Mcm y mcd

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minimo comun multiplo y maximo comun divisor del colegio rey de reyes primero de secundaria

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Mcm y mcd

  1. 1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Prof. FIDEL GILBERTO MAIMA LAZO cel.: 973697116 email: fmaima@gmail.com pág. web: www.fmaima.orgfree.com
  2. 2. Divisores Comunes Se llama divisores comunes de dos o mas números naturales a todos aquellos que los dividen exactamente DIV(A;B)=DIV(A) ∩ DIV(B) Ejemplo Determinar los Divisores Comunes de 12 y 15 Div(12)= Div(15)= Div(12;15)=
  3. 3. El Máximo Común Divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de tales números. Máximo Común Divisor (MCD) Ejemplo Determinar el MCD de M.C.D. (12, 15) = Div(12)= Div(15)= M.C.D. (18, 24) = Div(18)= Div(24)=
  4. 4. Algoritmos para calcular el MCD 1. Método de descomposición canónica Se determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCD es el producto de los divisores comunes tomados con su menor exponente. Ejemplo: Calcula el MCD de 18; 27 y 45. Solución: Descomponemos canónicamente: 18 = 27 = 45 = Luego: MCD(18; 27; 45) = 2. Método práctico o abreviado Descomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, luego el MCD es el producto de los valores encontrados. Ejemplo: Calcula el MCD de 48; 64 y 112. Solución: Descomponemos en forma simultánea: Luego: MCD(24; 36; 48) =
  5. 5. Algoritmos para calcular el MCD 3. Método indirecto Dados tres o mas números, este método consiste en determinar el mcd de pares de números de manera sucesiva hasta evaluarlos todos. Ejemplo: Calcula el MCD de 375; 250; 285 y 225 Solución: Luego: MCD(375; 250; 285; 225 ) = 4. Método del algoritmo de Euclides También se le conoce con el nombre de divisiones sucesivas. Luego: MCD(A, B) = r3 Ejemplo: Calcula el MCD de 580 y 320. Solución: Luego: MCD(580; 320) = Cocientes q1 q2 q3 q4 A B r1 r2 r3 Residuos r1 r2 r3 0 Cocientes 580 320 Residuos
  6. 6. PROPIEDADES DEL MCD 1ra Propiedad El MCD de dos números naturales (no nulos) es un número que siempre existe, es único y como mínimo es uno Ejemplo: 5 y 13 Solución: Luego: MCD(5; 13 ) = 2 da Propiedad El MCD de dos números naturales es el elemento más grande de cualquiera de los conjuntos que conforman los divisores de cada número Ejemplo: 15 y 6 Solución: Luego: MCD(15; 6 ) =
  7. 7. PROPIEDADES DEL MCD 3ra Propiedad Los divisores comunes de A y B, menores que el MCD(A;B) son también divisores de éste Ejemplo: 45 y 75 Solución: Luego: MCD(45; 75 ) = 4ta Propiedad El MCD(A;B)= MCD(B;A) Ejemplo: Calcula el MCD de 15 y 6 Solución: Luego: MCD(15; 6 ) =
  8. 8. PROPIEDADES DEL MCD 5ta Propiedad ∀ 𝑨 ∈ 𝑵, 𝑨 ≠ 𝟎 se tiene que el MCD(A;0)=A Ejemplo: Dados los números 45 y 75 Solución: Luego: MCD(45; 75) = 6ta Propiedad Si A=kB entonces el MCD(A;B)=MCD(KB;B)=B Ejemplo: Dados los números 12 y 24 Solución: Luego: MCD(12; 24) =
  9. 9. PROPIEDADES DEL MCD 7ma Propiedad Sean A;B ∈ N no nulos a la vez y sea d ≠ 0 entonces I) Si A= 𝒅 y B= 𝒅 entonces el MCD(A;B)= 𝒅 II) Si A= 𝒅 y B= 𝒅 entonces d≤MCD(A;B) Ejemplo: Dados los números 24= 𝟒 y 36= 𝟒
  10. 10. Múltiplos Comunes Se llama múltiplos comunes de dos o mas números naturales a todos aquellos números no nulos que los contiene exactamente Mc(A;B)=M(A) ∩ M(B) Ejemplo Determinar los Múltiplos Comunes de 8 y 12 M(8)= M(12)= M(8;12)=
  11. 11. El Mínimo Común Múltiplo (mcm) de dos o más números, es el menor múltiplo común de dichos números. Mínimo Común Múltiplo (MCM) Ejemplo Determinar el mcm de m.c.m. (12, 18) = M(12)= M(18)= m.c.m. (24, 15) = M(15)= M(24)=
  12. 12. Algoritmos para calcular el MCM 1. Método de descomposición canónica Se determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCM es el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente. Ejemplo: Calcula el MCM de 18; 27 y 45. Solución: Descomponemos canónicamente: 18 = 27 = 45 = Luego: MCM(18; 27; 45) = 𝟐. 𝟑 𝟑 . 𝟓 = 270 2. Método práctico o abreviado Descomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, hasta llegar al cociente 1; luego el MCM es el producto de los valores encontrados. Ejemplo: Calcula el MCM de 12; 16 y 18. Solución: Descomponemos en forma simultánea: Luego: MCM(18; 27; 45) =
  13. 13. Algoritmos para calcular el MCM 3. Método indirecto Dados tres o mas números, este método consiste en determinar el mcm de pares de números de manera sucesiva hasta evaluarlos todos. Ejemplo: Calcula el MCM de 375; 250; 285 y 225 Solución: Luego: MCD(375; 250; 285; 225 ) = 641250
  14. 14. PROPIEDADES DEL MCM 1ra Propiedad El mcm de dos números naturales (no nulos) es múltiplo de cualquiera de ellos y estos son divisores de aquel Ejemplo: 8 y 12 Solución: Luego: MCM(8; 12 ) = 2da Propiedad Los múltiplos comunes de A y B son también múltiplos del mcm(A;B) Ejemplo: 8 y 12 Solución: Luego: MCM(8; 12 ) =
  15. 15. PROPIEDADES DEL MCM 3ra Propiedad si 𝑵 = 𝑨 𝒚 𝑵 = 𝑩 entonces se cumple que N es múltiplo del mcm(A;B) 𝑵 = 𝑨 𝒚 𝑵 = 𝑩 → 𝑵 = 𝒎𝒄𝒎(𝑨; 𝑩) Ejemplo: 120 Solución: 4ta Propiedad Si al dividir un mismo número N entre A, B, C se obtiene el mismo resto, se cumple que al dividir N entre el múltiplo del mcm(A,B,C) el resto es el mismo 𝑵 = 𝑨 ± 𝒓 𝒚 𝑵 = 𝑩 ± 𝒓 → 𝑵 = 𝒎𝒄𝒎(𝑨; 𝑩) ± 𝒓 Ejemplo: Si dividimos 123 entre 15 o entre 20 el resto es 3 Solución:
  16. 16. PROPIEDADES DEL MCM 5ta Propiedad El producto de dos números A y B es igual al producto de su MCD y su mcm Ejemplo: 120 Solución:
  17. 17. Ahora a resolver los ejercicios pág. 120 Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber

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