Ecuaciones
Cuadráticas
Prof. Fidel Gilberto Maima Lazo
cel.: 973697116
email: fmaima@gmail.com
pág. web: www.fmaima.orgfre...
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
Una ecuación es de segundo grado, si el mayor exponente
de la incógnita es 2.
Fo...
Métodos de resolución de ecuaciones
cuadráticas
I. Ecuación de la forma:
𝑎𝑥2+c=0
Tiene dos raíces reales, si
−𝑐
𝑎
es un nú...
La ecuación de la forma:
Factorizamos por el método del aspa simple, luego igualamos
cada factor a cero.
Ejemplo: Resuelve...
Método de la F.G. o fórmula de Carnot
Dada la siguiente ecuación:
Aplicamos la fórmula general.
002
 acbxax
a
cabb
x
2...
Discriminante de una ecuación
cuadrática
Está dado por:
𝜟 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄
El Nº de soluciones de una
ecuación de segundo grado...
Reconstrucción de Ecuaciones Cuadráticas
1 si se conocen las raíces:
Si conocemos las raíces
X1 y X2 entonces la
ecuación ...
RAICES PARTICULARES
1 Raíces Simétricas:
Si X1 y X2 son raíces
simétricas se establece
que
X1=m y X2=-m entonces
X1 + X2 =...
Ejercicios
1. Resuelve la ecuación por el
método del aspa simple:
x + 3x – 28 = 0
Solución:
Factorizamos por el método
del...
3. Si la siguiente ecuación
tiene raíces iguales, calcula el
valor de «m».
x + 10x + (2m+1) = 0
Solución:
Tenemos que: a=1...
Ahora a resolver los ejercicios
Nunca consideres el estudio
como una obligación, sino
como una oportunidad para
penetrar e...
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Ecuaciones cuadraticas

  1. 1. Ecuaciones Cuadráticas Prof. Fidel Gilberto Maima Lazo cel.: 973697116 email: fmaima@gmail.com pág. web: www.fmaima.orgfree.com
  2. 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Una ecuación es de segundo grado, si el mayor exponente de la incógnita es 2. Forma general: Donde: a, b, c : son coeficientes reales x : incógnita o variable 002  acbxax Una ecuación cuadrática tiene dos raíces.
  3. 3. Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas I. Ecuación de la forma: 𝑎𝑥2+c=0 Tiene dos raíces reales, si −𝑐 𝑎 es un número real positivo. Ejemplo: 2𝑥2-8=0 → 2𝑥2 =8 𝑥2=4 → 𝑥 = 4 𝑥 = ±2 Luego, C.S.={-2; 2} II. Ecuación de la forma: 𝑎𝑥2+bx=0 Factorizamos y se aplica el criterio del producto cero, es decir, igualamos al factor a cero y despejamos. Ejemplo: 4𝑥2 + 12x=0 4𝑥(𝑥 + 3)=0 4𝑥 =0 v x+3=0 x=0 v x=-3 Luego, C.S.={-3; 0}
  4. 4. La ecuación de la forma: Factorizamos por el método del aspa simple, luego igualamos cada factor a cero. Ejemplo: Resuelve la ecuación: 5𝑥2 + 13𝑥 − 6 = 0 Factorizamos por aspa simple: (x+3)(5x-2) = 0 x+3 = 0 v 5x-2=0 x = -3 v x = 2/5 Luego, C.S. = {-3; 2/5} Método del aspa simple 002  acbxax
  5. 5. Método de la F.G. o fórmula de Carnot Dada la siguiente ecuación: Aplicamos la fórmula general. 002  acbxax a cabb x 2 42   Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación: Tenemos que: a=2 , b=5 , c=3 Aplicamos la fórmula general: 0352 2  xx    22 )3(2.455 2  x 4 15 x 4 15 x 1x 2 3 x
  6. 6. Discriminante de una ecuación cuadrática Está dado por: 𝜟 = 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 El Nº de soluciones de una ecuación de segundo grado dependerá del SIGNO delDiscriminante: Δ> 0 → tiene dos soluciones reales diferentes. Δ = 0 → tiene dos soluciones reales iguales. Δ< 0 → no tiene soluciones reales. Propiedades: 1. Suma de raíces: 2. Producto de raíces: a b xx   21 a c xx  21
  7. 7. Reconstrucción de Ecuaciones Cuadráticas 1 si se conocen las raíces: Si conocemos las raíces X1 y X2 entonces la ecuación será: (X-X1)(X-X2) 2 si se conocen la suma y producto de raíces : La ecuación cudratica sera: 𝒙 𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
  8. 8. RAICES PARTICULARES 1 Raíces Simétricas: Si X1 y X2 son raíces simétricas se establece que X1=m y X2=-m entonces X1 + X2 = 0 3 Raíz Nula: Dada la ecuación 𝐚𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 / 𝒂 ≠ 𝟎 si esta presenta una raíz nula (x=0) se cumple que C=0 2 Raíces Reciprocas: Si X1 y X2 son raíces reciprocas se establece que X1=m y X2=1/m entonces X1 . X2 = 1 4 Raíz Unidad: Dada la ecuación 𝐚𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 / 𝒂 ≠ 𝟎 si esta presenta una raíz unidad (x=1) se cumplirá que a+b+c=0
  9. 9. Ejercicios 1. Resuelve la ecuación por el método del aspa simple: x + 3x – 28 = 0 Solución: Factorizamos por el método del aspa simple: x + 3x – 28 = 0 x +7 +7x x -4 -4x +3x (x+7)(x-4)=0 x+7=0 → x=-7 x-4=0 → x=4 C.S. = {-7; 4} 2 2 2. Resuelve la ecuación por el método de la fórmula general: 2x + 5x – 3 = 0 Solución: Tenemos que: a=2; b=5; c=-3 Reemplazando en la fórmula general: 𝒙 = −𝟓 ± 𝟓 𝟐 − 𝟒(𝟐)(−𝟑) 𝟐(𝟐) 𝒙 = −𝟓 ± 𝟐𝟓 + 𝟐𝟒 𝟒 → 𝒙 = −𝟓 ± 𝟕 𝟒 𝒙 𝟏 = −𝟓+𝟕 𝟒 = 𝟏 𝟐 ; 𝒙 𝟐 = −𝟓−𝟕 𝟒 = −𝟑 2
  10. 10. 3. Si la siguiente ecuación tiene raíces iguales, calcula el valor de «m». x + 10x + (2m+1) = 0 Solución: Tenemos que: a=1; b=10; c=2m+1 Si tiene raíces iguales, se cumple que ∆ = 0. ∆ = 𝟏𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟐𝒎 + 𝟏 = 𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒 𝟐𝒎 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖𝐦 + 𝟒→ m = 12 Rpta.: el valor de «m» es 12. 2 4. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265. calcula el triple del número mayor. Solución: Sean los números consecutivos: x; x+1. Por datos del problema: x + (x+1) = 265 𝐱 𝟐 + 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏 = 𝟐𝟔𝟓 𝐱 𝟐 + 𝐱 − 𝟏𝟑𝟐 = 𝟎 𝒙 − 𝟏𝟏 𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎 → x = 11 (si) 𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 → x = -12 (no) Luego: 3(11+1) = 36 Rpta.: 36. 22
  11. 11. Ahora a resolver los ejercicios Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber

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