Descripción de un limite, conceptos básicos

1. Límites de una
función
MTRA. MA. LUISA E. ORTEGA CRUZ

2. Unidad 1
Mtra. Ortega cruz María Luisa Edith
Plantel: CONALEP – Chipilo
Periodo escolar: Febrero - Julio 2022
Módulo: Análisis derivativo de funciones
Elaborado: 11 de marzo 2022

3. Propósito
Determina la derivada de una función en
un punto correspondiente al valor de la
tasa de variación instantánea en ese
punto, para resolver situaciones de la
vida personal y profesional

4. Justificación
El desarrollo del presente trabajo es con el motivo de que el
estudiante amplié sus conocimientos sobre el concepto de
límite con el objetivo dé:
a) Recordar conceptos obtenidos mediante la lectura en una
investigación
b) Conozca algunas propiedades y teoremas que rigen a los
límites.
c) Confirme que el uso de ecuaciones conlleva a cálculos más
precisos.
d) Aplique los conocimientos adquiridos en su vida cotidiana

5. Resultado de aprendizaje 1.2
Analiza la razón de cambio de la
variable, de acuerdo con los
patrones establecidos en el
movimiento lineal

7. En el siglo v a. C. el filósofo griego Zenón de Elea propuso
cuatro problemas, conocidos como las paradojas de Zenón, que
desafiaban algunas de las ideas referentes al espacio y al
tiempo en su época. La segunda paradoja se refería a una
carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que le
habían dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba que Aquiles
nunca podría rebasar a la tortura, es decir, si Aquiles arrancara
en la posición a1 y la tortura en la posición t1, cuando Aquiles
llegara al punto a2 = t1, la tortura se encontraría aún más
adelante, en la posición t2.
Cuando Aquiles llegara a a3 = t1, la tortura estaría en t3. Este
proceso continuaría indefinidamente y, de este modo, ¡parecería
que la tortuga siempre estaría adelante!, situación que
contradice el sentido común.

12. Definición
Si al aproximar 𝑥 lo suficientemente cerca de un numero a (sin ser a)
tanto del lado izquierdo como del derecho, 𝑓 𝑥 se aproxima a un
numero L , entonces el limite cuando 𝑥 tiende al numero a es L.
Esto lo escribimos:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑳
Donde la notación 𝒙 → 𝒂 se lee “𝒙 tiende a 𝒂”

15. Ejemplo 1
Un ejemplo de como aplicaríamos el limite seria:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐(𝒙 + 𝟑) = 𝟐 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝒙 + 𝟑)
= 2 1 + 3
= 2(4)
= 8
por lo que
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐(𝒙 + 𝟑) = 𝟖

16. De esta manera podemos analizar el limite de una función observando
como se comporta por la izquierda o y por la derecha al punto “a”; es
decir, que:
“Tiende a 𝒂 por la izquierda” se utiliza 𝒙 → 𝒂−
“Tiende a 𝒂 por la derecha” se utiliza 𝒙 → 𝒂+
De manera que, si
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳
En otras palabras, si los limites laterales existen y tienden a un mismo
numero L entonces el limite cuando tiene al numero 𝑎 es L.

17. Ejemplo:
De limite no determinado:
Sea la función:
lim
𝑥→2−
𝑥 + 5 = 7
lim
𝑥→2+
−𝑥 + 7 = 5
Al no coincidir el límite podemos afirmar
que el límite es no determinado y por
consiguiente no existe.
Ejemplo libro de texto, Brenda
Sharait pag. 46.

18. Teoremas sobre
limites

19. En el ejemplo 1 determinamos que para calcular el límite de una función,
podemos sustituir directamente el valor de x en la función; sin embargo,
para su mejor estudio establecemos los siguientes teoremas de límites:

24. Límite de funciones
determinadas e
indeterminadas

25. Introducción
Sea f una función en la cual podemos decir que su límite esta
determinado cuando existe un número real L tal que
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿, cuando x tiende a “a”, por otro lado cuando el límite es
indeterminado es cuando los límites de la función no coinciden, es
decir, si tenemos dos funciones y las evaluamos en un mismo límite
tanto por la derecha como por la izquierda observaremos que los
limites no son los mismos, entonces diremos que la función no esta
determinada.
Ahora bien un límite es indeterminado cuando su límite no existe, este
tipo de comportamientos se aprecia mucho en las funciones racionales.
Caso que trataremos a continuación.

26. Funciones Racionales
Este tipo de funciones tienen comportamientos especiales debido a que
podemos tener lo que llamamos indeterminaciones, es decir que tengamos la
división entre cero.
Por ejemplo:
𝟎
𝟎
o
𝑳
𝟎
.
Cuando tenemos estos casos debemos recurrir a una manipulación
algebraica como puede ser usando factorización o racionalización.
Como el ejemplo que veremos a continuación.

27. Ejemplo 2
Sea la función:
lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
=
0
0
𝑥2−9
𝑥−3
=
𝑥 + 3 𝒙 −𝟑
(𝒙−𝟑)
= (𝑥 + 3)
lim
𝑥→3
𝑥 + 3 = 3 + 3 = 𝟔 𝜖𝑅 existe.
Quitaremos la indeterminación simplificando la función por factorización

28. Si graficamos la función con la restricción de que 𝑥 ≠ 3 donde se formara un hueco.
x f(x)
2.9 2.9 2−9
2.9 −3
=
8.41−9
−0.1
=
−0.59
−0.1
= 5.9
2.99 5.99
2.999 5.999
2.9999 5.9999
3.0001 6.0001
3.001 6.001
3.01 6.01
3.1 6.1

29. Ejemplo 3
Sea la función
𝒇 𝒙 =
𝟑𝒙 + 𝟏𝟒 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟐
−𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟐
Determina:
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥)
Graficar la función y evaluar en valores muy cercanos a -2

30. x f(x)
-2.1 3 −2.1 + 14 = −6.3 + 14 = 7.7
-2.01
-2.001
-1.999 − −1.999 + 2 = 1.999 + 2 = 3.999
-1.99
-1.9
Solución.

31. Bibliografía
Aguilar Márquez Arturo, (2010), Calculo integral,
Colegio Nacional de Matemáticas, Prentice Hall
Oteyza Elena, Hernández Carlos, (2013), Calculo
diferencial e integral, Pearson
Swokowski E. (1988), Calculo con geometría
Analítica, editorial Iberoamérica