complejos

1. Ing. Rimachi Fernàndez Manuel Numeros Complejos Matemàtica Bàsica II
1.- Podrìa decir cuàl es la diferencia entre el plano complejo y el plano cartesiano.
2.- Grafique en el Plano de Argant los puntos: {(3, 2i) (-2, -i) (2,4i) (4,-6i) (-3,-2i)}
3.- Observe los siguientes ejercicios:
a.- 5 − √3 + 4√9 − 2 + √6 − 9 b.- √6 + 4 − √−5 + √−4 + 3 − √−9 + 9
¿Cuàl esta en el campo de los reales y cuàl en el campo de los complejos?
¿Cuàl es la solución de ambos ejercicios? Puede graficar ambas soluciones.
¿La grafica es en diferentes planos o puede ser en un mismo plano?
4.- Resuelva:
a.- (3,4i) + (3,5i) –(8,9i) b.- 4√−3 +6 - 7√−9 +12 +√3 c.- (4,3i)(2,i)(-3,5i)
d.-(-2,4i) {(3 - 6√−4 + 2√−9 } e.-
5+6𝑖
2−3𝑖
+
3−2𝑖
6−5𝑖
f.-
(1+𝑖)(2−𝑖)
(4,−3𝑖)
5.- Dado los siguientes complejos:
𝑍1 = (3,4𝑖); 𝑍2 = 2 − 3𝑖 ; 𝑍3 = −1 + 𝑖 ; 𝑍4 = 2𝑖 ; 𝑍5 = 4
Resuelva:
a.
𝑍3−𝑍2
𝑍4
b.-
𝑍1+𝑍4
𝑍4−𝑍3
c.-
2𝑍3+𝑍5
𝑍1+3𝑍3
d.-
𝑍5−2𝑍4
2𝑍3+𝑍2
)(
3𝑍1
𝑍4−2𝑍1
) e.-
3𝑍5−2𝑍2
4𝑍1
)(
3𝑍3
𝑍2+2𝑍1
)
6.- Sean los siguientes complejos:
Z1= 2 – i Z2 = 4(Cos𝜋 + iSen 𝜋) Z3 = 3 (Cos
𝜋
4
+ i Sen
𝜋
4
) Z4 = 1 – i √3
Cada uno de los complejos debe convertirlos a las formas que le facilite la operaciòn
b.- Hallar: Z1 + Z2 – { Z3 + 3 Z4 } ; 3Z1 -2 Z4 + {5 Z2 - Z4 } ; {Z1 - Z2 } { Z3 + Z4 }
c.- Hallar : {(Z1 +Z2 )4 + (Z3 +Z4)3} [𝑍3
̅̅̅} ; (
𝑍2
𝑍4
−
𝑍1
𝑍3
)6 ;
√ 𝑍1
√ 𝑍4
. (𝑍2− 𝑍3
̅̅̅̅̅̅̅̅)
7.- Resuelva:
a. (3+5i) + (5 + 2i) – (4 +7i)2 b. (2 + 3i)(5 – 3i) (-4 + 5i55) c.
−5−2𝑖
4+𝑖
+
2+5𝑖
3𝑖
d.
3
4(5−𝑖)(4+6𝑖)
e.
(4+𝑖)(1+𝑖)
3−𝑖
+ 𝑖 f. {
2𝑖37
(2+𝑖)(3+4𝑖)
}2
- {
(2−𝑖)(3+𝑖)
5−2𝑖
}
g. (3√−4 + 3𝑖)(4𝑖 − √−9)(3𝑖34
+ 4𝑖47
) h.
2−2𝑖
4(𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
−𝑖𝑆𝑒𝑛
𝜋
3
)
−
3𝑒
𝑖
𝜋
4
(3,4𝑖)

