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Instituto Tecnológico de Tepic
Materia: Cálculo Diferencial
Horario: 17:00 – 18:00
Profesor: Oramas Bustillos Roberto
Ensayo: “Límites”
Ingeniería Civil
Nombre: No. de Control:
Ambriz Fregoso Carlos Alfredo 15400124
Noviembre 2015
Página 1 de 11
Índice
Índice...................................................................................................................................... 1
Antecedentes:....................................................................................................................... 2
Introducción:......................................................................................................................... 3
Desarrollo:............................................................................................................................. 3
¿Qué es un límite?............................................................................................................ 3
Concepto “Límite” en la vida cotidiana ......................................................................... 4
Límite Matemático ............................................................................................................ 4
Idea de límite ..................................................................................................................... 5
Tipos de límites................................................................................................................. 5
Definición de límite de una función en un punto ...................................................... 6
Límites laterales de una función en un punto........................................................... 6
Límite de una función en un punto............................................................................. 7
Límites laterales infinitos. Asíntotas verticales. ....................................................... 7
Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal. ..................................................... 8
Límites infinitos en el infinito ...................................................................................... 9
Aplicación de los límites en la ingeniería.................................................................... 10
Conclusión:......................................................................................................................... 10
Bibliografía:......................................................................................................................... 10
Página 2 de 11
Límites
Antecedentes:
Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas,
como el área del círculo, utilizando el <<>>.consistía en cubrir o (agotar) una región de
forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. Sumando las áreas de los
triángulos se tenían una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los
inventores del cálculo. Sin embargo, no dieron una definición rigurosa del procedimiento. El
matemático francés Augustine-Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en desarrollar una
definición rigurosa de límite. La definición que usaremos aquí se remonta al matemático
alemán Karl Weierstrass (1815-1897)
La idea y definición de límite, en especial la del límite de funciones reales, es una cuestión
matemáticamente delicada. Piénsese que se logró la Idea intuitiva de límite con la definición
actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El abordaje de este tema ofrece dificultades
de índole técnico-didáctica que hace que la comprensión fina de éste ocurra en etapas
sucesivas y posteriores, cuando el estudiante logre una madurez matemática suficiente.
En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los libros españoles
estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos
estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se
utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una
variable real a partir de sucesiones de números reales, fue usada en los libros hispánicos
hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una
interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos
simétricos.
Como es bien conocido, a comienzos de los años setenta, triunfo en casi todo el mundo
occidental la enseñanza de las llamadas “matemáticas modernas”. Siguiendo los libros
españoles las ideas de esta matemática, los conjuntos y las aplicaciones eran los cimientos
sobre los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las
herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se vieron reflejadas en el tratamiento.
De la Idea intuitiva del límite: la orientación topológica, no fue casual sino que fue
justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de la matemática, Papy y
Dieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de
conjunto, número real y entorno se utilizaban constantemente.
En la segunda mitad del siglo XX, aproximadamente entre 1967 y 1975, la definición de
límite fue evolucionando hasta un mayor formalismo. En algunos libros españoles se
enfatizó la definición por sucesiones, aunque también apareció de modo residual la
definición topológica que utilizó entornos generales; en cambio en otros textos del mismo
país la Idea intuitiva de límite se enfatizó la definición topológica y se quiso conducir
progresivamente al alumno a partir de ciertos ejemplos hasta dicha definición.
Página 3 de 11
Las notaciones evolucionaron desde las correspondientes a la definición de límite por
sucesiones hasta la definición topológica, adaptándose a cada tipo de definición; y se inició
el uso de la simbología de los cuantificadores. A mediados de la década del setenta,
sugerido como una orientación didáctica en los nuevos diseños curriculares españoles, se
escribió una definición de límite funcional donde los entornos de la definición topológicos se
expresaban como distancias entre puntos, y donde también se utilizaron los símbolos de
los cuantificadores. A esta definición se la llamó métrica. Estos diseños curriculares se
implementaron en la mayoría de los países del mundo occidental, salvo raras excepciones,
y su aceptación fue universal.
