Estructuras Discretas

2. Proposición:
Una proposición es un enunciado cuyo contenido esta sujeto a ser
clasificado como “Verdadero” o “Falso”, pero no ambas cosas a las vez. Las
proposiciones se notaran con letras minúsculas: p, q, r, s, t, ya que las letras
mayúsculas las usaremos para denotar los conjuntos.
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al
valor 1 si la proposición es verdadera; y0 si es falsa.

3. Conectivos Lógicos:
Son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras
proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de
proposiciones dadas. Cuando una proposición no contiene conectivos
lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso
contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.
Los conectivos lógicos de una proposición son:
• Negación
• Conjunción
• Disyunción (inclusiva)
• Disyunción exclusiva
• Condicional
• Bicondicional.

4. Clases de Proposición:
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las
variables proposicionales p, q, r, s, t, etc., se les llaman formas proposicionales,
por ejemplo t→(q^~r)~ [(p↔s)^(r↔q)] son formas proposicionales y podemos
decir, para ser más preciso que las variables proposicionales también son formas
proposicionales.

5. Leyes del Algebra Proposicional:
1. Leyes Idempotentes
p v p ^ p
p v p ^ p
2. Leyes Asociativas
(P v q) v r ^ p v (q v r)
(P v q) v r ^ p v (q v r)
3. Leyes Conmutativas
P v q ^ q v p
P v q ^ q v p
4. Leyes Distributivas
P v ( q v r ) ^ ( p v q ) v (p v r)
P v ( q v r ) ^( p v q ) v (p v r)
5. Leyes de Identidad
P v F ^ P
P v F ^ F
P v V ^ V
P v V ^ P
6. Leyes de Complementación
P v ~ P ^ V (tercio excluido)
P v ~ P ^ F (contradicción)
~ ~ P ^ P (doble negación)
~ V ^ F, ~ F ^ V
7. Leyes De Morgan
~ ( P v q ) ^ ~ P v ~ q
~ ( P v q ) ^ ~ P v ~ q
8. Otras Equivalencias Notables
p q^ ~ p v q (Ley del condicional)
p q º (p q) v (q p) (Ley del
bicondicional)

6. Métodos de Demostración en Matemática e Ingeniería:
Ejemplo 1:
Si afirmo que los números impares son todos primos, una demostración de
esta falseada, o contraejemplo seria el numero 9, que es un impar no primo.
Ejemplo 2:
En el contexto de los números naturales, sean P: “n es par” y Q: “existen
numero natural m tal que n= 2m. “Entonces P↔Q es verdadera precisamente
cuando P y Q son ambas verdaderas o ambas son falsas.
Definición:
Dos proposiciones P y Q son equivalentes en sentido lógico (y se escribirá
P= Q) si tienen la misma tabla de la verdad, es decir si P↔Q es siempre
verdadera.

7. Construcción de una Red de Circuitos Lógicos de una Forma Proposicional:
(p V q) ↔ ~(p↔q) ↔ ~{(p→q) ^ (q→p)} ↔ ~(p→q) V ~(q→p) ↔
(p ^ ~q) V (q ^ ~p) ↔ (p V q) ^ (p V ~p) ^ (~q V q) ^ (~q V p) ↔
(p V q) ^ (~p V ~q)