Este documento describe diferentes tipos de movimiento según la aceleración. Explica el movimiento con aceleración variable y constante, incluyendo cuando la aceleración es cero o diferente de cero. También cubre movimientos verticales como caída libre y lanzamientos verticales, así como el movimiento de proyectiles.

1. Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

2. CINEMÁTICA
MOVIMIENTOS SEGÚN LA
ACELERACIÓN
LA ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA PUEDE SER VARIABLE
O CONSTANTE; EN ESTE ÚLTIMO CASO, PUEDE TENER UN
VALOR IGUAL A CERO O DIFERENTE DE CERO
ESTA CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS, NOS PERMITE
ESTUDIAR UNA GRAN CANTIDAD DE SITUACIONES
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE
EN ESTE CASO, ES NECESARIO EL EMPLEO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL, PARTIENDO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
dr dv d 2r dv
v= ; a= ; a= 2; a = v⋅
dt dt dt dr
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

3. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE
LA IDEA GIRA EN TORNO A LA POSIBILIDAD DE OBTENER LAS
MAGNITUDES FÍSICAS INVOLUCRADAS EN CINEMÁTICA, UNAS A PARTIR
DE LAS OTRAS, UTILIZANDO DERIVADAS E INTEGRALES. POR EJEMPLO:
 SI CONOCEMOS LA POSICIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL
TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO
UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN
dr
v=
dt
 SI CONOCEMOS LA ACELERACIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL
TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO UNA
FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN
dv
a=
dt
EN ESTE CASO TENDRÍAMOS QUE INTEGRAR
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

4. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE
v t
dv = a ⋅ dt ⇒ ∫ dv = ∫ a ⋅ dt
v0 t0
DONDE v0 Y t0 SON CONDICIONES INICIALES
DADAS EN EL EJERCICIO
DE LAS EXPRESIONES QUE TENEMOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:
EN ESTE SENTIDO SE DERIVA
  
r (t ) v (t ) a (t )
EN ESTE SENTIDO SE INTEGRA
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5. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE E IGUAL A CERO
SI LA ACELERACIÓN SIEMPRE ES CERO, IMPLICA
QUE LA VELOCIDAD NO CAMBIA, ES CONSTANTE

d [ v (t )]
¿CUÁNDO EL RESULTADO DE UNA DERIVADA ES CERO?

a (t ) = EN ESTE CASO, CUANDO LO QUE SE DERIVA (LA
dt VELOCIDAD) ES CONSTANTE CON RESPECTO AL TIEMPO
SI LA VELOCIDAD NO CAMBIA, INDICA QUE EN TODO
INSTANTE DE TIEMPO ES IGUAL; ES DECIR, IGUAL
MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO
EN EL CASO DE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, LA SITUACIÓN SE
CONOCE COMO MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU)

AQUÍ, LA VELOCIDAD MEDIA ES IGUAL A LA   ∆r (t )
VELOCIDAD INSTANTÁNEA, ENTONCES: vm (t ) = v (t ) =
∆t
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6. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
EN ESTA SITUACIÓN, LA ACELERACIÓN SIEMPRE TENDRÁ IGUAL
MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO, YA QUE ES CONSTANTE
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES A UTILIZAR:
dv v t (LA ACELERACIÓN ES
1) a=
dt
⇒ dv = a ⋅ dt ⇒ ∫ dv = a ∫ dt
v0 t0
CONSTANTE, PUEDE
SALIR DE LA INTEGRAL)
INTEGRANDO:
⇒ v − v0 = a ⋅ ( t − t0 ) ⇒ v = v0 + a ⋅ ( t − t0 )
v t
v v = a ⋅t t
0 0
VECTORIALMENTE:
     