Desde 1980 hasta nuestros días, la definición de límite se presenta prioritariamente en
forma métrica, aunque también se utilizan las definición por sucesiones y la topológica. La
definición métrica la llamamos definición clásica del límite funcional real de una variable
real, puesto que ella es la que nos acompaña en casi todos los libros desde 1980 hasta
hoy.
Introducción:
Como se dio a conocer en el fragmento anterior, los límites no son algo nuevo. Han sido
parte importante de nuestras vidas.
En el siguiente texto, el lector se encontrará inmerso en una lluvia de significados de límite,
pero no sólo se hablará de puntos matemáticos, sino que se tomarán ejemplos de la vida
cotidiana a manera de brindar un preámbulo claro y así resulte más fácil al lector
comprender dicho término.
Una vez que se genera al lector una idea sobre los límites se comenzará a hablar sobre los
límites matemáticos así como tipos y características de los mismos.
Desarrollo:
¿Qué es un límite?
Antes de comenzar a hablar sobre los límites, su importancia y sus aplicaciones, tenemos
que hablar sobre lo que es un límite, ya que, muchas veces escuchamos el término e incluso
hacemos uso o referencia del mismo y quizá le estemos dando un mal entendimiento.
Ahora bien, ¿qué es un límite?
El diccionario de la Real Academia de la Lengua lo define como; “Línea real o imaginaria
que separa dos terrenos, dos países, dos territorios”, así como, “fin, término en aposición
en casos como dimensiones límite, situación límite” y “extremo a que llega un determinado
tiempo”.
Las anteriores definiciones se asemejan completamente a lo que, en su gran mayoría,
conocemos como “límite”. Sin embargo, es ahí donde el término comienza a tomar un
mundo de conceptos y referencias porque si ampliamos nuestro panorama de visión, los
límites tienen que ver con la mayoría de las acciones que realizamos.
Página 4 de 11
Concepto “Límite” en la vida cotidiana
En la vida cotidiana del hombre, el concepto límite forma un papel muy importante ya que
en él se encuentran inmersas las leyes civiles y morales que rigen en la sociedad.
Este se manifiesta con su mismo nombre o lleva por sinónimo “tolerancia”. Aunque no es el
concepto al cual quiero hacer alusión, es una forma de comenzar a dar a entender el
concepto de límite ya que del conocimiento surge la comprensión.
“El límite de entrada al trabajo es 10 minutos después de la hora de entrada, pasado el
tiempo se negará el acceso”.
Ahora bien, el límite matemático es el tema principal de lo que quiero hablar en este texto,
pasemos entonces a conocer su significado, aplicación y usos.
Límite Matemático
Los límites son importantes porque nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que
se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado.
Cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos
podríamos conseguir con que podría ser una función indeterminada, la cual es cuando el
resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0.
Como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones
determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función.
El concepto de límite en matemáticas se refiere a: La división que marca una separación
entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a
una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al
extremo a que llega un periodo temporal. Es un concepto que describe la tendencia de una
sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan
a determinado valor.
Para las matemáticas, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los
términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto,
expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se
aproximan a un cierto valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se
utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con
el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos
por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes
topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática,
como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim
(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Página 5 de 11
Ahora veamos la sintaxis de dicho límite.
Se dice que x tiende a “a” (x → a) cuando x toma valores muy próximos
a “a” menores o mayores pero cercanos.
Por ejemplo, cuando x tiende a 2 significa que x va tomando valores como los
siguientes: x = 1,9 x = 1,99 x = 1,999. En este caso x tiende a 2 por la
izquierda: x → 2-
También le damos los valores: x = 2,1 x = 2,01 x = 2,001. En este caso x tiende
a 2 por la derecha: x → 2+
Idea de límite
Significa que cuando x se acerca a “a” el valor de f(x) se acerca a L.
Tipos de límites
Página 6 de 11
Definición de límite de una función en un punto
La definición de límite de una función en un punto es la siguiente:
Se lee: "El límite de la función f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L".
Es equivalente a decir que para todo número épsilon (ε) mayor que cero, existe un número
delta (δ), también mayor que 0, tal que para todo valor de x que cumpla que su diferencia
con a, en valor absoluto, sea mayor que 0 y menor que delta, se cumple que la diferencia
entre f(x) y L, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido.
