Cruz Ampuero, Gustavo. (2011). XIV Congreso Nacional de Educadores UPC, Lima, Perú.

1. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
1) Introducción
En la actualidad, los estudios sobre la enseñanza de la matemática nos presentan un
panorama en el que los sistemas educativos que consiguen mejores resultados en sus
estudiantes vienen trabajando el área de una manera muy distinta a la tradicional y que aún
persiste en nuestro país. Así, se tienen propuestas como las del NCTM1
(el enfoque centrado
en la resolución de problemas), la de la prueba PISA (enfoque fenomenológico de
Freudenthal), el EOS2
, de Godino, entre otros.
Estas propuestas tienen como denominador común el entendimiento de la educación
matemática de una manera más compleja, más allá de los contenidos involucrados. Así,
toman el concepto de proceso cognitivo (con diferentes nombres), consideran la
importancia de la relevancia de las situaciones propuestas a los estudiantes e incorporan
una diferente concepción de matemática a la tradicional.
En particular, toman a la matemática como una ciencia en permanente cambio y expansión.
Y, a la educación matemática como una propuesta para que los estudiantes desarrollen
procesos de pensamiento. Asimismo, en sus bases se identifica una manera de entender el
aprendizaje como un proceso en el que el estudiante (o el grupo de estudiantes) tiene un rol
activo (dejando de lado posiciones más bien neoconductistas).
La siguiente propuesta se formula desde lo que Skemp3
llama “matemática relacional” (una
matemática que privilegia los procesos de pensamiento para que el estudiante pueda
“apropiarse” de ellos y paulatinamente usarlos en las vastas y muy variadas situaciones que
le demanda el mundo actual. Y que se propone en contraposición de la concepción
“tradicional” de la matemática (matemática instrumental) que la considera un conjunto
ordenado de conocimientos (más que todo procedimientos) que el estudiante debe
“aprender” para emplearlos en las situaciones ad hoc que se le plantean en la clase.
2) La ODA
Los estudios realizados en el TIMSS (1996) presentan a las Oportunidades de Aprendizaje
(ODA) como un factor importante a considerar para conocer la calidad de un sistema
educativo (entendida ésta como la medida en la que la totalidad de estudiantes alcanzan las
metas de aprendizaje propuestas). La ODA, entonces, puede ser entendida como el conjunto
de situaciones de aprendizaje a las que ha tenido acceso el estudiante.
Para presentar el modelo, se apela a la definición de tres tipos de currículo:
1
National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)
2
Enfoque Ontoseniótico del conocimiento y la instrucción Matemática. Disponible en Internet en:
http://www.ugr.es/~jgodino/indice_eos.htm
3
Citado por Vilanova.
Cruz Ampuero, Gustavo. (2011).
XIV Congreso Nacional de Educadores UPC, Lima, Perú.

2. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática2
C. Intencional
C. Implementado
C. Aprendido
1) el currículo intencional: viene a ser el currículo que se
planifica, el propuesto.
2) el currículo implementado: es el currículo que se
desarrolla a lo largo del año escolar, con los
estudiantes.
3) el currículo aprendido: viene a ser el currículo que
muestra las capacidades y competencias que el estudiante ha desarrollado en el año
escolar.
Es importante, entonces entender la ODA en su actual sentido:
“Inicialmente, las ODAs se veían solamente relacionadas al contenido de las
pruebas al los cuales el estudiante había tenido la oportunidad de aprender. Como
tal buscaban establecer si el estudiante que respondía las preguntas de la prueba
incorrectamente había tenido la oportunidad de aprender el material en el aula, o
si su bajo rendimiento personal era resultado de su desconocimiento del contenido
por no haberlo visto en clase. Con el tiempo el concepto a evolucionado a incluir
aspectos socio-culturales percibidos como determinantes en el logro estudiantil
(Moss et al .2008)”4
En este sentido, en la ODA se reconocen factores considerados como importantes en
diversos estudios (Zambrano, Cueto, UMC). Estos factores son: la cobertura curricular y la
demanda cognitiva.
La cobertura curricular: “se refiere al grado en que los docentes desarrollan las
competencias, capacidades y contenidos de la estructura curricular.”5
La demanda cognitiva: “Nivel de complejidad que demanda una tarea a partir del tipo de
habilidad cognitiva que se exige al estudiante.”6
3) La demanda cognitiva
En el presente documento, se propone desarrollar el concepto de demanda cognitiva como
una oportunidad de aprendizaje, en el área de matemática. En este sentido, se entiende la
demanda cognitiva como la caracterización que se hace de las tareas7
que se proponen al
estudiante, según la complejidad de los procesos cognitivos involucrados en la resolución de
dicha tarea. Es decir, según los procesos intelectuales que debe emplear el alumno para
resolver una tarea.
4
Juarez & Associates. Definición de Estándares de Oportunidad de Aprendizaje para Guatemala. USAID, 2009.
5
UMC- MED Presentación de la Evaluación Nacional 2004. Disponible en Internet en:
http://www.minedu.gob.pe/institucional/xtras/PresentacionEN2004.pdf
6
Asmad, U. Cruz, G. Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil 2004. Informe pedagógico de resultados.
Formación matemática- Tercer grado de Secundaria- Quinto grado de Secundaria. Pág., 231
7
Entiéndase aquí por “tarea” a la actividad que se le propone al estudiante dentro del desarrollo del área
curricular de matemática (no se refiere en específico a las “tareas para la casa” o a las “tareas para el
cuaderno”, aunque quedan incluidas).

