1. El documento presenta una serie de ejercicios de números complejos que incluyen cálculos, demostraciones y conversiones entre las diferentes formas de representación de números complejos. 2. Se piden determinar valores, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, calcular determinantes, y expresar números complejos en forma polar, rectangular y exponencial. 3. También se incluyen ejercicios geométricos que implican representar números complejos en el plano complejo y aplicaciones como descomposición en factores y desigualdades.

1. 583pág.
6.1 Números complejos
8. Calcule los números m y n que verifiquen la igualdad:
- 4 + mi
2 - 3i = n - 2i.
2. (√1 - √3 )2
= √(1 - √3)2
.
a) Verdadero b) Falso
3. Sean a1, a2, a3, a4 ∈ . Si f (x) = x4
+ a1x3
+ a2x2
+ a3x + a4, f (i) = 0 y
f (1 + i) = 0, al sumar los coeficientes a1, a2, a3, a4, se obtiene:
a) 2 b) 1 c) - 2 d) 4 e) - 4
7. Sea A =
1 0
1 - i0
0
2i
1
1- i
, calcule det(A - A).
5. Determine los valores de x e y que satisfagan la igualdad:
2i
x
+yi-2=3i- 3
x
+y.
a) Verdadero b) Falso
1. Si z, w ∈ , entonces zw = z w .
4. Sean Re = y p(x) : 4 3
2 1 + 8x 2
-1 x - 4 1
2 x = 0. La suma de los elementos
de Ap(x) es:
6.2 Operaciones
9. Si z1 = 1 + √3i y z2 = -1 + √3i, el número 2 (z2
z1
)2
es:
a) 1 + √3i b) 1 - √3i c) -1 + √3i d) -1 - √3i e) - 1
2
+
2
√3 i
6. Determine los números reales x e y que satisfagan las siguientes ecuaciones.
CAPÍTULO SEIS6 Ejercicios propuestos
a)
1
2
b)
3
4
c)
7
8
d)
5
8
e)
3
8
(i) 3 + 2i + 3iy = 8i + x - 2y.
(ii) (1 - i)x + (2 + i)y = 4 + 2i.
(iii)
8i
x
+ iy - 2 = 7i - 10
x
+ y .

2. 584pág.
11. Determine las raíces de la ecuación: x3
- 5x2
+ 7x + 13 = 0.
12. Demuestre algebraicamente que si √a + bi = u + vi, entonces
u = √1
2
(a + √a2
+ b2
) y v = √1
2
(- a + √a2
+ b2
)
15. Calcule la inversa de la matriz 20 1
1 + i 2 + i 4 + i
- i 0 i
.
13. Exprese en forma rectangular los siguientes números complejos:
14. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
16. Halle el valor de los siguientes determinantes:
10. Determine el valor real de k para que z =
4 + ki
2 + i
sea o real puro o imaginario
puro.
c) [ 2i
1 + i]
4
a) (1 - 4i)(3 + 11i) - (1 + i)-1
d)
i
1 + i
+ 1 + i
i
b) (1 - i)3
(1 + i) e) [1 + √3i + (1 - √3i)]3
a)
(2 + 3i)x - (1 + i)y = 3 + 4i
(1 - 3i)x - (1 - 2i)y = -2 - 6i
b)
(2 + i)x + 2y = 1 + 7i
(1 - i) + yi = 0
a) 20 1
1 + i 2 + i 4 + i
- i 0 i
b) 01
1 - i
2 - i
4 - i 2
i0
- i

3. 585pág.
6.3 Representación geométrica
17. Exprese los siguientes números complejos en la forma rectangular:
c) 1
2
(1 + i)(1 + i-8
)
a)
(3 + 5i)(2 - i)3
- 1 + 4i
d)
(1 + i)(2 + i)(3 + i)
1 - i
b) (2 + 3i)(3 - 4i)2
e) (2 + 5i)3
18. Si (z1 + z2) ≠ (0, 0), demuestre que: Re
z1
z1 + z2
+ Re
z2
z1 + z2
=1.
19. Si z satisface la ecuación √z= 2
1 - i
+ 1 - 4i, exprese z en forma
rectangular.
20. ¿Cuál debe ser la relación entre x e y para que el producto (x + yi)(2 + 3i)
sea un número real?
21. Exprese en forma polar los siguientes números complejos:
a) - √3 + i b) 3 - 3i c) 1+ i√3
22. Calcule el módulo, la parte real e imaginaria de:
1 + cos(β) + i sen(β)
1 + cos(β) - i sen(β)
.
24. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) i25
= i
b) ∀z1, z2 ∈ , |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
c) ∀(x, y) ∈ , [(x, y) (0, 1) = (x, y)]
d) ∀z ∈ , zz = z2
23. Demuestre que para todo entero positivo “n”
sen(α) + i cos(α)
sen(α) - i cos(α)
n
= cos 2n �
2
-α + i sen 2n �
2
-α