También se puede concretar la definición anterior:
Una función f(x) tiende hacia L en un punto a cuando para todo entorno de L de
radio ε , E(L, ε) = (L - ε, L + ε) , hay un entorno de a de radio δ , E(a, δ) = (a - δ, a +
δ) tal que para cualquier x de E(a, δ) su imagen f(x) está en E(L, ε) .
Límites laterales de una función en un punto
El límite de una función f(x) , cuando x tiende a un punto a por la izquierda , es un
número real L1 , cuando para valores de x muy próximos a a y menores que a , los
valores de la función se aproximan al número L1 .
Página 7 de 11
De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L1 cuando x →
a -
y lo representamos por:
Si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ entonces se tiene que |f(x)
- L1| < ε
El límite de una función f(x) , cuando x tiende a un punto a por la derecha , es un
número real L2 , cuando para valores de x muy próximos a a y mayores que a , los
valores de la función se aproximan al número L2 .
De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L2 cuando x →
a+
y lo representamos por:
Si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ entonces se tiene que |f(x)
- L2| < ε
Límite de una función en un punto
El límite de una función en un punto existe si, y sólo si, existen los dos límites laterales en
dicho punto y ambos coinciden.
Límites laterales infinitos. Asíntotas verticales.
Se dice que:
Cuando dado un número K, podemos encontrar otro número δ > 0 tal que si 0 < a - x <
δ entonces f(x) > K.
Se dice que:
Página 8 de 11
Cuando dado un número K, podemos encontrar otro número δ > 0 tal que si 0 < x - a <
δ entonces f(x) > K.
Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal.
El límite de una función f(x) cuando x tiende a + ∞, es un número real L cuando
para valores muy grandes de x los valores de la función se aproximan al número L .
De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L cuando x →
+∞ y lo representamos por:
Si dado un ε > 0 existe un h tal que si x > h entonces | f(x) - L | < ε.
Página 9 de 11
Límites infinitos en el infinito
Cuando no existe ningún número real L que verifique la condición anterior, puede suceder
que f(x) → +∞ o ninguna de estas cosas.
Así, diremos que f(x) → +∞, y se escribe de la siguiente manera:
Si dado un número arbitrario K podemos encontrar otro número h tal que si x >h ⇒ f(x)
> K.
Página 10 de 11
Ahora que conocemos los principales tipos de límites utilizados en las matemáticas, es
tiempo de saber su aplicación en el área que más utiliza las matemáticas; la ingeniería.
Aplicación de los límites en la ingeniería.
Un límite es la base en el cálculo diferencial, sin embargo su aplicación sólo se ve reflejada
con el uso de herramientas gráficas (plano cartesiano).
En todas las ingenierías se encuentra presente el cálculo diferencial, cada una de ellas está
relacionada a la solución de problemas y a la innovación.
El cálculo diferencial e integral se utiliza en todo lo que tenga una gráfica y quieras saber el
área o la pendiente de manera que te dé unos resultados que los puedas aplicar en un
problema en particular.
Los límites matemáticos, sabemos que son para “predecir” el comportamiento de una
función matemática cuando tiende a un número o al infinito.
Siendo alumno de la carrera de ingeniería civil, puedo ver aplicado el uso de límites en la
medición de la resistencia de los materiales, así como también, en la mecánica de suelos,
ya que el movimiento es el principal factor que provoca errores en las construcciones.
Gracias a los límites se pueden prever esos desastres con el estudio de las gráficas de
movimiento y con los límites ver hacia donde tienden las vibraciones o inclinaciones.
No sólo en la ingeniería se necesita hacer uso de los límites, en la economía, contabilidad
y administración, por ejemplo, el uso de los límites es de suma importancia para calcular
incrementos futuros o inclusive próximas perdidas en la bolsa de valores o dentro de una
compañía.
Conclusión:
En conclusión el hecho de haber podido definir correctamente lo que es el límite,
establecer sus variaciones y definirlas correctamente permitió crear las bases de un
concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para
poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e
integración, entre otros, que si bien aún no son conocidos por el lector, en el futuro le será
más fácil la comprensión y entendimiento de los mismos.