3. Gustavo Cruz Ampuero 3
3.1 Propuesta de Stein:
Se tiene que “La demanda cognitiva es definida por Stein, et al., (1996) como los tipos de
procesos cognitivos que están implicados en la solución de un problema matemático, tanto
en su primera fase de comprensión de la tarea, así como en su etapa de realización.”8
Es a
partir de esta definición que Stein propone la siguiente clasificación de las actividades en el
área de matemática9
:
Nivel de Baja Demanda Cognitiva
Tareas de memorización Procedimientos sin conexiones
Involucran tanto la reproducción
de datos, reglas, fórmulas o
definiciones previamente
aprendidas como la asignación de
datos, reglas, fórmulas o
definiciones de memoria.
No pueden ser resueltas utilizando
procedimientos, ya que el
procedimiento no existe o porque
el tiempo requerido para la
resolución es demasiado corto
como para usar un procedimiento.
No son ambiguas: p. ej., tareas
que incluyen una reproducción
exacta de material visto
previamente y que es reproducido
clara y directamente según el
enunciado.
No tienen conexiones con
conceptos o significados
subyacentes a los datos, reglas,
fórmulas o definiciones
aprendidos o evocados.
Son algoritmos. El uso de
procedimientos es igualmente
requerido por la tarea o su uso
está evidentemente basado en
aprendizajes previos, experiencias
o dado por la tarea.
Requieren una limitada demanda
cognitiva para ser completados
exitosamente. Existe una pequeña
ambigüedad acerca de lo que se
requiere hacer y sobre cómo
hacerlo.
No tienen conexión con conceptos
o significados subyacentes a los
procedimientos usados.
Se centran en obtener una
respuesta correcta más que en
desarrollar la comprensión de las
matemáticas.
Requieren explicaciones que se
enfocan únicamente en descubrir
el proceso usado.
8
Ponce, L. Preiss, D. Núñez, M. Demanda cognitiva en la clase de matemáticas chilena.
9
Cueto et al. Documento de Trabajo 43: Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matemática en una
muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima, 2003. Pág. 61.

4. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática4
Nivel de Alta Demanda Cognitiva
Procedimientos con conexiones Tareas “Haciendo matemáticas”
Enfocan la atención de los
estudiantes en el uso de
procedimientos destinados a
desarrollar niveles más profundos
de comprensión de conceptos e
ideas matemáticas.
Sugieren vías (explícitas o
implícitas) que constituyen una
extensión de procedimientos
generales con conexiones cercanas
a ideas conceptuales subyacentes,
en oposición a los limitados
algoritmos.
Usualmente se representan de
múltiples formas (por ejemplo:
diagramas visuales, manipulativos,
símbolos, situaciones
problemáticas). Hacer conexiones
a través de múltiples
representaciones ayuda a
desarrollar el significado.
Requieren cierto grado de
esfuerzo cognitivo. A pesar de que
se sigan procesos generales, no
pueden ser resueltos
descuidadamente. Los estudiantes
necesitan conectar las ideas
conceptuales que subyacen a los
procedimientos, a fin de completar
exitosamente la tarea y desarrollar
su compresión.
Requieren un pensamiento
complejo y no algorítmico (por
ejemplo, no existe una vía
predecible, una aproximación bien
realizada, una vía dada por la
tarea, la instrucción o un ejemplo
trabajado).
Llevan a los estudiantes a explorar
y entender la naturaleza de los
conceptos, procedimientos o
relaciones matemáticas.
Demandan que el individuo
monitoree y autoregule sus
procesos cognitivos.
Llevan a los estudiantes a acceder
a conocimientos y experiencias
relevantes, y a hacer un uso
adecuado de ellos a través de la
tarea.
Requieren que los estudiantes
analicen la tarea y examinen
activamente las demandas que ella
plantea a fin de que delimiten las
posibles estrategias de solución.
Demandan considerable esfuerzo
cognitivo y pueden involucrar
cierto nivel de ansiedad para el
estudiante, debido a la naturaleza
impredecible del proceso de
solución que se necesita.
A continuación, se presenta una breve explicación de la clasificación presentada10
:
- Las tareas de baja demanda cognitiva están constituidas tanto por la
memorización/evocación de datos, símbolos, terminología, como por la ejecución
10
Adaptado de: http://blog.pucp.edu.pe/item/15934 y de: http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf

