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e
19 de febrero de 2014
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e

2. Definiciones b´sicas sobre funciones lineales
a
Funci´n Lineal
o
def. Una funci´n lineal es una funci´n f:R −→ R tal que
o
o
f(x)=mx + b; donde m y b son constantes reales.
Ejemplos:
1. Sea f:R −→ R tal que f(x)=8x+4. En este caso m=8 y b=4.
2. Sea f:R −→ R tal que f(x)=-12x-74. En este caso m=-12 y
b=74.
3x
3
− 9. En este caso m= y
3. Sea f:R −→ R tal que f(x)=
4
4
b=-9.
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3. Definiciones b´sicas sobre funciones lineales
a
Algunas caracter´
ısticas de esta funci´n
o
1. En la funci´n lineal siempre se tiene que f (0)=b, esto
o
quiere decir que la gr´fica de la funci´n corta al eje y en el
a
o
punto (0,b).
2. La constante m recibe el nombre de pendiente y esta indica
la inclinaci´n de la recta, o lo que es lo mismo su
o
monoton´
ıa.
3. Si m > 0, f es creciente, si m < 0 f es decreciente y si
m = 0 f es constante.
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4. Funci´n Lineal
o
Pendiente de una funci´n lineal
o
def. La pendiente m de una recta no vertical que contiene los
puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) es
m=
y2 − y1
x2 − x1
ˆ
A¿Cu´l es la raz´n por la que hablamos de una recta no
a
o
vertical?
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5. Funci´n Lineal
o
C´lculo de la pendiente de una funci´n
a
o
Sea f una funci´n lineal tal que f (2)=5 y f (3)=8, determine su
o
pendiente.
Soluci´n:
o
De acuerdo a la definici´n anterior se tiene que
o
m=
f(3) − f(2)
8−5
=
=3
3−2
1
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6. Funci´n Lineal
o
Ecuaci´n de la recta
o
La ecuaci´n de la recta est´ definida de la siguiente manera:
o
a
y = mx + b
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7. Funci´n Lineal
o
C´lculo de la ecuaci´n de una recta
a
o
Determine la ecuaci´n de la recta que contiene a los puntos
o
(-1,4) y (3,6).
Soluci´n:
o
Primero debemos hallar el valor de la pendiente:
m=
2
1
6−4
= =
3 − (−1)
4
2
Por otro lado, para calcular el valor de b, despejamos la
constante b de la ecuaci´n y = mx + b, por lo que obtendr´
o
ıamos
y − mx = b
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8. Funci´n Lineal
o
C´lculo de la ecuaci´n de una recta
a
o
Tomamos los valores de x y y de cualquiera de los pares
ordenados dados, por lo que tenemos:
1
4 − ( )(−1) = b
2
9
=b
2
1
9
∴y = x+
2
2
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9. Funci´n Lineal
o
Ejercicios
En cada caso determine la pendiente y los puntos de
intersecci´n de la gr´fica de la funci´n f, f:R −→ R con los ejes;
o
a
o
adem´s indique si es creciente, decreciente o constante.
a
1. f (x)=−2x + 6
2x − 5
2. f (x)=
3
4x 1
3. f (x)=
+
5√ 3
4. f (x)=− 3x + 2
5. f (x)=6
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10. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
Funci´n Cuadr´tica
o
a
def. Una funci´n cuadr´tica es una funci´n f:R −→ R, tal que
o
a
o
f(x)=ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantes reales y a = 0
´
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11. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
Ejemplos
1. f(x)=3x2 + 2x − 1; a=3, b=2 y c=-1.
2. f(x)=−x2 + 5x; a=-1, b=5 y c=0.
3. f(x)=5x2 ; a=b, b=0 y c=0.
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12. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
V´rtice y Concavidad
e
La gr´fica de la ecuaci´n y = ax2 + bx + c es una par´bola cuyo
a
o
a
v´rtice es el punto
e
−
Recuerde que
b
b2 − 4ac
,−
2a
4a
= b2 − 4ac
´
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e
=
−
b −
,
2a 4a

13. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
V´rtice y Concavidad
e
1. Si a > 0 la par´bola es c´ncava hacia arriba.
a
o
2. Si a < 0 la par´bola es c´ncava hacia abajo.
a
o
´
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14. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
Eje de Simetr´
ıa
La recta vertical que contiene al v´rtice es el eje de simetr´ de
e
ıa
b
la par´bola, la ecuaci´n del eje de simetr´ es x = − .
a
o
ıa
2a
Intersecciones con los ejes
1. Intersecciones con el eje x: Son los puntos de la forma (x,0)
que se obtienen de resolver la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0.
o
2. Intersecciones con el eje y: Es un punto de la forma (0,y),
para determinarlo se calcula la imagen de 0.
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15. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
Intervalos de Monoton´
ıa
b
b
, +∞ y f decrece en −∞, −
2a
2a
b
b
2. Si a < 0: f crece en −∞, −
y f decrece en − , +∞
2a
2a
1. Si a > 0: f crece en −
´
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e

16. Definiciones b´sicas sobre funciones cuadr´ticas
a
a
´
Ambito
1. Si a > 0 El ´mbito es: −
a
4a
, +∞
2. Si a < 0 El ´mbito es: −∞, −
a
´
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e
4a

17. Funci´n Cuadr´tica
o
a
Ejercicios
Determine en cada caso el v´rtice, la concavidad, el eje de
e
simetr´ la intersecci´n con los ejes, intervalos de monoton´ y
ıa,
o
ıa
el ´mbito. Trace un bosquejo de la gr´fica.
a
a
1. y = x2 − 4
2. y = x2 + 4x + 4
3. f(x) = −(x + 3)2
4. f(x) = x2 + 2x
5. h(x) = 2x2 + 7x − 4
6. h(x) = −x2 − 2x + 24
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18. Funci´n Cuadr´tica
o
a
Ejercicios
Determine en cada caso el v´rtice, la concavidad, el eje de
e
simetr´ la intersecci´n con los ejes, intervalos de monoton´ y
ıa,
o
ıa
el ´mbito. Trace un bosquejo de la gr´fica.
a
a
1. g(x) = −x2 + 1
2. g(x) = −x2 − 3
3. m(x) = −x2 − 3x − 5
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