Y así el cálculo avanzó, dando lugar a su uso no sólo teórico sino también práctico
impulsando la generación de conocimiento.
Bibliografía:
http://lema.rae.es/drae/srv/search?id=kQ7dYdFWMDXX2cjGsp6Q
http://definicion.de/limites-matematicos/
Página 11 de 11
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_limite/ind
_limite.html
http://limitesdjdomatematicos.blogspot.mx/2009/08/limites-matematicos_11.html

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Límites matemáticos y su importancia en ingeniería

  • 1. Instituto Tecnológico de Tepic Materia: Cálculo Diferencial Horario: 17:00 – 18:00 Profesor: Oramas Bustillos Roberto Ensayo: “Límites” Ingeniería Civil Nombre: No. de Control: Ambriz Fregoso Carlos Alfredo 15400124 Noviembre 2015
  • 2. Página 1 de 11 Índice Índice...................................................................................................................................... 1 Antecedentes:....................................................................................................................... 2 Introducción:......................................................................................................................... 3 Desarrollo:............................................................................................................................. 3 ¿Qué es un límite?............................................................................................................ 3 Concepto “Límite” en la vida cotidiana ......................................................................... 4 Límite Matemático ............................................................................................................ 4 Idea de límite ..................................................................................................................... 5 Tipos de límites................................................................................................................. 5 Definición de límite de una función en un punto ...................................................... 6 Límites laterales de una función en un punto........................................................... 6 Límite de una función en un punto............................................................................. 7 Límites laterales infinitos. Asíntotas verticales. ....................................................... 7 Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal. ..................................................... 8 Límites infinitos en el infinito ...................................................................................... 9 Aplicación de los límites en la ingeniería.................................................................... 10 Conclusión:......................................................................................................................... 10 Bibliografía:......................................................................................................................... 10
  • 3. Página 2 de 11 Límites Antecedentes: Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo, utilizando el <<>>.consistía en cubrir o (agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. Sumando las áreas de los triángulos se tenían una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo. Sin embargo, no dieron una definición rigurosa del procedimiento. El matemático francés Augustine-Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite. La definición que usaremos aquí se remonta al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) La idea y definición de límite, en especial la del límite de funciones reales, es una cuestión matemáticamente delicada. Piénsese que se logró la Idea intuitiva de límite con la definición actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El abordaje de este tema ofrece dificultades de índole técnico-didáctica que hace que la comprensión fina de éste ocurra en etapas sucesivas y posteriores, cuando el estudiante logre una madurez matemática suficiente. En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los libros españoles estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una variable real a partir de sucesiones de números reales, fue usada en los libros hispánicos hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos simétricos. Como es bien conocido, a comienzos de los años setenta, triunfo en casi todo el mundo occidental la enseñanza de las llamadas “matemáticas modernas”. Siguiendo los libros españoles las ideas de esta matemática, los conjuntos y las aplicaciones eran los cimientos sobre los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se vieron reflejadas en el tratamiento. De la Idea intuitiva del límite: la orientación topológica, no fue casual sino que fue justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de la matemática, Papy y Dieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de conjunto, número real y entorno se utilizaban constantemente. En la segunda mitad del siglo XX, aproximadamente entre 1967 y 1975, la definición de límite fue evolucionando hasta un mayor formalismo. En algunos libros españoles se enfatizó la definición por sucesiones, aunque también apareció de modo residual la definición topológica que utilizó entornos generales; en cambio en otros textos del mismo país la Idea intuitiva de límite se enfatizó la definición topológica y se quiso conducir progresivamente al alumno a partir de ciertos ejemplos hasta dicha definición.