5. Gustavo Cruz Ampuero 5
de los llamados procedimientos sin conexiones. Por lo común, son las tareas
rutinarias que se aprenden por repetición. Por ejemplo, el aprendizaje —mediante
la “ejercitación”— del algoritmo para calcular por escrito la suma de varios números
presentados uno bajo el otro (sin contexto) u otros procedimientos, generalmente
de cálculo. En todo este conjunto de tareas, la característica común es que para su
ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones matemáticas
involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso. Solo es necesario
“aprender el procedimiento” para ejecutarlas.
- Las tareas de alta demanda cognitiva son aquellas que implican, por parte del
estudiante, la comprensión de las situaciones propuestas, relacionarlas con
aprendizajes anteriores, representarlas de alguna otra manera, adaptar lo
aprendido, evaluar la pertinencia de aplicar algún procedimiento, elaborar un nuevo
producto (o forma de hacer algo), etc. Dentro de este tipo de tareas se incluyen: los
procedimientos con conexiones (con contexto), la resolución de problemas no
rutinarios, el establecimiento y verificación de conjeturas, la generalización, la
construcción de definiciones o propiedades y el “hacer matemática” (usar la
matemática en situaciones, según los propios fines del estudiante).
3.2 Propuesta de PISA
En el marco de trabajo de la prueba PISA11
, para el área de matemática, se presentan los
“grupos de competencia” entendiéndose este concepto del siguiente modo:
“Estos grupos reflejan el modo en que los estudiantes utilizan normalmente los
procesos matemáticos al resolver los problemas que surgen mientras se relacionan
con su mundo”12
.
“Para describir y transmitir de manera productiva las capacidades de los
estudiantes, así como sus puntos fuertes y sus puntos débiles desde una perspectiva
internacional, es necesaria cierta estructura. Un modo de ofrecerla de una manera
comprensible y manejable es describir grupos de competencias a partir de los tipos
de requisitos cognitivos necesarios para resolver diferentes problemas
matemáticos”13
.
“El proyecto OCDE/PISA ha elegido describir las acciones cognitivas que estas
competencias engloban de acuerdo a tres grupos de competencia: el grupo de
reproducción, el grupo de conexión y el grupo de reflexión”14
.
A partir del entendimiento de concepto, es posible afirmar que va en el mismo sentido de lo
que hemos definido como demanda cognitiva, a partir de dos elementos: los procesos
cognitivos involucrados (en los que la complejidad de los mismos, será la gradiente) y la
tarea presentada al estudiantes (en el caso de la Prueba PISA, se trata de cada problema).
11
OECD. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y
Solución de problemas.
12
Op. Cit. Pág. 34
13
Op. Cit. Pág. 42
14
Op. Cit. Pág. 42

6. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática6
Es por ello, que se presenta de la siguiente manera la descripción de los grupos de
competencia propuestos por PISA15
:
Grupo Reproducción (Tareas de Baja demanda Cognitiva)
Este grupo de competencia está referido tanto a la memorización como a la evocación de
información (datos, hechos, terminología). Asimismo, a la repetición de ejecuciones.
Están constituidas por actividades rutinarias, en las que el estudiante no debe hacer
ninguna adaptación al contenido involucrado. Lo componen procedimientos sin contexto
y sin conexiones, tal como fueron “enseñados”. Son aprendizajes que no implican la
posibilidad de ser adaptados o transferidos.
Ejemplos:
 Calcula: 5 +3 x 7
 Resuelve la ecuación 7x – 3 = 13x + 15
 Halla el promedio de: 7; 12; 8; 14; 15; 9.
 Escribe 69% como una fracción.
 Si se depositan S/. 1 000 en una cuenta de ahorros de un banco, a una tasa de interés del
4%. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de un año?
Grupo Conexiones (Tareas de Media demanda Cognitiva)
Referidas a situaciones en las que el estudiante debe hacer ligeras adaptaciones o
establecer alguna relación del contenido aprendido, con otros aprendizajes. Por lo
general estas situaciones se presentan en un contexto algo distinto al contexto en el que
se aprendió. Aplicar definiciones, clasificar, identificar elementos o características,
problemas rutinarios que demandan establecer ciertas relaciones entre el contenido
involucrado.
Ejemplos:
 María vive a dos kilómetros del centro educativo y Martín a cinco. ¿A qué distancia viven
uno del otro?
 Una pizzería sirve dos tipos de pizza del mismo grosor pero de distinto tamaño. La más
pequeña tiene un diámetro de 30 cm, y cuesta 30 soles. La más grande tiene un diámetro
de 40 cm, y cuesta 40 soles. ¿Cuál de las pizzas cuesta menos? ¿Por qué?
 En el salón 9 niños llevaron chompa y 11 trajeron su tarea. Si hay 14 en el salón, ¿es esto
posible? Explica.
15
La sección que sigue es una adaptación del documento citado. Págs. 43 - 48