4. 586pág.
28. Sea z = 2 + 2i, halle e interprete geométricamente el producto zi.
29. Si z - 1
z
es real, demuestre que z es real.
30. Realice las operaciones y reduzca a una forma más simple:
(i) [1 + √3i + (1 - √3)i]3
(ii) 1 + i
1 - i
2
- 1 - i
1 + i
3
(iii) [sen(α) - sen(β) + i(cos(α) - cos(β))]
n
27. Exprese en forma polar:
25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
1 + i √3
-1 + i √3
10
?
6.4 Notación de Euler
26. Sea z ∈ tal que |z| = 1, determine el desarrollo de (z + z-1
)5
según el
teorema del binomio. A partir de ello, demuestre que:
cos5
(θ) = 1
16
(ncos(5θ) + mcos(3θ) + λcos(θ)) donde m, n, λ son enteros
positivos.
a) - 1
2
+
2
√3 i b) - 1
2
-
2
√3 i c) 1
2
+
2
√3 i
d) 1
2
-
2
√3 i e) - 1
4
+
4
√3 i
a) √2 cos �
4
+ i sen �
4
4
b) 3 cos �
5
+ i sen �
5
-3

5. 587pág.
32. Si z1 = 7 - i y z2 = 3 + i, entonces el módulo del número complejo e
z1
z2 es:
a) e b) e-1 c) 2e d) 10 e) e2
31. Determine el módulo, la parte real e imaginaria de:
36. Verifique que:
a) (cos (30º) + i sen (30º))2
= cos �
3
+ i sen �
3
b) cos �
6
+ i sen �
6
3
= i
33. Sea z , tal que z =
1
1 + i
+ 1
(1 + i)2 + 1
(1 + i)3 + 1
(1 + i)4 + ..., encuentre
el valor que más se aproxima a z2
.
37. Encuentre las cuartas potencias de:
(i) 2 cis �
4
(ii) √3 cis 225º (iii) 1
2
ei15º
38. Halle las raíces indicadas y grafíquelas en el plano complejo.
(i) Raíces cúbicas de 27 cis 3�
2
. (iii) Raíces cuartas de i.
(ii) Raíces cuartas de -1. (iv) Raíces cúbicas de 64 cos �.
a) e-i�
b) e1- i�
6 c) e1+ i
34. Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular:
a) ei� b) -2e-i�
c) i + ei3�
2 d) ei�
4 - e-i�
4 e) ei�
3 + e-i5�
6
35. Exprese en forma polar los siguientes números complejos:
a) 2ei�
8 b) e2+ i
c) 2e1- i�
4 d) 23i
e) 3- 1
2 f) 51+ i
g) 101- i

6. 588pág.
6.5 Aplicaciones
39. Un vértice de un hexágono regular centrado en el origen es (0,2), determine
el resto de sus vértices.
40. Calcule √8 + 8√3i
4
.
41. Determine el número complejo z, igual al cuadrado de su conjugado.
43. Demuestre que si z y z es un par de números complejos conjugados,
entonces z3
y (z)3
son también conjugados.
44. Explique cómo están distribuidos en el plano los puntos complejos, que
satisfacen la desigualdad:
45. Resuelva la desigualdad: - 2 < 2log1
3
| x + 1 - √5i| < - log3 2 - 1.
46. Descomponga en un par de factores lineales complejos el trinomio a2
+ab +b2
.
42. Determine las raíces de las siguientes ecuaciones. Considere Re = .
a) x2
- 6x + 13 = 0
b) 2x2
+ 5x + 6 = 0
c) x2
- 2(1 + i)x + (2i - 1) = 0
d) x3
- 2x + 4 = 0
e) x2
- 3x + (3 - i) = 0
f) x3
+ 3x2
- 3x - 14 = 0
log1
2
| z | + log1
2
(| z | + 1) < log1
2
(| z | + 5)