1. TALLER
DE NIVE´
LACION
LIBERIA
2014
´
TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014
18 de febrero de 2014

2. Definiciones b´sicas sobre funciones
a
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Funci´n
o
def. Una funci´n f de un conjunto A a un conjunto B es una
o
correspondencia que asigna a cada elemento x de A un unico
´
elemento y de B.Se denota de la siguiente forma: f :A −→ B
Ejemplos:
1
En cierto colegio, la calificaci´n anual del rendimiento
o
de cada alumno se expresa mediante una escala
cualitativa: excelente, bueno, regular, malo.
2
En cierta biblioteca, a cada libro se le asocia un n´mero
u
de acuerdo con la cantidad de p´ginas que lo conforman.
a

3. Definiciones b´sicas sobre funciones
a
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Dominio y Codominio
En una funci´n f :A −→ B, al conjunto A se le llama
o
dominio o conjunto de salida, mientras que al conjunto B
se le conoce como codominio o conjunto de llegada.
Im´genes y Preim´genes
a
a
Los elementos de B asociados a elementos de A se les llama
im´genes bajo f y se denotan por f(x). Las preim´genes son
a
a
los elementos que est´n en A y se encuentran asociados con
a
elementos del conjunto B.

4. Definiciones b´sicas sobre funciones
a
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5. Definiciones b´sicas sobre funciones
a
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´
Ambito
El ´mbito de una funci´n es el subconjunto del codominio
a
o
formado por las im´genes de los elementos del dominio; al
a
a
´mbito tambi´n se le llama rango.
e
Criterio
Es la regla que define la funci´n. Por ejemplo sea
o
f :R −→ R
f(x)=x2
En este caso el criterio es f(x)=x2

6. Definiciones b´sicas sobre funciones
a
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Gr´fico
a
El gr´fico de f es el conjunto de todos los pares ordenados
a
tales que el primer elemento del par es un elemento del
dominio de f y el segundo elemento es su imagen respectiva.
Gr´fica
a
Es la representaci´n de una funci´n en un plano cartesiano,
o
o
que consta de dos rectas num´ricas perpendiculares, donde
e
una representa al eje y y la otra al eje x, que se intersecan
en un punto llamado origen (0,0).

7. C´lculo de im´genes y preim´genes
a
a
a
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Calcular una imagen
Sea f :[−5, 5] −→ R definida por f(x)=x2 − 3x + 2 ,
determine f (0), f (1) y f (-4).
Soluci´n: Para determinar f (0) se reemplaza x por 0 en la
o
regla establecida:
f (0)=(0)2 − 3 · (0) + 2 = 2
f (1)=(1)2 − 3 · (1) + 2 = 0
f (-4)=(−4)2 − 3 · (−4) + 2 = 30

8. C´lculo de im´genes y preim´genes
a
a
a
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Calcular una preimagen
Sea la funci´n f:[2, +∞[−→ R tal que f(x)=−2x2 + 8x − 6.
o
Determine la preimagen de -6.
Soluci´n:
o
Determinar la preimagen de -6 significa hallar el valor x del
dominio de la funci´n que hace que f(x)=-6, o sea, resolver
o
−2x2 + 8x − 6 = −6.
−2x2 + 8x − 6 + 6 = −6 + 6
−2x2 + 8x = 0
2x(−x + 4) = 0
⇒x=0ox=4
Como 0 no pertenece al dominio de la funci´n, entonces la
o
preimagen de -6 es 4 y se denota f (4)=-6.

9. Dominio m´ximo de una funci´n
a
o
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Dominio m´ximo
a
Es el mayor subconjunto de R en el cual el criterio de la
funci´n tiene sentido. Para determinar el dominio m´ximo
o
a
de una funci´n debemos excluir todos aquellos valores reales
o
que indefinir´ el criterio.
ıan

10. Dominio m´ximo de una funci´n
a
o
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Calcular el dominio m´ximo
a
Determinar el dominio m´ximo de la funci´n definida por
a
o
√
f (x)= 3 − 2x
Soluci´n:
o
En este caso, el criterio de la funci´n estar´ bien definido
o
a
siempre y cuando el subradical sea mayor o igual que 0.
Entonces:
3 − 2x 0
⇔ 3 2x
3
⇔2 x
3
∴ DM =] − ∞, 2 ]

11. Dominio m´ximo de una funci´n
a
o
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Calcular el dominio m´ximo
a
Determine el dominio m´ximo de f(x)=4x2 + 3x − 1
a
Soluci´n:
o
Como el criterio de la funci´n est´ dado por un polinomio, a
o
a
x se le puede asignar cualquier valor real, por lo que su
dominio m´ximo es R.
a

12. Dominio m´ximo de una funci´n
a
o
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Calcular el dominio m´ximo
a
√
Determine el dominio m´ximo de f(x)= 3 x2 − 1
a
Soluci´n: Como esta expresi´n tiene en su ´
o
o
ındice un
n´mero impar, entonces el subradical puede asumir
u
cualquier valor real, adem´s como el subradical es un
a
polinomio,a x se le puede asignar cualquier valor real, por lo
tanto el dominio m´ximo es R.
a

13. Dominio m´ximo de una funci´n
a
o
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Ejercicios
Determine el dominio m´ximo de las siguientes funciones
a
reales:
4x − 3
1
3x − 8
√
4
2
−3x + 8
4x − 3
3
√
x+5
4x − 3
4
3x − 5
√
4x − 3
5
3x − 5
x2 − x − 6
6
x2 + 3x + 2

14. An´lisis de gr´ficas
a
a
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En este segmento utilizaremos gr´ficas para determinar en
a
ellas ´mbito, dominio m´ximo,im´genes y preim´genes
a
a
a
a
as´ como intervalos de monoton´ e intersecciones con los
ı
ıa
ejes.