El documento trata sobre los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal. Explica que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron el concepto de límite de función en el siglo XVII. Define el límite de una función como el valor al que tiende la función cuando el punto se acerca infinitamente al valor dado. También cubre las propiedades de los límites, cómo calcular límites en puntos y con indeterminaciones, y define la derivada de una función como una medida del cambio de la función cuando cambia su variable independiente.

1. Trabajo monográfico
de límites
Jose Alberto Gil Duran

2. 1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?
 Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad
infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen
estrictamente como límites y se suelen considerar como números en la
práctica. El cálculo infinitesimal fue creado para resolver los principales
problemas científicos del siglo XVII. Constituye una parte muy importante de
la matemática moderna. El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo
de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y
series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las
universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el
estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del
espacio. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la
ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí
sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la
trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales,
cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema
fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es
usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.

3. 2.- ¿Qué matemático desarrolló el concepto
de límite de función en el siglo XVII?
 Los matemáticos que desarrollaron el concepto de límite de función en el siglo
XVII fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibnitz. Se coronó así un
enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos,
muchos y muy destacados matemáticos, y cuyos inicios se remontan a los
métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Sin
embargo, no fue sino hasta principios del siglo XIX que Augustin-Louis
Cauchy dio una sólida base matemática a la noción de límite, introduciendo
de esa manera la «exactitud» en el análisis matemático. A lo largo de los casi
200 años que van desde Newton y Leibnitz hasta Cauchy, se produjeron
extraordinarios avances en el análisis matemático y en sus aplicaciones a la
física y la geometría, pero en un lenguaje que, a falta de rigor matemático,
recurría a menudo a la intuición y se prestaba a interpretaciones confusas o
erróneas. El concepto vago de “infinitamente pequeño”, derivado por
Leibnitz, ha sido sustituido por el concepto preciso de límite, dado por
Cauchy.

4. 3.- Idea intuitiva de límite.
Idea formal de límite
 Se dice que el límite de una función y = f(x) en un punto X=0 es el valor al
que tiende la función en puntos muy próximos a X=0. Ej.: x0 = 0.01, 0.001,
0.001, 0.0001… Es el número al cual se van aproximando los términos de una
sucesión.
 Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la
función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca
como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo
distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son
matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal
de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice: el límite de una
función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que
para todo número real x en el dominio de la función .

5. 4.- Propiedades de los límites de
funciones
 Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el
infinito. Entonces:
 En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un
número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas,
sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No
obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo,
que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el
límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular
cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre
que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas
siguientes:

6. 5.- Límites de funciones en un punto.
Cálculo de límites
 Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
 No podemos calcular porque el dominio de definición está en el
intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
 Sin embargo si podemos calcular aunque 3 no pertenezca al
dominio, Domf(x)=R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan
próximos a 3 como queramos. Ej.: 2.9, 2.99, 2.999… 3.01, 3.001, 3.0001…

7. 6.- ¿Qué es una indeterminación?
¿Cuántas existen?
 Una indeterminación es una cifra que no puedes decir "esta cifra existe", es
decir, una forma de indeterminación es 0/0 "cero partido de cero", es como
decir tengo nada entre nada en matemática eso es una indeterminación. Se
expresan como una cantidad inexacta.
 Indeterminación del tipo 0 / 0
 Indeterminación del tipo infinito / infinito
 Indeterminación del tipo 0 · infinito

8. 7.- Calculo de límites con
indeterminaciones
 Indeterminación del tipo 0 / 0
lim = -2x2 + 5x - 2 = 0 = Ind.
x2 3x2 - 2x - 8 0
· Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y
simplificamos los factores comunes. Para ello, factorizamos cada
polinomio por Ruffini.
-2x2 + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1) // x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4) [Ruffini]
Lim = (x - 2)(-2x + 1) = -3
x 2 (x - 2)(3x + 4) 10

9.  Indeterminación del tipo infinito / infinito
 Indeterminación del tipo 0 · infinito
Se transforma a óa 
Ej.:  Introducimos el 1º factor en la raíz


10. 8.- ¿Qué es la derivada de una
función? Demostración gráfica
 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el
valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Se
calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la
derivada de una cierta función en un punto dado.

11. Trabajo realizado por…
 José Alberto Gil Durán
@Albertxzr on Twitter