7. Gustavo Cruz Ampuero 7
Grupo Reflexión (Tareas de Alta demanda Cognitiva)
Referidas a situaciones novedosas y/o complejas en las que se debe producir una
transformación o nuevas relaciones de lo aprendido. Por lo general, se presentan en un
contexto a partir del cual el estudiante debe seleccionar la información relevante y
trabajar estableciendo nuevas relaciones entre los conceptos o sus representaciones.
Resolver problemas novedosos y complejos, evaluar, proponer alternativas, producir un
nuevo objeto, sintetizar, definir, justificar.
Ejemplo
 En cierto país, el presupuesto nacional de defensa es de $30 millones para 1980. El
presupuesto total de ese año es de $500 millones. El siguiente año, el presupuesto de
defensa es de $35 millones, mientras que el presupuesto total es de $605 millones. La
inflación durante el periodo cubierto por los dos presupuestos asciende al 10 por ciento.
a) Ha sido invitado a dar una conferencia para una sociedad pacifista. Usted trata de
explicar que el presupuesto de defensa disminuyó durante este periodo. Explique
cómo haría esto.
b) Ha sido invitado a dar una conferencia para una academia militar. Usted trata de
explicar que el presupuesto de defensa aumentó durante este periodo. Explique
cómo haría esto.
Se presenta, a continuación a modo de resumen, el diagrama de la Representación sintética
de los grupos de competencia16
:
16
Op. Cit. Pág. 49
Competencia Matemática
Grupo Reproducción
- Representaciones y
definiciones estándar
- Cálculos rutinarios
- Procedimientos
rutinarios
- Solución de
problemas de rutina
Grupo Conexiones
- Construcción de
modelos
- Traducción,
Interpretación y
solución de
problemas
estándar
- Métodos
múltiples bien
definidos
Grupo Reflexión
- Formulación y solución de problemas
complejos
- Reflexión y comprensión en profundidad
- Aproximación matemática original
- Múltiples métodos complejos
- Generalización

8. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática8
4) Hallazgos y necesidad de inclusión de la demanda cognitiva en el bagaje profesional del
docente del área de matemática en el Perú
En los estudios ya mencionados, se han tenido hallazgos respecto de la demanda cognitiva
para el área de matemática en nuestro país. Por ejemplo, los estudios de Cueto (2003), de
carácter cuantitativo, llegan a los siguientes hallazgos empleando las categorías de Stein:
Porcentaje de ejercicios resueltos por los estudiantes en el cuaderno de trabajo y en los
cuadernos de clase, según el nivel de demanda cognitiva17
Cuadernos de
trabajo
Cuadernos de los
estudiantes
Ejercicios
Memorización 24% 23%
Procedimientos sin conexiones 62% 66%
Procedimientos con conexiones 8% 1%
“Haciendo matemática” 0% 0%
Problemas*
Procedimientos sin conexiones 5% 10%
Procedimientos con conexiones 0% 0%
“Haciendo matemática” 0% 0%
Total (786) 100% (715) 100%
*Debe tenerse presente que por definición, un problema no puede ser de memorización.
Si se agrupan los resultados del cuadro precedente según los dos niveles de demanda
cognitiva, entonces se tiene:
Cuadernos de
trabajo
Cuadernos de los
estudiantes
Baja
demanda
cognitiva
Memorización 24%
92%
23%
99%Procedimientos sin conexiones 67% 76%
Alta
demanda
cognitiva
Procedimientos con conexiones 8%
8%
1%
1%“Haciendo matemática” 0% 0%
Total (786) 100% (715) 100%
De estos cuadros, se puede concluir que es evidente que las tareas de baja demanda
cognitiva predominan en las escuelas estudiadas.
La situación, para el caso de estudios cualitativos (Cuglievan, 2006) no es muy diferente. Así,
los porcentajes encontrados en las 5 escuelas que se estudian, en este estudio, empleando
tres niveles de clasificación de las tareas, se pueden apreciar en el siguiente diagrama:
17
Adaptado del Cuadro 6. Pág. 33 Cueto, 2003.

