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TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014
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19 de febrero de 2014

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Definiciones b´sicas sobre funciones lineales
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Funci´n Lineal
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Ejercicios
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Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
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Funci´n Cuadr´tica
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Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
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Ejemplos
1. f(x)=3x2 + 2x − 1; a=3, b=2 y c=-1.
2. f(x)=−x2 + 5x; a=-...
Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
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V´rtice y Concavidad
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La gr´fica de la ecuaci´n y = ax2 + bx + c es u...
Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
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V´rtice y Concavidad
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Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
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Eje de Simetr´
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Funci´n Cuadr´tica
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Ejercicios
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Funci´n Cuadr´tica
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Ejercicios
Determine en cada caso el v´rtice, la concavidad, el eje de
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  1. 1. ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e 19 de febrero de 2014 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  2. 2. Definiciones b´sicas sobre funciones lineales a Funci´n Lineal o def. Una funci´n lineal es una funci´n f:R −→ R tal que o o f(x)=mx + b; donde m y b son constantes reales. Ejemplos: 1. Sea f:R −→ R tal que f(x)=8x+4. En este caso m=8 y b=4. 2. Sea f:R −→ R tal que f(x)=-12x-74. En este caso m=-12 y b=74. 3x 3 − 9. En este caso m= y 3. Sea f:R −→ R tal que f(x)= 4 4 b=-9. ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  3. 3. Definiciones b´sicas sobre funciones lineales a Algunas caracter´ ısticas de esta funci´n o 1. En la funci´n lineal siempre se tiene que f (0)=b, esto o quiere decir que la gr´fica de la funci´n corta al eje y en el a o punto (0,b). 2. La constante m recibe el nombre de pendiente y esta indica la inclinaci´n de la recta, o lo que es lo mismo su o monoton´ ıa. 3. Si m > 0, f es creciente, si m < 0 f es decreciente y si m = 0 f es constante. ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  4. 4. Funci´n Lineal o Pendiente de una funci´n lineal o def. La pendiente m de una recta no vertical que contiene los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) es m= y2 − y1 x2 − x1 ˆ A¿Cu´l es la raz´n por la que hablamos de una recta no a o vertical? ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  5. 5. Funci´n Lineal o C´lculo de la pendiente de una funci´n a o Sea f una funci´n lineal tal que f (2)=5 y f (3)=8, determine su o pendiente. Soluci´n: o De acuerdo a la definici´n anterior se tiene que o m= f(3) − f(2) 8−5 = =3 3−2 1 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  6. 6. Funci´n Lineal o Ecuaci´n de la recta o La ecuaci´n de la recta est´ definida de la siguiente manera: o a y = mx + b ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  7. 7. Funci´n Lineal o C´lculo de la ecuaci´n de una recta a o Determine la ecuaci´n de la recta que contiene a los puntos o (-1,4) y (3,6). Soluci´n: o Primero debemos hallar el valor de la pendiente: m= 2 1 6−4 = = 3 − (−1) 4 2 Por otro lado, para calcular el valor de b, despejamos la constante b de la ecuaci´n y = mx + b, por lo que obtendr´ o ıamos y − mx = b ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  8. 8. Funci´n Lineal o C´lculo de la ecuaci´n de una recta a o Tomamos los valores de x y y de cualquiera de los pares ordenados dados, por lo que tenemos: 1 4 − ( )(−1) = b 2 9 =b 2 1 9 ∴y = x+ 2 2 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  9. 9. Funci´n Lineal o Ejercicios En cada caso determine la pendiente y los puntos de intersecci´n de la gr´fica de la funci´n f, f:R −→ R con los ejes; o a o adem´s indique si es creciente, decreciente o constante. a 1. f (x)=−2x + 6 2x − 5 2. f (x)= 3 4x 1 3. f (x)= + 5√ 3 4. f (x)=− 3x + 2 5. f (x)=6 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  10. 10. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a Funci´n Cuadr´tica o a def. Una funci´n cuadr´tica es una funci´n f:R −→ R, tal que o a o f(x)=ax2 + bx + c donde a, b y c son constantes reales y a = 0 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  11. 11. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a Ejemplos 1. f(x)=3x2 + 2x − 1; a=3, b=2 y c=-1. 2. f(x)=−x2 + 5x; a=-1, b=5 y c=0. 3. f(x)=5x2 ; a=b, b=0 y c=0. ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  12. 12. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a V´rtice y Concavidad e La gr´fica de la ecuaci´n y = ax2 + bx + c es una par´bola cuyo a o a v´rtice es el punto e − Recuerde que b b2 − 4ac ,− 2a 4a = b2 − 4ac ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e = − b − , 2a 4a
  13. 13. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a V´rtice y Concavidad e 1. Si a > 0 la par´bola es c´ncava hacia arriba. a o 2. Si a < 0 la par´bola es c´ncava hacia abajo. a o ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  14. 14. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a Eje de Simetr´ ıa La recta vertical que contiene al v´rtice es el eje de simetr´ de e ıa b la par´bola, la ecuaci´n del eje de simetr´ es x = − . a o ıa 2a Intersecciones con los ejes 1. Intersecciones con el eje x: Son los puntos de la forma (x,0) que se obtienen de resolver la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0. o 2. Intersecciones con el eje y: Es un punto de la forma (0,y), para determinarlo se calcula la imagen de 0. ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  15. 15. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a Intervalos de Monoton´ ıa b b , +∞ y f decrece en −∞, − 2a 2a b b 2. Si a < 0: f crece en −∞, − y f decrece en − , +∞ 2a 2a 1. Si a > 0: f crece en − ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  16. 16. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas a a ´ Ambito 1. Si a > 0 El ´mbito es: − a 4a , +∞ 2. Si a < 0 El ´mbito es: −∞, − a ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e 4a
  17. 17. Funci´n Cuadr´tica o a Ejercicios Determine en cada caso el v´rtice, la concavidad, el eje de e simetr´ la intersecci´n con los ejes, intervalos de monoton´ y ıa, o ıa el ´mbito. Trace un bosquejo de la gr´fica. a a 1. y = x2 − 4 2. y = x2 + 4x + 4 3. f(x) = −(x + 3)2 4. f(x) = x2 + 2x 5. h(x) = 2x2 + 7x − 4 6. h(x) = −x2 − 2x + 24 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e
  18. 18. Funci´n Cuadr´tica o a Ejercicios Determine en cada caso el v´rtice, la concavidad, el eje de e simetr´ la intersecci´n con los ejes, intervalos de monoton´ y ıa, o ıa el ´mbito. Trace un bosquejo de la gr´fica. a a 1. g(x) = −x2 + 1 2. g(x) = −x2 − 3 3. m(x) = −x2 − 3x − 5 ´ TALLER Exito Acad´mico LIBERIA 2014 e

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