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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Humberto Barrios
hbarriosus@gmail.com
13 de abril de 2012
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Contenido
1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución geométrica
Distribución hipergeométrica
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Contenido
1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución geométrica
Distribución hipergeométrica
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Definición (Distribución binomial)
Si la variable aleatoria X satisface los siguientes criterios:
1 El experimento aleatorio consiste en n pruebas o en ensayos.
2 Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es
independiente de las demás.
3 En cada uno de los ensayos o pruebas solo se obtiene uno de
dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
4 La probabilidad de un éxito es P(éxito) = p, y permanece
constante en cada prueba o ensayo. Mientras la probabilidad
de un fracaso es P(fracaso) = q = 1 − p.
5 Los valores que toma la variable aleatoria X =número de
éxitos en las n pruebas o ensayos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Se dice entonces que X tiene distribuida Binomial con función
de probabilidad dada por:
PX (X = x) =



n
x
px qn−x , donde x = 0, 1, 2, · · · n y q = 1 − p
0, en otro caso
Si una variable aleatoria X que tiene una distribución binomial con
parámetros n y p, notaremos X ∼ B[n, p].
PX (X = x) =?
¿Cuál es la probabilidad de que en n pruebas o ensayos se
obtengan exactamente x éxitos?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Teorema (Distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con una distribución binomial, es
decir, X ∼ B[n, p]. Entonces
1 La función de distribución acumulada,e.d., la probabilidad de
que a lo más ocurran x éxitos en los n ensayos es:
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (xi )
2 El valor esperado, número de éxitos esperados en los n
ensayos es:
µ = E(X) = np
3 La varianza y la desviación estándar son:
σ2
= V (X) = np(1 − p) y σ =
p
V (X) respectivamente
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Teorema (Distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con una distribución binomial, es
decir, X ∼ B[n, p]. Entonces
1 La función de distribución acumulada,e.d., la probabilidad de
que a lo más ocurran x éxitos en los n ensayos es:
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (xi )
2 El valor esperado, número de éxitos esperados en los n
ensayos es:
µ = E(X) = np
3 La varianza y la desviación estándar son:
σ2
= V (X) = np(1 − p) y σ =
p
V (X) respectivamente
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Teorema (Distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con una distribución binomial, es
decir, X ∼ B[n, p]. Entonces
1 La función de distribución acumulada,e.d., la probabilidad de
que a lo más ocurran x éxitos en los n ensayos es:
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (xi )
2 El valor esperado, número de éxitos esperados en los n
ensayos es:
µ = E(X) = np
3 La varianza y la desviación estándar son:
σ2
= V (X) = np(1 − p) y σ =
p
V (X) respectivamente
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Teorema (Distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con una distribución binomial, es
decir, X ∼ B[n, p]. Entonces
1 La función de distribución acumulada,e.d., la probabilidad de
que a lo más ocurran x éxitos en los n ensayos es:
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (xi )
2 El valor esperado, número de éxitos esperados en los n
ensayos es:
µ = E(X) = np
3 La varianza y la desviación estándar son:
σ2
= V (X) = np(1 − p) y σ =
p
V (X) respectivamente
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
Una determinada concentración de una sustancia presente en agua
contaminada, mata al 52 % de los peces que se exponen a ella
durante 24 horas. Se colocan 10 peces en un tanque con una
concentración de la sustancia.
1 Determinar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada de la variable aleatoria X número de
peces que sobreviven en 24 horas
2 Calcular la probabilidad de que sobrevivan exactamente 7
peces
3 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6
peces
4 Calcular la probabilidad de que sobrevivan no más de 8
5 Calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y
no más de 8
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución Binomial)