v = v0 + a ⋅ ( t − t0 ) ; SI t0 = 0: v = v0 + a ⋅ t
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7. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
dr
2) v= ⇒ dr = v ⋅ dt ⇒ dr = ( v0 + a ⋅ t ) ⋅ dt
dt
∫ dr = ∫ ( v + a ⋅ t ) dt
r t
⇒ 0
r0 t0
INTEGRANDO:
t
 1  1
r − r0 = v0 ⋅ ( t − t0 ) + a ⋅ ( t − t0 )
r 2
r r =  v0 ⋅ t + a ⋅ t 2  ⇒
0
 2  t0 2
1 1
r = r0 + v0 ⋅ ( t − t0 ) + a ⋅ ( t − t0 ) ∆r = v0 ⋅ ( t − t0 ) + a ⋅ ( t − t0 )
2 2
O
2 2
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8. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
2) VECTORIALMENTE:
  
r = r0 + v0 ⋅ ( t − t0 ) + 1 a ⋅ ( t − t0 ) 2

O
2
  1
∆r = v0 ⋅ ( t − t0 ) + a ⋅ ( t − t0 )
2
2
   1 2   1 2
SI t0 = 0: r = r0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t O ∆r = v0 ⋅ t + a ⋅ t
2 2
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9. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
dv v r (LA ACELERACIÓN ES
3) a = v ⋅
dr
⇒ vdv = a ⋅ dr ⇒ ∫ vdv = a ∫ dr
v0 r0
CONSTANTE, PUEDE
SALIR DE LA INTEGRAL)
INTEGRANDO:
1 2v
2 v0
r
v = a⋅r r ⇒
0
1 2
2
2
(
v − v0 = a ⋅ ( r − r0 ))
⇒ v 2 − v0 2 = 2a ⋅ ( r − r0 ) ⇒ v 2 = v0 2 + 2a ⋅ ( r − r0 )
2
O v 2 = v0 + 2a ⋅ ∆r
AUNQUE ESTAS ECUACIONES NO SE PUEDEN ESCRIBIR VECTORIALMENTE,
DEBEN CONSIDERARSE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES
INVOLUCRADOS, AL UTILIZARSE EN LA RESOLUCIÓN DE UN EJERCICIO
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10. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
OTRA ECUACIÓN VALIDA EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO ES:
 
 v0 + v (SÓLO PORQUE LA
vm = ACELERACIÓN ES CONSTANTE)
2
SI TRABAJAMOS EN DOS O TRES DIMENSIONES, SE TENDRÍAN QUE
APLICAR LAS ECUACIONES PARA CADA DIRECIÓN (x, y, z) POR SEPARADO
CUANDO LA PARTÍCULA DESCRIBE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, SE DICE
QUE TIENE UN MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO, ADEMÁS DE LOS MOVIMIENTOS
HORIZONTALES, SE ESTUDIAN TRES SITUACIONES PARTÍCULARES:
 CAÍDA LIBRE
 LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO
 LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

11. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
ESTOS TRES MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS
TIENEN CARACTERÍSTICAS COMUNES:
1) SON MOVIMIENTOS VERTICALES
2) SON INFLUENCIADOS POR LA ACELERACIÓN DE LA
GRAVEDAD; ES DECIR, LOS CUERPOS QUE SE
MUEVEN ESTÁN EN EL AIRE, NO TIENEN UN
MECANISMO QUE LOS SOSTENGA
?
¿ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD?
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

12. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD ES AQUELLA CON LA
QUE LA TIERRA ATRAE A LOS CUERPOS HACIA SU CENTRO

NOTACIÓN: g
SIN TOMAR EN CUENTA LOS EFECTOS DE LA RESISTENCIA DEL AIRE,
TODO CUERPO QUE CAE CERCA DE LA SUPERFICIE TERRESTRE SE