  • 4. Página 3 de 11 Las notaciones evolucionaron desde las correspondientes a la definición de límite por sucesiones hasta la definición topológica, adaptándose a cada tipo de definición; y se inició el uso de la simbología de los cuantificadores. A mediados de la década del setenta, sugerido como una orientación didáctica en los nuevos diseños curriculares españoles, se escribió una definición de límite funcional donde los entornos de la definición topológicos se expresaban como distancias entre puntos, y donde también se utilizaron los símbolos de los cuantificadores. A esta definición se la llamó métrica. Estos diseños curriculares se implementaron en la mayoría de los países del mundo occidental, salvo raras excepciones, y su aceptación fue universal. Desde 1980 hasta nuestros días, la definición de límite se presenta prioritariamente en forma métrica, aunque también se utilizan las definición por sucesiones y la topológica. La definición métrica la llamamos definición clásica del límite funcional real de una variable real, puesto que ella es la que nos acompaña en casi todos los libros desde 1980 hasta hoy. Introducción: Como se dio a conocer en el fragmento anterior, los límites no son algo nuevo. Han sido parte importante de nuestras vidas. En el siguiente texto, el lector se encontrará inmerso en una lluvia de significados de límite, pero no sólo se hablará de puntos matemáticos, sino que se tomarán ejemplos de la vida cotidiana a manera de brindar un preámbulo claro y así resulte más fácil al lector comprender dicho término. Una vez que se genera al lector una idea sobre los límites se comenzará a hablar sobre los límites matemáticos así como tipos y características de los mismos. Desarrollo: ¿Qué es un límite? Antes de comenzar a hablar sobre los límites, su importancia y sus aplicaciones, tenemos que hablar sobre lo que es un límite, ya que, muchas veces escuchamos el término e incluso hacemos uso o referencia del mismo y quizá le estemos dando un mal entendimiento. Ahora bien, ¿qué es un límite? El diccionario de la Real Academia de la Lengua lo define como; “Línea real o imaginaria que separa dos terrenos, dos países, dos territorios”, así como, “fin, término en aposición en casos como dimensiones límite, situación límite” y “extremo a que llega un determinado tiempo”. Las anteriores definiciones se asemejan completamente a lo que, en su gran mayoría, conocemos como “límite”. Sin embargo, es ahí donde el término comienza a tomar un mundo de conceptos y referencias porque si ampliamos nuestro panorama de visión, los límites tienen que ver con la mayoría de las acciones que realizamos.
  • 5. Página 4 de 11 Concepto “Límite” en la vida cotidiana En la vida cotidiana del hombre, el concepto límite forma un papel muy importante ya que en él se encuentran inmersas las leyes civiles y morales que rigen en la sociedad. Este se manifiesta con su mismo nombre o lleva por sinónimo “tolerancia”. Aunque no es el concepto al cual quiero hacer alusión, es una forma de comenzar a dar a entender el concepto de límite ya que del conocimiento surge la comprensión. “El límite de entrada al trabajo es 10 minutos después de la hora de entrada, pasado el tiempo se negará el acceso”. Ahora bien, el límite matemático es el tema principal de lo que quiero hablar en este texto, pasemos entonces a conocer su significado, aplicación y usos. Límite Matemático Los límites son importantes porque nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. Cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podríamos conseguir con que podría ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. Como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función. El concepto de límite en matemáticas se refiere a: La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal. Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Para las matemáticas, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim (an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
  • 6. Página 5 de 11 Ahora veamos la sintaxis de dicho límite. Se dice que x tiende a “a” (x → a) cuando x toma valores muy próximos a “a” menores o mayores pero cercanos. Por ejemplo, cuando x tiende a 2 significa que x va tomando valores como los siguientes: x = 1,9 x = 1,99 x = 1,999. En este caso x tiende a 2 por la izquierda: x → 2- También le damos los valores: x = 2,1 x = 2,01 x = 2,001. En este caso x tiende a 2 por la derecha: x → 2+ Idea de límite Significa que cuando x se acerca a “a” el valor de f(x) se acerca a L. Tipos de límites
  • 7. Página 6 de 11 Definición de límite de una función en un punto La definición de límite de una función en un punto es la siguiente: Se lee: "El límite de la función f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L". Es equivalente a decir que para todo número épsilon (ε) mayor que cero, existe un número delta (δ), también mayor que 0, tal que para todo valor de x que cumpla que su diferencia con a, en valor absoluto, sea mayor que 0 y menor que delta, se cumple que la diferencia entre f(x) y L, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido. También se puede concretar la definición anterior: Una función f(x) tiende hacia L en un punto a cuando para todo entorno de L de radio ε , E(L, ε) = (L - ε, L + ε) , hay un entorno de a de radio δ , E(a, δ) = (a - δ, a + δ) tal que para cualquier x de E(a, δ) su imagen f(x) está en E(L, ε) . Límites laterales de una función en un punto El límite de una función f(x) , cuando x tiende a un punto a por la izquierda , es un número real L1 , cuando para valores de x muy próximos a a y menores que a , los valores de la función se aproximan al número L1 .