1 Calcular el número de peces que se esperan sobreviva en 24
horas
2 Calcular la varianza y la desviación estándar de que sobrevivan.
Solución
1 Dado que la probabilidad de éxito es p = 0.48, entonces la
función de probabilidad y función de distribución acumulada
son:
PX (X = x) =
10
x
0.48x
0.5210−x
, donde x = 0, 1, 2, · · · 10
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (X = x), respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución Binomial)
1 Calcular el número de peces que se esperan sobreviva en 24
horas
2 Calcular la varianza y la desviación estándar de que sobrevivan.
Solución
1 Dado que la probabilidad de éxito es p = 0.48, entonces la
función de probabilidad y función de distribución acumulada
son:
PX (X = x) =
10
x
0.48x
0.5210−x
, donde x = 0, 1, 2, · · · 10
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (X = x), respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución Binomial)
1 Calcular el número de peces que se esperan sobreviva en 24
horas
2 Calcular la varianza y la desviación estándar de que sobrevivan.
Solución
1 Dado que la probabilidad de éxito es p = 0.48, entonces la
función de probabilidad y función de distribución acumulada
son:
PX (X = x) =
10
x
0.48x
0.5210−x
, donde x = 0, 1, 2, · · · 10
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (X = x), respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución Binomial)
1 Calcular el número de peces que se esperan sobreviva en 24
horas
2 Calcular la varianza y la desviación estándar de que sobrevivan.
Solución
1 Dado que la probabilidad de éxito es p = 0.48, entonces la
función de probabilidad y función de distribución acumulada
son:
PX (X = x) =
10
x
0.48x
0.5210−x
, donde x = 0, 1, 2, · · · 10
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
PX (X = x), respectivamente.
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Distribución Binomial
Otra manera de presentar la función de probabilidad y función de
distribución acumulada, es a través de una tabla
X = xi PX (X = xi ) F(xi )
0 0.0014 0.1074
1 0.0133 0.3758
2 0.0554 0.6778
3 0.1364 0.8791
4 0.2204 0.9672
5 0.2441 0.9936
6 0.1878 0.9991
7 0.0991 0.9999
8 0.0343 1.0000
9 0.0070 1.0000
10 0.0006 1.0000
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Para calcular las funciones de probabilidad y de distribución
acumulada en EXCEL se escribe
P(X = xi ) = DISTR.BINOM(A2; 10; 0, 48; FALSO) y
F(xi ) = DISTR.BINOM(A2; 20; 0, 48; VERDADERO)
respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Para responder las siguientes preguntas, observamos una de las
tablas anteriores
1 La probabilidad de que sobrevivan exactamente 7 peces es
igual a P(X = 7) = 0.0991.
2 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6 peces es
igual
P(X ≥ 6) = 1−P(X ≤ 5) = 1−F(5) = 1−0.9936 = 0.0064.
3 La probabilidad de que sobrevivan no más de 8 es igual
F(8) = 1.
4 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y no más de
8 es igual
P(5 ≤ X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 1 − 0.9672 = 0.0328
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Para responder las siguientes preguntas, observamos una de las
tablas anteriores
1 La probabilidad de que sobrevivan exactamente 7 peces es
igual a P(X = 7) = 0.0991.
2 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6 peces es
igual
P(X ≥ 6) = 1−P(X ≤ 5) = 1−F(5) = 1−0.9936 = 0.0064.
3 La probabilidad de que sobrevivan no más de 8 es igual
F(8) = 1.
4 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y no más de
8 es igual
P(5 ≤ X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 1 − 0.9672 = 0.0328
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Para responder las siguientes preguntas, observamos una de las
tablas anteriores
1 La probabilidad de que sobrevivan exactamente 7 peces es
igual a P(X = 7) = 0.0991.
2 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6 peces es
igual
P(X ≥ 6) = 1−P(X ≤ 5) = 1−F(5) = 1−0.9936 = 0.0064.
3 La probabilidad de que sobrevivan no más de 8 es igual
F(8) = 1.
4 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y no más de
8 es igual
P(5 ≤ X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 1 − 0.9672 = 0.0328
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Para responder las siguientes preguntas, observamos una de las
tablas anteriores
1 La probabilidad de que sobrevivan exactamente 7 peces es
igual a P(X = 7) = 0.0991.