9. 9
Demanda cognitiva de los ejercicios/problemas
Sin embargo, el carácter de este segundo estudio –cualitativo- nos permite conocer sobre las
razones que estarían llevando a los docentes a proponer a sus estudiantes, para el área de
matemática, este tipo de tareas que, finalmente no llega a correlacionar con el desarrollo de
las competencias propuestas en el DCN.
Así, se mencionan como posibles razones de la persistencia en el Perú de una matemática
“tradicional”:
- La concepción instrumental acerca de la matemática, que tienen los docentes y que
se evidencia a partir de la reiterada práctica de procedimientos que le proponen a
sus estudiantes.
- La aún incipiente comprensión de lo que actualmente se entiende por problema (la
persistencia de entender el problema como una situación de aplicación de un
procedimiento).
- La falta de cuestionamiento a su propia concepción de matemática que lo lleva a
reproducir las formas de aprender que el docente usó en su escolaridad, por sobre
las propuestas que se proponen actualmente (o que se le ha propuesto durante su
formación profesional).
- La concepción del aprendizaje como un proceso más bien repetitivo y pasivo, que
debe seguir el estudiante (por sobre la actividad intelectual y la reflexión).
Todas estas consideraciones, nos llevan a proponer la importancia (y urgencia) de la
inclusión de la demanda cognitiva como una categoría a tener en cuenta por los docente que
enseñan el área de matemática (en los tres niveles de EBR: inicial, primaria y secundaria), en
los procesos de planificación, implementación y evaluación del área de matemática, a fin de
mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la misma, para nuestros estudiantes.
Baja, 0.89%
Media,
0.11%
Alta, 0.00%
Baja
Media
Alta

10. La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática10
5) Referencias:
Asmad, U. Cruz, G. Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil 2004. Informe
pedagógico de resultados. Formación matemática- Tercer grado de Secundaria- Quinto
grado de Secundaria. MED 2005.
Cueto, S. et al. Las Oportunidades de Aprendizaje en lógico-matemática: un estudio para
cuarto grado de primaria. En http://redalyc.uaemex.mx/pdf/551/55160103.pdf
Cueto, S. et al. Documento de Trabajo 43: Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en
matemática en una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima, 2003.
Disponible en Internet: http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf
Cuglievan, G.et al. Comprendiendo la escuela desde su realidad cotidiana. Estudio Cualitativo
en 5 escuelas estatales de Lima. UMC- MED 2006
Juarez & Associates. Definición de Estándares de Oportunidad de Aprendizaje para
Guatemala. USAID, 2009. Disponible en Internet:
http://pdf.usaid.gov/pdf_docs/PNADR966.pdf
NCTM, 2000. Principios y Estándares para la Educación Matemática. SAEM THALES.
OECD 2004. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas,
Lectura, Ciencias y Solución de problemas. Disponible en Internet:
http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/58/25/39732603.pdf
Ponce, L. Preiss, D. Núñez, M. Demanda cognitiva en la clase de matemáticas chilena.
Disponible en Internet:
http://www.ciie2010.cl/docs/doc/sesiones/190_LPonce_Demanda_cognitiva_mat.pdf
Saz, M. Explorando Oportunidades de Aprendizaje en Matemáticas. Análisis de dos grupos de
alumnos de sexto grado del nivel primario. Dirección General de Evaluación e Investigación
Educativa, DIGEDUCA Ministerio de Educación de Guatemala, 2010. Disponible en Internet:
http://www.mineduc.edu.gt/recursoseducativos/Descarga/digeduca/papers/ficha_37.pdf
UMC- MED Presentación de la Evaluación Nacional 2004. Disponible en Internet en:
http://www.minedu.gob.pe/institucional/xtras/PresentacionEN2004.pdf
Vilanova, S. et al. 2001. Concepciones y creencias sobre la matemática. Una experiencia con
docentes de 3er. Ciclo de la Educación General Básica. Disponible en Internet en:
http://www.rieoei.org/experiencias9.htm
Zambrano, G. Boletín UMC Nº 22: Las Oportunidades de Aprendizaje en lógico-matemática:
un estudio para cuarto grado de primaria. Ministerio de Educación. 2002