Tema de estructura discretas I, referente a al calculo proposicional

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CABUDARE – ESTADO LARA
INFORME
CALCULO PROPOSICIONAL
Integrante:
Brito Gustavo C.I 16.402.784
Barquisimeto, Junio de 2012.

2. Una proposición, se le conoce como una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a
la vez, es la manera de llevar a una forma matemática expresiones o enunciados para determinar
su validez o no.
Ejemplo:
 p: estudio estructura discretas
 q: curso por el 8vo semestre.
 r: trabajo en el día
Estas son algunas de las maneras de representar enunciado y/u oraciones; existen lo conectivos
que no permiten unir dos o más proposiciones para así generar una proposición nueva de mayor
complejidad que dependiendo del enunciado y el conectivo arrojara un resultado.
~, ¬ Negación, no es cierto que…, clausula NOT (niega la proposición, 0=1; 1=0).
^ Conjunción, Y…, clausula AND (verdadero si ambas proposiciones son verdaderas;
p:1q:1=1).
˅ Disyunción Inclusiva, O…, clausula OR (verdadero si al menos una de las proposiciones
son verdaderas; p:1q:1=1; p:1q:0=1; p:0q:1=1).
ṿ Disyunción Exclusiva, O… O, clausula XOR (verdadero si y solo si una de las dos es
verdaderas; p:1q:0=1; p:0q:1=1).
Condicional, Entonces…, (la primera proposición debe ser verdadera para que se
cumpla la segunda proposición si la primera es falsa no importa el valor de veracidad o falsedad
que tenga la segunda proposición; el enunciado será verdadero, p:1q:1=1; p:0q:1=1; p:0q:0=1).
Bicondicional, Si y solo si…, (en este tipo de proposición se puede decir que son
verdaderas si y solo las proposiciones que conforman el enunciado tiene el mismo valor lógico,
ambas verdaderas y/o ambas falsas, p:1q:1=1; p:0q:0=1).
Dentro del cálculo proposicional se pueden evaluar n cantidad de proposiciones enlazadas
por diferentes conectivos lógicos (~, ^, ˅,ṿ, e.o) y obtener un grado de falsedad o veracidad de
toda la composición de la proposición, esto lo obtenemos a través de la tabla de verdad, está la
elaboramos de la siguiente manera:
 Colocamos base 2n, donde n= cantidad de por posiciones que forman el enunciado
y/u oración, el resultado obtenido serán las posibles combinaciones que se
pueden realizar de dicho enunciado y/u oración, existen orden de prioridades para
resolver los conectivos lógicos, siempre y cuando no estén agrupados por
paréntesis, corchetes y/o llaves:
o ~ negación
o ^,

3. o ˅, ṿ
o ,
La tautología se conoce como la veracidad de la proposición, es decir, el valor verdadero
del resultado la evaluación de todos los conectivos lógicos que la conforman.
Contradicción se conoce como la falsedad de la proposición, es decir, el valor falso del
resultado la evaluación de los conectivos lógicos que la conforman, si al menos existe un valor
falso (0) se dirá que es contradicción.
Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes Idempotencia
p p  p
p p  p
Leyes Asociativas
(P  q)  r  p  (q  r)
(P  q)  r  p  (q  r)
Leyes Conmutativas
Pqqp
Pqqp
Leyes Distributivas
P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
Leyes de Identidad
P  FP
P  FF
P  VV
P  VP
Leyes de Complementación
P   P  V (tercio excluido)
P   P  F (contradicción)
  P  P (doble negación)
 V  F,  F  V
Leyes De Morgan
(Pq)Pq
(Pq)Pq

4. Otras Equivalencias Notables
p q   p  q (Ley del condicional)
p q  (p q)  (q p) (Ley del bicondicional)
p  q  ( p   q )  ( q   p ) (Ley de disyunción exclusiva)
p q   q  p (Ley del contrarrecíproco)
pq(pq)
( (p  q )  r )  ( p  r )  (q  r ) (Ley de demostración por casos)
(p q)  (p   q F) (Ley de reducción al absurdo)
Donde debemos destacar que:
 p, representa una proposición.
 q, representa una proposición.
 F, Falso.
 V, verdadero.
 Además de ser equivalente, es decir se cumplen hacia ambos lados.
Reglas de Sustitución
 Sea P una tautología (veracidad) y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q
por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también una
tautología.
 Sea P una tautología (veracidad) y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos
Q por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición lógicamente
equivalente a P.
 Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene solamente los
conectivos lógicos ^, AND.
Reglas de Inferencia
Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos P Q si
P Q es una tautología.
Si P es falso, entonces la proposición P, Q es verdadera independientemente del valor de Q. Por
tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen verdadero a Q. De
manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de manera simultánea los valores de
verdad 1 y 0 respectivamente.
Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que
representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una
proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera.

5. El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de las
proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores de verdad de
una proposición para cada posible combinación de los valores de las proposiciones simples.
Razonamientos, es obtener una conclusión de una serie de proposiciones a las cuales se les
llamara premisas.
Circuito Lógico, es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En
cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para
dar un valor en su salida, 0 o 1, estos circuitos se construyen a partir de las compuertas lógicas
compuertas lógicas básicas OR, AND, NOT y compuertas lógicas derivadas NOR, NAND.