2 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 6 peces es
igual
P(X ≥ 6) = 1−P(X ≤ 5) = 1−F(5) = 1−0.9936 = 0.0064.
3 La probabilidad de que sobrevivan no más de 8 es igual
F(8) = 1.
4 La probabilidad de que sobrevivan por lo menos 5 y no más de
8 es igual
P(5 ≤ X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 1 − 0.9672 = 0.0328
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Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
1 El número de peces que se esperan sobreviva en 24 horas es
igual E(X) = np = 10(0.48) = 4.8
2 La varianza y la desviación estándar de que sobrevivan son
respectivamente σ2 = V (X) = npq = 10(0.48)(0.52) = 2.496
y σ =
p
V (X) = 1.58.
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Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
1 El número de peces que se esperan sobreviva en 24 horas es
igual E(X) = np = 10(0.48) = 4.8
2 La varianza y la desviación estándar de que sobrevivan son
respectivamente σ2 = V (X) = npq = 10(0.48)(0.52) = 2.496
y σ =
p
V (X) = 1.58.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución Binomial
Ejemplo (Distribución binomial)
1 El número de peces que se esperan sobreviva en 24 horas es
igual E(X) = np = 10(0.48) = 4.8
2 La varianza y la desviación estándar de que sobrevivan son
respectivamente σ2 = V (X) = npq = 10(0.48)(0.52) = 2.496
y σ =
p
V (X) = 1.58.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Definición (Distribución de Poisson)
Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos
independientes sobre el tiempo, el espacio o volumen. Se dice
entonces que tiene distribución Poisson con función de
probabilidad dada por:
PX (X = x) =
(
λx e−λ
x! donde x = 0, 1, 2, · · ·
0, en otro caso
Donde λ es el número promedio de resultados posibles por unidad
de tiempo, espacio o volumen. Además λ es proporcional a la
dimensión del tiempo, espacio o volumen y e = 2.71828 . . ..
Si una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ, notaremos X ∼ P[λ].
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Teorema (Distribución de Poisson)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria sea menor o igual a
un valor determinado x, se especifica por la función de
distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
λx e−λ
i!
2 µ = E(X) = λ valor esperado
3 σ2 = V (X) = λ varianza
4 σ =
√
λ desviación estándar
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Teorema (Distribución de Poisson)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria sea menor o igual a
un valor determinado x, se especifica por la función de
distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
λx e−λ
i!
2 µ = E(X) = λ valor esperado
3 σ2 = V (X) = λ varianza
4 σ =
√
λ desviación estándar
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Teorema (Distribución de Poisson)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria sea menor o igual a
un valor determinado x, se especifica por la función de
distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
λx e−λ
i!
2 µ = E(X) = λ valor esperado
3 σ2 = V (X) = λ varianza
4 σ =
√
λ desviación estándar
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Distribución de Poisson
Teorema (Distribución de Poisson)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria sea menor o igual a
un valor determinado x, se especifica por la función de
distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
λx e−λ
i!
2 µ = E(X) = λ valor esperado
3 σ2 = V (X) = λ varianza
4 σ =
√
λ desviación estándar
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Distribución de Poisson
Teorema (Distribución de Poisson)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución Poisson con
parámetro λ. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria sea menor o igual a
un valor determinado x, se especifica por la función de
distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
λx e−λ
i!
2 µ = E(X) = λ valor esperado
3 σ2 = V (X) = λ varianza
4 σ =
√
λ desviación estándar
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Ejemplo (Distribución de Poisson)
La llegada de estudiantes a un estante de libros de estadı́sticas, en
la biblioteca de la UPC, tiene un promedio de 8 estudiantes por
hora y las llegada de los estudiantes son independientes de los
demás. Hallar:
1 la función de probabilidad P(X = xi ) y la función de
distribución acumulada.