MOVERÁ CON ACELERACIÓN CONSTANTE E IGUAL A g
MAGNITUD:
S.I. c.g.s. TÉCNICO Inglés
ok
9,81 m / s2 981 cm / s2 9,81 m / s2 32 pie / s2
DIRECCIÓN: VERTICAL
⇒ g = ( − 9,81 j ) 2
  m
SENTIDO: HACIA ABAJO
s
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13. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
¿QUÉ DIFERENCIA A ESTOS TRES MOVIMIENTOS VERTICALES?
 CAÍDA LIBRE:
ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO, DONDE
LA VELOCIDAD INICIAL ES CERO
 LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO:
TAMBIÉN ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO,
PERO LA VELOCIDAD INICIAL ES DISTINTA DE CERO
 LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA:
ES UN MOVIMIENTO DE ABAJO HACIA ARRIBA, DONDE
LA VELOCIDAD INICIAL ES DIFERENTE DE CERO
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

14. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
ASPECTOS A CONSIDERAR EN LOS MOVIMIENTOS VERTICALES:
 LA RAPIDEZ DE UN CUERPO EN UN PUNTO DE LA TRAYECTORIA
AL SUBIR, ES IGUAL A LA RAPIDEZ DEL MISMO CUERPO EN UN
PUNTO DE LA TRAYECTORIA AL BAJAR, SIEMPRE Y CUANDO AMBOS
PUNTOS ESTÉN AL MISMO NIVEL HORIZONTAL
v1 = v2
1 2
CUERPO CUERPO
SUBIENDO BAJANDO
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15. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
 SE SUELEN EMPLEAR LOS SIGUIENTES TÉRMINOS:
 ALTURA MÁXIMA (hMAX): ES LA ALTURA DEL PUNTO MÁS
ALTO EN LA TRAYECTORIA DE LA PARTÍCULA. EN ESTE
PUNTO, LA VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA ES IGUAL A CERO
 TIEMPO MÁXIMO (tMAX): ES EL TIEMPO QUE EMPLEA LA
PARTÍCULA EN LLEGAR A LA ALTURA MÁXIMA
 TIEMPO DE VUELO (tV): ES EL TIEMPO QUE LA PARTÍCULA
PERMANECE EN EL AIRE. (¡CUIDADO!, NO SIEMPRE EL
TIEMPO DE VUELO ES DOS VECES EL TIEMPO MÁXIMO)
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16. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO EN EL PLANO
ES AQUEL MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO SE
MUEVE EN DOS DIMENSIONES AL MISMO TIEMPO, POR
LO QUE SU TRAYECTORIA ESTÁ SOBRE UN PLANO
AUNQUE CONTEMPLA LO SIGUIENTE:
a) MOVIMIENTO DE PROYECTILES
b) MOVIMIENTO CIRCULAR
ESTUDIAREMOS EL PRIMERO, EL
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

17. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
ES UN MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO ESTÁ EN EL AIRE,
Y ES LANZADO A ÉL CON UN ÁNGULO DE INCLINACIÓN α
ES UN MOVIMIENTO COMPUESTO POR DOS MOVIMIENTOS
INDEPENDIENTES:
 EN EL EJE X, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTO
RECTILINEO UNIFORME (MRU); ES DECIR, LA VELOCIDAD EN
ESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE
EN EL EJE X, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRU
 EN EL EJE Y, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTO
RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV); ES DECIR, LA
ACELERACIÓN EN ESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE, Y ES
IGUAL A LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
EN EL EJE Y, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRUV
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18. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
EJE X: MRU

 ∆r (t )
v (t ) =
∆t
EJE Y: MRUV
  
vY = v0Y + aY ⋅ t
2 2
vY = v0Y + 2aY ⋅ ∆rY
  1 2
∆rY = v0Y ⋅ t + aY ⋅ t
2
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

19. CINEMÁTICA
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
AQUÍ SE CUMPLEN LAS CONSIDERACIONES ESTABLECIDAS EN
LOS MOVIMIENTOS VERTICALES VISTOS ANTERIORMENTE, PERO
SE UTILIZA UN CUARTO TÉRMINO, EL ALCANCE HORIZONTAL
 ALCANCE HORIZONTAL (R): ES LA DISTANCIA RECORRIDA
POR EL CUERPO EN EL EJE X
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño