
distinto a alguno ya determinado.
En 2) El polinomio del numerador es de mayor grado que el de
denominador, por lo tanto, al acercarnos a (0;0), el numerador se
achicará más rápidamente, que el denominador, de esta forma, al
aproximarnos a (0;0), tendremos el cociente 0/número, lo que nos da
0. Estas consideraciones nos orientan a probar la Existencia del
Límite. Siempre recordando que solo la comprobación por la Definición
nos asegura la existencia.
Conclusión 5:
Consideramos que el análisis del comportamiento algebraico de la
función debe hacerse, antes de comenzar con la mecánica de pruebas
por distintos caminos. Debemos apoyarnos y confiar en los cursos
previos a éste, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, los
alumnos ya tienen los conceptos para hacer este tipo de estudio y
usarlos les genera confianza y estímulo. Depende de nosotros,
docente, el encontrar los disparadores de su interés.
Ahora comparemos las gráficas. Si pensamos en el cálculo del Límite,
como una acción, al “aproximarnos”, como dice la definición, estamos
en movimiento. Ahora bien, si nos imaginamos sobre una alfombra,
deslizándonos por una y otra superficie, cuál de las dos tiene la
¨anatomía¨ de hacernos llegar a (0;0)? En el ej. 1) nos frenaríamos,
pues es una superficie de suaves pendientes, por el contrario, en el ej.
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23. 2) chocaríamos con el eje “z” en (0;0), por ser pronunciada su
inclinación hacia el punto en estudio. Es otro elemento más, poco
ortodoxo matemáticamente, pero que nos guía con respecto al rumbo,
el estudio del Límite.
Analicemos un par de funciones:

Es una función exponencial, con exponente “x.y”. Para ningún punto
del plano , se van a presentar inconvenientes , ninguno va a poder
provocar una indeterminación. Por lo tanto, va a existir el Límite en
todos ellos, caso a).
Vemos la gráfica donde se aprecia la regularidad de la función:
Vista de arriba no presenta “agujeros”, lo que nos indica que esta
función se portará bien, en todos los puntos de su Dominio.
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24. Tanto el análisis gráfico como el analítico, nos orientan a probar la
existencia del Límite.

La función no está definida en (0;0)
Apliquemos el L.D. simultáneo:
Pero si “pispeamos” la función y trabajamos algebraicamente…
Podemos calcular el Límite del producto, como el producto de los
Límites, por propiedad de esta aplicación:
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25. Conclusión 6:
Recordemos al alumno, los conceptos ya estudiados y hagamos que
los relacionen en todos los temas posibles. Ellos tienden a encapsular
los conceptos y no establecen relaciones, como tampoco los usan de
apoyo. De este modo los estimularemos para que optimicen lo
estudiado anteriormente.
Observemos la gráfica:
Apreciamos el corte, es decir, la indefinición que la función presenta
en el origen de coordenadas. Pero como el L.D. simultáneo nos da un
resultado real, deberemos intentar comprobarlo por definición, ó
quedarnos con el candidato a Límite, L=-1.
Conclusión 7:
Atendiendo a la Definición y a la Gráfica de la función, el alumno,
encontrará un sendero por donde transitará con mayor comodidad,
que utilizando la práctica tradicional en la búsqueda del Límite a
ciegas. Y los profesores, no correremos tanto, cuando tengamos que
desarrollar el tema.
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26. (*) Desmitificando a los Límites Iterados:
Todos vamos a estar de acuerdo en lo siguiente: “Al alumno le
fascinan los Límites Iterados”. Esto es así, porque ellos les son
cómodos, en un simple paso, tiene algo conocido, como funciones de
una variable, para trabajar.
Esto hace que los usen con frecuencia y que sobrevaloren el resultado
que ellos arrojan.
Podemos darle el siguiente ejemplo, cuando nos encontremos con la
afirmación: “el L. D. no existe porque no pueden hallar los Iterados”.


En general, los alumnos concluirían en que la función no tiene límite.
Probemos que si lo tiene, a pesar de que uno de los Iterados no
existe.
Estudiemos el Límite Radial, o Restringido a el haz de recta y=mx:
El candidato es 0. Probemos por definición, en este caso es posible:
26

27. Esta desigualdad por hipótesis.
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28. BIBLIOGRAFÍA:
 Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1 y 2) –
Hebe Rabuffetti
 Cálculo 2
Spinadel, Vera N.
 Cálculo 2
Larson
 Cálculo Diferencial e Integral
Antonio Aburto Barragan
 Cálculo Diferencial e Integral
N. Piskunov
 Análisis Matemático 1 y 2
J. Rey Pastor
 Cálculo de Varias Variables
M. Besada- J. García – M.A. Mirás – C. Vazaquez
Consultas en Internet:
 www.newgrupos.com
 www.elprisma.com
 www.slta.uma.es
 www.cidse.itcr.ac.cr
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