Para una hora determinada, calcular las siguientes
probabilidades de que
2 lleguen exactamente 4 estudiantes
3 lleguen no más de 3 estudiantes
4 lleguen por lo menos 2 estudiantes
5 lleguen por lo menos 3 estudiantes pero no más de 6
6 ¿Cuántos estudiantes esperamos lleguen en dos horas?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Solución.
La función de probabilidad para este caso, donde el parámetro
λ = 8 es:
PX (X = x) =
λx e−8
x!
, donde x = 0, 1, 2, · · ·
Por lo tanto, en la tabla siguiente se representa la función de
probabilidad y función de distribución acumulada para los primero
7 valores
X = x PX (X = x) F(x)
0 0.0003 0.0003
1 0.0027 0.0030
2 0.0107 0.0138
3 0.0286 0.0424
4 0.0573 0.0996
5 0.0916 0.1912
6 0.1221 0.3134
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Observando la tabla anterior, entonces
1 La probabilidad que lleguen exactamente 4 estudiantes
PX (X = 4) = 0.0573
2 La probabilidad que lleguen no más de 3 estudiantes
F(3) = PX (X ≤ 3) = 0.0424
3 lleguen por lo menos 2 estudiantes
PX (X ≥ 2) = 1 − PX (X ≤ 1) = 1 − 0.0030 = 0.9970
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Observando la tabla anterior, entonces
1 La probabilidad que lleguen exactamente 4 estudiantes
PX (X = 4) = 0.0573
2 La probabilidad que lleguen no más de 3 estudiantes
F(3) = PX (X ≤ 3) = 0.0424
3 lleguen por lo menos 2 estudiantes
PX (X ≥ 2) = 1 − PX (X ≤ 1) = 1 − 0.0030 = 0.9970
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Observando la tabla anterior, entonces
1 La probabilidad que lleguen exactamente 4 estudiantes
PX (X = 4) = 0.0573
2 La probabilidad que lleguen no más de 3 estudiantes
F(3) = PX (X ≤ 3) = 0.0424
3 lleguen por lo menos 2 estudiantes
PX (X ≥ 2) = 1 − PX (X ≤ 1) = 1 − 0.0030 = 0.9970
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
La probabilidad que lleguen por lo menos 3 estudiantes pero
no más de 6
PX (3 ≤ X ≤ 6) = F(6) − F(2) = 0.3134 − 0.0138 = 0.2996
Como en una hora llegan esperamos lleguen 8 estudiantes en
dos horas llegaran el dobles, es decir, λ = 16.
NOTA: Para calcular la función de probabilidad y la función de
distribución acumulada de un variable aleatoria de POISSON, en
una hoja de EXCEL se escribe:
P(X = xi ) = POISSON(xi ; λ; FALSO)
F(xi ) = POISSON(xi ; λ; VERDADERO)
respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
La probabilidad que lleguen por lo menos 3 estudiantes pero
no más de 6
PX (3 ≤ X ≤ 6) = F(6) − F(2) = 0.3134 − 0.0138 = 0.2996
Como en una hora llegan esperamos lleguen 8 estudiantes en
dos horas llegaran el dobles, es decir, λ = 16.
NOTA: Para calcular la función de probabilidad y la función de
distribución acumulada de un variable aleatoria de POISSON, en
una hoja de EXCEL se escribe:
P(X = xi ) = POISSON(xi ; λ; FALSO)
F(xi ) = POISSON(xi ; λ; VERDADERO)
respectivamente.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución de Poisson
Las funciones de probabilidad y de distribución acumulada en
EXCEL
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Definición (Distribución geométrica)
Sea X una variable aleatoria que representa el número de pruebas
necesarias hasta obtener el primer éxito, donde cada prueba es
independiente y la probabilidad de un éxito es p y de un fracaso es
1 − p, cada vez que el experimento se lleva acabo. Se dice
entonces que X tiene distribución Geométrica con función de
probabilidad dada por:
PX (X = x) =
(
pqx−1, donde x = 1, 2, 3, · · · y q = 1 − p
0, en otro caso
Si una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p, notaremos X ∼ G[p].
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55. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Teorema (Distribución geométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria X sea menor o
igual a un valor determinado x0, se especifica por la función
de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
pqi−1
2 µ = E(X) = 1
p valor esperado
3 σ2 = V (X) = 1−p
p2 varianza
4 σ =
q
1−p
p2 desviación estándar
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56. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Teorema (Distribución geométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria X sea menor o
igual a un valor determinado x0, se especifica por la función
de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
pqi−1
2 µ = E(X) = 1
p valor esperado
3 σ2 = V (X) = 1−p
p2 varianza
4 σ =
q
1−p
p2 desviación estándar
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Teorema (Distribución geométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria X sea menor o
igual a un valor determinado x0, se especifica por la función
de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
pqi−1
2 µ = E(X) = 1
p valor esperado
3 σ2 = V (X) = 1−p
p2 varianza
4 σ =
q
1−p
p2 desviación estándar
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58. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Teorema (Distribución geométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria X sea menor o
igual a un valor determinado x0, se especifica por la función
de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
pqi−1
2 µ = E(X) = 1
p valor esperado
3 σ2 = V (X) = 1−p
p2 varianza
4 σ =
q
1−p
p2 desviación estándar
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59. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Teorema (Distribución geométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetro p. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria X sea menor o
igual a un valor determinado x0, se especifica por la función
de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=1
pqi−1
2 µ = E(X) = 1
p valor esperado
3 σ2 = V (X) = 1−p
p2 varianza
4 σ =
q
1−p
p2 desviación estándar
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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65. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Ejemplo (Distribución geométrica)
La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen
escrito para obtener una licencia para piloto privado es 0.7. Si X es
la variable aleatoria número de intento hasta aprobar el examen.
1 Hallar la función de probabilidad y función de distribución
acumulada
2 Calcular la probabilidad de aprobar el examen en el tercer
intento
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto
intento
4 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento.
5 Cuántos intentos esperamos que un estudiantes realice para
que apruebe el examen escrito para obtener una licencia de
piloto privado?
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Solución.
Dado que la probabilidad de éxito es p = 0.7, entonces la función
de probabilidad de X es:
PX (X = x) = (0.7)(0.3)x−1
, donde x = 1, 2, 3, · · · y q = 1 − p
o en forma de tabla es:
X = x PX (X = x) F(x)
1 0.7000 0.7000
2 0.2100 0.9100
3 0.0630 0.9730
4 0.0189 0.9919
5 0.0057 0.9976
6 0.0017 0.9993
7 0.0005 0.9998
8 0.0002 0.9999
9 0.0000 1.0000
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Observando la tabla anterior se responden las preguntas
1 La probabilidad de aprobar el examen en el tercer intento es:
PX (X = 3) = 0.0630
2 La probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto intento
es: PX (X 4) = PX (X ≤ 3) = F(3) = 0.9730.
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento es:
PX (X 2) = 1 − F(1) = 1 − 0.91 = 0.09.
4 Los intentos que esperamos realice un estudiantes para que
apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto
privado es:
E(X) =
1
p
=
1
0.7
= 1.4286.
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68. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Observando la tabla anterior se responden las preguntas
1 La probabilidad de aprobar el examen en el tercer intento es:
PX (X = 3) = 0.0630
2 La probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto intento
es: PX (X 4) = PX (X ≤ 3) = F(3) = 0.9730.
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento es:
PX (X 2) = 1 − F(1) = 1 − 0.91 = 0.09.
4 Los intentos que esperamos realice un estudiantes para que
apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto
privado es:
E(X) =
1
p
=
1
0.7
= 1.4286.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Observando la tabla anterior se responden las preguntas
1 La probabilidad de aprobar el examen en el tercer intento es:
PX (X = 3) = 0.0630
2 La probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto intento
es: PX (X 4) = PX (X ≤ 3) = F(3) = 0.9730.
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento es:
PX (X 2) = 1 − F(1) = 1 − 0.91 = 0.09.
4 Los intentos que esperamos realice un estudiantes para que
apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto
privado es:
E(X) =
1
p
=
1
0.7
= 1.4286.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Observando la tabla anterior se responden las preguntas
1 La probabilidad de aprobar el examen en el tercer intento es:
PX (X = 3) = 0.0630
2 La probabilidad de aprobar el examen antes del cuarto intento
es: PX (X 4) = PX (X ≤ 3) = F(3) = 0.9730.
3 Calcular la probabilidad de aprobar el examen después del
segundo intento es:
PX (X 2) = 1 − F(1) = 1 − 0.91 = 0.09.
4 Los intentos que esperamos realice un estudiantes para que
apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto
privado es:
E(X) =
1
p
=
1
0.7
= 1.4286.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución geométrica
Las funciones de probabilidad y de distribución acumulada en
EXCEL
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72. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Definición (Distribución hipergeométrica)
Sea N el número total de objetos en una población finita, de
manera tal que R de éstos son de tipo A y N − R - de tipo B. Si
se selecciona una muestra aleatoria simple sin reemplazo n objetos
de la población. La probabilidad que exactamente X sean de tipo
A, está dado por la función de probabilidad Hipergeométrica.
PX (X = x) =



(R
x )(N−R
n−x )
(N
n)
, si x = 0, 1, 2, · · · , n.
0, en otro caso
y donde x ≤ R yn − x ≤ N − R. Los parámetros de la distribución
Hipergeométrica son N, n y R.
Si una variable aleatoria X que tiene una distribución geométrica
con parámetros N, R y n, notaremos X ∼ H[N, R, n].
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73. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Teorema (Distribución hipergeométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución
Hipergeométrica con parámetros N, n y R. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria Hipergeométrica X
sea menor o igual a un valor determinado x ,se especifica por
la función de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
R
i
N−R
n−i
N
n
2 µ = E(X) = nR
N valor esperado
3 σ2 = V (X) = nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) varianza
4 σ =
q
nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) desviación estándar.
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74. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Teorema (Distribución hipergeométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución
Hipergeométrica con parámetros N, n y R. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria Hipergeométrica X
sea menor o igual a un valor determinado x ,se especifica por
la función de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
R
i
N−R
n−i
N
n
2 µ = E(X) = nR
N valor esperado
3 σ2 = V (X) = nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) varianza
4 σ =
q
nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) desviación estándar.
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75. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Teorema (Distribución hipergeométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución
Hipergeométrica con parámetros N, n y R. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria Hipergeométrica X
sea menor o igual a un valor determinado x ,se especifica por
la función de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
R
i
N−R
n−i
N
n
2 µ = E(X) = nR
N valor esperado
3 σ2 = V (X) = nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) varianza
4 σ =
q
nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) desviación estándar.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Teorema (Distribución hipergeométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución
Hipergeométrica con parámetros N, n y R. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria Hipergeométrica X
sea menor o igual a un valor determinado x ,se especifica por
la función de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
R
i
N−R
n−i
N
n
2 µ = E(X) = nR
N valor esperado
3 σ2 = V (X) = nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) varianza
4 σ =
q
nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) desviación estándar.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Teorema (Distribución hipergeométrica)
Sea una variable aleatoria X que tiene una distribución
Hipergeométrica con parámetros N, n y R. Entonces
1 La probabilidad que una variable aleatoria Hipergeométrica X
sea menor o igual a un valor determinado x ,se especifica por
la función de distribución acumulada,
F(x) = PX (X ≤ x) =
x
X
i=0
R
i
N−R
n−i
N
n
2 µ = E(X) = nR
N valor esperado
3 σ2 = V (X) = nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) varianza
4 σ =
q
nR
N (1 − R
N )(N−n
N−1 ) desviación estándar.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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79. university-logo
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Ejemplo (Distribución hipergeométrica)
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta región del
paı́s, a una convención polı́tica nacional, de los cuales 20 apoyan al
candidato A y 30 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente
10 representantes. Cuál es la probabilidad que entre estos 10:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Solución
Sea X una variable aleatoria que representa el número de
representantes que apoyen al candidato A; con parámetros N = 50,
n = 10 y R = 20. Entonces la función de probabilidad para la
variable aleatoria X es
PX (X = x) =
R
x
N−R
n−x
N
n
, si x = 0, 1, 2, · · · , 10.
