Conferencia impartida por Concepción Valdés el 11 de mayo de 2012 en el marco de los Viernes Científicos, actividad organizada por la Facultad de Ciencias Experimentales de la Universidad de Almería

2. METAPARADOJAS DE LA MATEMÁTICA
“¿Cómo es que hay tantos
espíritus que se niegan a
comprender las matemáticas?
¿No hay en ello algo de
paradójico? Si la matemática
se sustenta sobre principios
sencillos y un razonamiento
lógico que apela al sentido H. Poincaré
(1854-1912)
común ¿por qué la mayoría la
encuentra oscura?” (1908)

3. METAPARADOJAS DE LA MATEMÁTICA
“Es paradójico que, mientras
la Matemática tiene
reputación de ser una de las
materias que no tolera las
contradicciones, en realidad
posee una prolongada
historia de coexistencia
exitosa con las P.J. Davis 1923
contradicciones.” (1965)

4. ¿PORQUÉ SURGEN ESTAS
CONTRADICCIONES?
“[…]no me mostraban
suficientemente por qué las cosas
eran así y cómo se había llegado
a descubrirlas. No me extrañaba
pues, que muchos hombres
inteligentes e instruidos después
de haber comenzado el estudio de
las matemáticas, las olvidaran por R. Descartes
pueriles y vacías, o se detuvieran (1596-1650)
en su estudio por creerlas muy
difíciles y embrolladas.”

5. ¿PORQUÉ SURGEN ESTAS
CONTRADICCIONES?
“Las matemáticas presentadas
a la manera euclidiana
aparecen como una ciencia
sistemática, deductiva; pero las
matemáticas en vía de
formación aparecen como una
ciencia experimental, inductiva” G. Polya
(1887-1985)

6. BORIS GNEDENKO
(1912-1995)
Nuevos
Problemas Métodos y
Concretos Resultados
NUEVA Conceptos
TEORÍA Abstractos

7. ¿DÓNDE BUSCAR UNA SOLUCIÓN?
Génesis de conceptos y teoremas
Ejemplos y contraejemplos notables
Papel del razonamiento lógico- deductivo
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
Problemas y
Selección y
situaciones
adecuación
paradójicas

8. Paradoja (en sentido amplio)
Una afirmación verdadera que parece
falsa, o una afirmación falsa que parece
ser verdadera
El descubrimiento de un contraejemplo a
una idea ampliamente aceptada

9. PARADOJAS
RELACIONADAS
CON
EL INFINITO

10. PARADOJA DEL MOVIMIENTO (ZENÓN)
A B
A1 A2 A3
1 1 1
1/26 1 + + 2 + ... + n + ... = 2
1/25 2 2 2
1/2 1/24
0,333… = 1/3
1/23
0,9999… = 1
1/22

11. Discursos
y
Demostraciones
Matemáticas
Galileo Galilei
1638

12. E D
M L
F N K C
LA H I O P Y Z T
A B Q X S
RUEDA
DE
GALILEO

13. LA TROMPETA DE TORRICELLI
∞ ∞
dy
∫
dy
A( F ) = ∫
1
y
=∞ V =π 2 =π
1
y
x=1/y
y>1
F
1
1

14. “…tratamos con infinitos e
indivisibles, los cuales
nuestra mente finita no
puede entender debido a
la inmensidad de unos y la
pequeñez de los otros“
Galileo Galilei (1638)
Thomas Hobbes (1672) “para entender el
sentido de esto, no se requiere que el
hombre sea un lógico o un geómetra, sino
que deberá estar demente”.

15. PARADOJAS
RELACIONADAS
CON
EL AZAR

16. “La teoría de probabilidades
contiene consideraciones
tan delicadas, que no es
sorprendente que con los P.S. Laplace
mismos datos dos personas (1749-1827)
encuentren resultados
diferentes, sobre todo en las
cuestiones muy
complicadas.

17. REPARTICIÓN EQUITATIVA DE LA APUESTA
Se juega hasta 6 ptos. con apuesta de
22 ducados. Se suspende el juego
cuando los jugadores tienen 5 y 3 ptos.
¿Cómo repartir la apuesta?
“Proporcional a juegos ganados” (1494)
58 y 38
G. Cardano L. Pacioli
1501-1576 1445-1517
“Lo importante no son las partidas
jugadas, sino las que quedan” (1539)
67 y 17

18. J1: falta ganar 1 J2: faltan ganar 2
J1: “Si gano la próxima partida lo recibo
todo, si pierdo estamos en igualdad de
condiciones y me corresponde la mitad.
Así que debo recibir 3a / 4.”
J1: 1 J1: n (2 n
− 1) 2 n
y 12 n B. Pascal
1654 1623-1662
n=3: 7/8 y 1/8
1 1 1 1 1 2 + 3 partidas
imaginarias
1 2 1 1 2 2
2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 P. Fermat
1601-1665

19. PARADOJAS DE BERTRAND
J.L. Bertrand
(1822-1900)
1888

20. LOS COFRES DE BERTRAND A
1. Se selecciona un cofre D D
2. Se abre una de sus I II
gavetas ! moneda D B
¿Probabilidad de que la D P
R1 otra moneda sea P ? I II
Probabilidad =1/2 C
A o B
R2 ¡¿?! P
I
P
II
AI , AII , BI Probabilidad =1/3
Probabilidad Condicional

21. LA TRAMPA DE MONTY HALL
1 2 3
M
¿Desea cambiar a la puerta
2 o se queda con la 1?
Carro (1/3) M escoge cualquiera
P1 Cabra A (1/3) M escoge cabra B
Cabra B (1/3) M escoge cabra A
Carro en P2 (Pob. = 2/3)

22. PARADOJA DE LA CUERDA
Encontrar la probabilidad de que una cuerda,
tomada al azar en una circunferencia, sea mayor
que el lado del triángulo equilátero inscrito en ella.
1. Extremo fijo 1 2. Dirección fija 1
p= p=
60º 3 2
60º
60º
¡Mal
propuesto! 1 1/2
Ángulo dist. unif. Centro cuerda dist. unif.

23. ¿Qué se puede lograr?
Modificación paulatina de las creencias acerca de
qué es la matemática y cómo se desarrolla
Significativa humanización de la matemática y
los matemáticos.
Cultura del “debate” y la “crítica” matemática
¿Cuáles son la dificultades?
Ausencia de textos y materiales adecuados
Formación tradicional de profesores y matemáticos