  • 8. Página 7 de 11 De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L1 cuando x → a - y lo representamos por: Si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ entonces se tiene que |f(x) - L1| < ε El límite de una función f(x) , cuando x tiende a un punto a por la derecha , es un número real L2 , cuando para valores de x muy próximos a a y mayores que a , los valores de la función se aproximan al número L2 . De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L2 cuando x → a+ y lo representamos por: Si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ entonces se tiene que |f(x) - L2| < ε Límite de una función en un punto El límite de una función en un punto existe si, y sólo si, existen los dos límites laterales en dicho punto y ambos coinciden. Límites laterales infinitos. Asíntotas verticales. Se dice que: Cuando dado un número K, podemos encontrar otro número δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ entonces f(x) > K. Se dice que:
  • 9. Página 8 de 11 Cuando dado un número K, podemos encontrar otro número δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ entonces f(x) > K. Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal. El límite de una función f(x) cuando x tiende a + ∞, es un número real L cuando para valores muy grandes de x los valores de la función se aproximan al número L . De manera más precisa, diremos que la función f(x) tiene por límite L cuando x → +∞ y lo representamos por: Si dado un ε > 0 existe un h tal que si x > h entonces | f(x) - L | < ε.
  • 10. Página 9 de 11 Límites infinitos en el infinito Cuando no existe ningún número real L que verifique la condición anterior, puede suceder que f(x) → +∞ o ninguna de estas cosas. Así, diremos que f(x) → +∞, y se escribe de la siguiente manera: Si dado un número arbitrario K podemos encontrar otro número h tal que si x >h ⇒ f(x) > K.
  • 11. Página 10 de 11 Ahora que conocemos los principales tipos de límites utilizados en las matemáticas, es tiempo de saber su aplicación en el área que más utiliza las matemáticas; la ingeniería. Aplicación de los límites en la ingeniería. Un límite es la base en el cálculo diferencial, sin embargo su aplicación sólo se ve reflejada con el uso de herramientas gráficas (plano cartesiano). En todas las ingenierías se encuentra presente el cálculo diferencial, cada una de ellas está relacionada a la solución de problemas y a la innovación. El cálculo diferencial e integral se utiliza en todo lo que tenga una gráfica y quieras saber el área o la pendiente de manera que te dé unos resultados que los puedas aplicar en un problema en particular. Los límites matemáticos, sabemos que son para “predecir” el comportamiento de una función matemática cuando tiende a un número o al infinito. Siendo alumno de la carrera de ingeniería civil, puedo ver aplicado el uso de límites en la medición de la resistencia de los materiales, así como también, en la mecánica de suelos, ya que el movimiento es el principal factor que provoca errores en las construcciones. Gracias a los límites se pueden prever esos desastres con el estudio de las gráficas de movimiento y con los límites ver hacia donde tienden las vibraciones o inclinaciones. No sólo en la ingeniería se necesita hacer uso de los límites, en la economía, contabilidad y administración, por ejemplo, el uso de los límites es de suma importancia para calcular incrementos futuros o inclusive próximas perdidas en la bolsa de valores o dentro de una compañía. Conclusión: En conclusión el hecho de haber podido definir correctamente lo que es el límite, establecer sus variaciones y definirlas correctamente permitió crear las bases de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros, que si bien aún no son conocidos por el lector, en el futuro le será más fácil la comprensión y entendimiento de los mismos. Y así el cálculo avanzó, dando lugar a su uso no sólo teórico sino también práctico impulsando la generación de conocimiento. Bibliografía: http://lema.rae.es/drae/srv/search?id=kQ7dYdFWMDXX2cjGsp6Q http://definicion.de/limites-matematicos/
  • 12. Página 11 de 11 http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_limite/ind _limite.html http://limitesdjdomatematicos.blogspot.mx/2009/08/limites-matematicos_11.html