Presentación de la Actividad Complementaria

1. Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Álgebra Lineal II
Juan Antonio Molina Aca
Matrícula | ES1410902374
Alumno |
Actividad Complementaria
Virginia Haro Sánchez
MT-MALI2-2201-B1-001
Facilitador |
Grupo |
Fecha | 28 de marzo del 2022

2. Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (𝑥, 𝑦, 𝑧) que
verifican una ecuación de segundo grado del tipo:
b𝒙𝟐 + 𝒄𝒚𝟐 + 𝒅𝒛𝟐 + 𝒆𝒙𝒚 + 𝒇𝒙𝒛 + 𝒈𝒚𝒛 + 𝒉𝒙 + 𝒍𝒚 + 𝒎𝒛 + 𝒏 = 𝟎
Donde: 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈, 𝒉, 𝒍, 𝒎 𝒚 𝒏 son constantes y no todos nulos, pero por
traslación y rotación puede convertirse en una de estas dos formas estándar.
𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒚𝟐 + 𝒅𝒛𝟐 + 𝒏 = 𝟎 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒚𝟐 + 𝒏 = 𝟎
Las superficies cuádricas son la contraparte en tres dimensiones de las
secciones cónicas en el plano.
Superficies Cuádricas o Cuadráticas
Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
(1)
Definición:

3. Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
La forma matricial de la ecuación (1) es:
𝐱𝑻𝑨𝐱 + 𝑩𝐱 = 𝒏
donde:
Forma Matricial de la Superficie Cuadrática
𝑨 =
𝒃 𝒆 𝒇
𝒆 𝒄 𝒈
𝒇 𝒈 𝒅
, 𝑩 = 𝒉 𝒍 𝒎 , 𝑦 𝐱 =
𝒙
𝒚
𝒛
(2)
A 𝐱𝑻𝑨𝐱 le llamamos la forma cuadrática (en tres variables) asociada con el
polinomio de segundo grado en (1).

4. Inercia de la matriz de la forma cuadrática
Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
Sea 𝐴 una matriz simétrica de 𝑛 × 𝑛. La inercia de 𝐴, denotada mediante
𝐼𝑛(𝐴), es una terna ordenada de números
(𝒑𝒐𝒔, 𝒏𝒆𝒈, 𝒄𝒆𝒓)
donde 𝑝𝑜𝑠, 𝑛𝑒𝑔 y 𝑐𝑒𝑟 son los números de valores propios de 𝐴, positivos,
negativos y ceros, respectivamente.
Por ejemplo, determinar la inercia de la Matriz A:
𝐴 =
2 1
1 2
Los valores propios de la matriz son:
det(𝜆𝐼 − 𝐴) = (𝜆 − 1)(𝜆 − 3) = 0
Sea la matriz 𝐴:
𝜆1 = 1 , 𝜆2 = 3
De modo que:
𝑝𝑜𝑠 = 2, 𝑛𝑒𝑔 = 0, 𝑐𝑒𝑟 = 0
𝑰𝒏(𝑨) = (𝟐, 𝟎, 𝟎)

5. Clasificación de las superficies cuádricas mediante la inercia
Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
Para utilizar la inercia en la clasificación de las superficies cuádricas (o de las
secciones cónicas), suponemos que los valores propios de una matriz 𝐴
simétrica de 𝑛 × 𝑛 correspondiente a una forma cuadrática en n variables se
denotan mediante:
𝜆1 ≥ · · · ≥ 𝜆𝑝𝑜𝑠 > 0
𝜆𝑝𝑜𝑠+1 ≤ · · · ≤ 𝜆𝑝𝑜𝑠+𝑛𝑒𝑔 < 0
𝜆𝑝𝑜𝑠+𝑛𝑒𝑔+1 = · · · = 𝜆𝑛 = 0
El máximo valor propio positivo es 𝜆1, y el mínimo valor propio positivo es
𝜆𝑝𝑜𝑠. También suponemos que 𝜆1 > 0 y que 𝑗 ≥ 0 en (2), lo cual elimina los
casos imposibles y los redundantes.

6. Clasificación de las superficies cuádricas mediante la inercia
Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
En el caso de una forma cuadrática en tres variables con matriz 𝐴, tal que
𝜆1 > 0 y 𝑛 ≥ 0 en (2), la inercia de 𝐴 tiene exactamente seis posibilidades,
mismas que se listan en la tabla siguiente:
Inercia Tipo de Superficie Cuádrica
𝐼𝑚(𝐴) = (3,0,0) Elipsoide
𝐼𝑚(𝐴) = (2,0,1) Paraboloide elíptico
𝐼𝑚(𝐴) = (2,1,0) Hiperboloide de una hoja
𝐼𝑚(𝐴) = (1,2,0) Hiperboloide de dos hojas
𝐼𝑚(𝐴) = (1,1,1) Paraboloide hiperbólico
𝐼𝑚(𝐴) = (1,0,2) Cilindro parabólico

7. Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑐2 = 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1 −
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑐2 = 1
Gráficos de Superficies Cuádricas
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8. Cono Paraboloide Paraboloide hiperbólico
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 0
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= z
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 =
z
c
Gráficos de Superficies Cuádricas
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9. Fuentes bibliográficas
Algebra Lineal II Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Juan Antonio Molina Aca
• Grossman S., S., & Flores Godoy, J. (2012). Álgebra Lineal 7a. Edición.
México, D.F.: McGraw-Hill.
• Kirkwood, J., & Kirkwood, B. (2018). Elementary Linear Algebra. Boca
Raton, FL: CRC Press.
• Larson, R., & Calvo, D. (2009). Elementary Linear Algebra. New York, USA:
Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.
• Larson, R., & Ibarra Escutia, J. (2018). Álgebra Lineal - Matemáticas 4.
Ciudad de México: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
• Hernández Rodríguez E., Vázquez Gallo M. J. & Zurro Moro M. Á. (2012).
Álgebra lineal y Geometría, 3.ª Ed. Madrid, España: Pearson Educación.