2. Ing. Rimachi Fernàndez Manuel Numeros Complejos Matemàtica Bàsica II
i. (4𝑖58
+ 5√−4 + 𝑖87
− 4√−12 )2 j. (
−32+𝑖√−8
𝑖7−2
)(
4{𝐶𝑜𝑠
𝜋
4
−𝑖𝑆𝑒𝑛
𝜋
4
}
3𝑖−2
)
8.-Halle la raíz quinta de Z1 =
1−𝑖
√3+𝑖
9.- Halle la raíz sexta de Z =
4−4√3𝑖
3
10.- Dado los siguientes complejos: Z1 = - 3 ( Cos
𝜋
6
− 𝑖 𝑆𝑒𝑛
𝜋
6
)
Z2 = 2( - Cos
𝜋
4
+ 𝑖 𝑆𝑒𝑛
𝜋
4
) , Z3 = √2 (𝐶𝑜𝑠
2𝜋
3
− 𝑆𝑒𝑛
2𝜋
3
)
Resuelva: a.- (𝑍2 − 𝑍1 + 𝑍3
̅̅̅) (𝑍2 . 𝑍3)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ b.- (𝑍2 + 𝑍1)(𝑍3 − 𝑍2)20
c.-
𝑍1
𝑍2
−
𝑧3
𝑍4
+
𝑍1
𝑍3
+
𝑍4
𝑍1
d.- {(𝑍3)4
+ ( 𝑍2)6 }[𝑍1 − 𝑍4]8
11.- Sea Z1 = (2,-2i) Z2 = 5 – i 5√3 Z3 = -2( cos
4𝜋
3
+ 𝑖𝑆𝑒𝑛
4𝜋
3
) Z4 = 3. 𝑒𝑖(−
𝜋
4
)
Resolver: a.- ( Z3 + Z4 – Z1 – Z2 )2 + ( 𝑍3 + 𝑍1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)2 luego si es posible halle la raíz cuadrada
de la soluciòn.
b.- (Z4 . Z3)(
𝑍2+𝑍3
𝑍1−𝑍4
) a la respuesta halle la raíz cuarta.
c.- (√ 𝑍2
3
+ √ 𝑍1
3
)4 ; si existen las 3 raíces, existen 3 respuestas; para K= 0,1,2.
d.- (Z3)( 𝑍2
̅̅̅̅) – (𝑍1
̅̅̅)(𝑍4 − 𝑍2
̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿) luego si es posible halle la raíz quinta.
e.- Convierta todos los complejos a su forma binomial y sume, luego si es posible el
resultado expréselo en forma exponencial.
12.- Dados los siguientes complejos :
𝑍1= -3 + 4i ; 𝑍2= 5 – 2i ; 𝑍3= 3/2 ; 𝑍4= 7i ; 𝑍5= (3,1/2 i)
Hallar:
a. (𝑍1 –𝑍2) 𝑍3 b. 𝑍1. 𝑍2
̅̅̅̅̅̅̅ c. ( 𝑍1 + 𝑍2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )3 d. ( 𝑍1 + 𝑍5)(𝑍2 + 𝑍3)
e.
𝑍2+𝑍3−5𝑍1
𝑍1+𝑍5
f.
𝑍2
𝑍3
+
𝑍3
𝑍4
g.
𝑍5
𝑍3
-
𝑍4
𝑍5
+
𝑍2
𝑍4
e.
𝑍3− 𝑍3+ 𝑍1
𝑍1+𝑍5−𝑍4
13.-Resuelva las siguientes ecuaciones complejas: Halle el valor de (x)
Dados 𝑍1 = 2 − 𝑖 , 𝑍2 = (3,6𝑖)
a. 𝑍1 + X = 𝑍2 b. 𝑍1 + 𝑍2 + X = 1 c. (𝑍1)2
+ (𝑍2)2
+ X = 0

3. Ing. Rimachi Fernàndez Manuel Numeros Complejos Matemàtica Bàsica II
14.- Las siguientes ecuaciones tienen raíces complejas y reales, si es posible halle las raíces
a. 𝑥4
+ 3𝑥2
− 10 = 0 b. 𝑥3
+ 5𝑥2
+ 6𝑥 = 0 c. 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 = 0
11.- Sea Z1 =(3,2i) ; Z2 = (-1+2i) ; Z3 = ( 4,3i) , halle:
a.- (𝑧1̅ + 𝑧2̅̅̅̅) (𝑧3− 𝑧1̅̅̅̅̅̅̅) b.- ( 𝑧2̿ + 𝑧3̅ − 𝑧1) ( 𝑧2. 𝑧3̅̅̅̅̅̅ )
c.- (
𝑧1+𝑧2
𝑧3− 𝑧1
−
𝑧3− 𝑧2
𝑧3
) ( 𝑧2 + 𝑧1 − 𝑧3̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) d.- (𝑧3− 𝑧1̅̅̅)( 𝑧3 − 𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )( 𝑧3 − 𝑧1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )
15.- Sea: 𝑍1 = ( 1 − 𝑖)5
, 𝑍2 = ( 3− 4𝑖)6
, 𝑍3 = ( 5+ 5𝑖)7
𝑍4 = ( −3 + 4𝑖)5
Resuelva : a. 𝑍2 . 𝑍3 b.
𝑍3
𝑧1
c.
𝑍1
𝑍2
+
𝑍3
𝑍4
d.
𝑍3 .𝑍2
𝑍3 𝑍4
e.
𝑍2− 𝑍1
𝑍3
+
𝑍2 +𝑍4
𝑍1
16.- Halle las raíces cuadradas de :
a. 7 -24 i b. 1 - √3 i c. -5 -12 i d. 3 + 4 i f. - 4 + 2 i
17.- Opere y encuentre el complejo:
a. 3i23 – 4 + 2i56 – 5 – 7i78 +4i78 b. (√−16)32 – 24i54 +3 – 32(√−4)13 – i50
c. (3√−3 + 4√−12− 𝑖)5 – (2√−75+ 10𝑖 − 40√−3)6
d. {[3√2 − √−2]4 –[3i – 2]5 +1}3 . {3√2𝑖-1}
18.- Encuentre la forma polar de los siguientes complejos.
a. 2 + 2i d. 5/3 i g. - √5 j. 3 - √−9 n. 1 - √3 i
b. -2 +2i e. 4√2 - 12i h. - 3 – 6i k. 2+6i ñ. 3 - 4i
c. -3 -3i f. 4-5i i. 3- 2i m. -1 + 2i p. 6 – 6i
19.- En base a la pregunta (15) hallar:
* (a+b)(c-d) *(a3-b4) (m-n) * (2p-3f){j-i+k} *(c - g2 + h2)( 3-i)
* √ 𝑎𝑏𝑐 * √ 𝑚𝑛 − 𝑝𝑘 * √ 𝑑 + 𝑒 − 𝑓4
*√ñ − ℎ + 𝑏
6
*√ 𝑎𝑚 − 𝑏𝑛
5
* encuentre la quinta raìz de (m-n) * encuentre la tercerac raíz de (e+b)
*encuentre la cuarta raíz de (h-i) * encuentre la sexta raíz de (k+ñ)
*encuentre la sexta raíz de (a.b-c) * encuentre la quinta raíz de (j+p)
Se entiende que si se quiere todas las raíces se comienza cuando K= 0, que sería la primera
raíz, se quiere específicamente una cuarta, quinta, etc raíz. No todas.