Por lo tanto en la siguiente tabla se muestra la función de
probabilidad y distribución acumulada para valores de la variable
aleatoria X
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
X = x PX (X = x) F(x)
0 0.0029 0.0029
1 0.0279 0.0308
2 0.1083 0.1390
3 0.2259 0.3650
4 0.2801 0.6450
5 0.2151 0.8601
6 0.1034 0.9635
7 0.0306 0.9942
8 0.0053 0.9995
9 0.0005 1.0000
10 0.0000 1.0000
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las respuestas para las preguntas:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A:
PX (X = 5) = 0.2151
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A:
PX (X ≥ 4) = 1 − F(3) = 1 − 0.3650 = 0.635
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A:
PX (2 ≤ X ≤ 5) = (0.1083 + 0.2259 + 0.2801 + 0.2151)
= F(5) − F(1) = 0.860 − 0.031 = 0.829
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A:
E(X) = 10(20/50) = 4
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A:
V (X) = 10
20
50
1 −
20
50
50 − 10
50 − 1
= 1.6271.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las respuestas para las preguntas:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A:
PX (X = 5) = 0.2151
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A:
PX (X ≥ 4) = 1 − F(3) = 1 − 0.3650 = 0.635
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A:
PX (2 ≤ X ≤ 5) = (0.1083 + 0.2259 + 0.2801 + 0.2151)
= F(5) − F(1) = 0.860 − 0.031 = 0.829
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A:
E(X) = 10(20/50) = 4
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A:
V (X) = 10
20
50
1 −
20
50
50 − 10
50 − 1
= 1.6271.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las respuestas para las preguntas:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A:
PX (X = 5) = 0.2151
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A:
PX (X ≥ 4) = 1 − F(3) = 1 − 0.3650 = 0.635
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A:
PX (2 ≤ X ≤ 5) = (0.1083 + 0.2259 + 0.2801 + 0.2151)
= F(5) − F(1) = 0.860 − 0.031 = 0.829
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A:
E(X) = 10(20/50) = 4
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A:
V (X) = 10
20
50
1 −
20
50
50 − 10
50 − 1
= 1.6271.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las respuestas para las preguntas:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A:
PX (X = 5) = 0.2151
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A:
PX (X ≥ 4) = 1 − F(3) = 1 − 0.3650 = 0.635
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A:
PX (2 ≤ X ≤ 5) = (0.1083 + 0.2259 + 0.2801 + 0.2151)
= F(5) − F(1) = 0.860 − 0.031 = 0.829
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A:
E(X) = 10(20/50) = 4
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A:
V (X) = 10
20
50
1 −
20
50
50 − 10
50 − 1
= 1.6271.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las respuestas para las preguntas:
1 Exactamente 5 apoyen al candidato A:
PX (X = 5) = 0.2151
2 Por lo menos 4 apoyen al candidato A:
PX (X ≥ 4) = 1 − F(3) = 1 − 0.3650 = 0.635
3 Entre dos y cinco inclusive apoyen al candidato A:
PX (2 ≤ X ≤ 5) = (0.1083 + 0.2259 + 0.2801 + 0.2151)
= F(5) − F(1) = 0.860 − 0.031 = 0.829
4 Cuantos representantes esperamos apoyen al candidato A:
E(X) = 10(20/50) = 4
5 Con que variabilidad se espera que los representantes apoyen
al candidato A:
V (X) = 10
20
50
1 −
20
50
50 − 10
50 − 1
= 1.6271.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
Las funciones de probabilidad y de distribución acumulada en
EXCEL
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distribución hipergeométrica
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