Capitulo 0 de libro Geometria ecuclideana versus cabri

1. RESEÑA HISTÓRICA
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2. BREVE RESEÑA HISTÓRICA. De acuerdo con estudios realizados por científicos, es aceptado
que el hombre prehistórico probablemente sólo tenía nociones muy vagas de los conceptos de
número y medida; que para contar, usaba los dedos y para medir longitudes las comparaba con
ciertas partes de su cuerpo como el pie, el brazo, la mano. En algunas cavernas de Europa,
recientemente se han descubierto grabados y pinturas que datan de tiempos prehistóricos y que
muestran un conocimiento de la proporción y de la dimensión, pero no existen indicios de sus
métodos de medida.
BABILONIA. En Mesopotamia, situada entre los ríos Tigris y Éufrates, existió una
civilización cuya antigüedad se remonta aproximadamente a 57 siglos. Los primeros indicios de un
sistema de medidas provienen de ellos. Los babilonios fueron los inventores de la rueda, fueron los
primeros en encontrar que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro era igual a
tres (1 Reyes; 5, 23); también fueron los primeros en perfeccionar la agrimensura. Además; poseían
métodos para determinar el área de algunas figuras sencillas, entre estas, el círculo.
La mayoría de documentos encontrados señalan que los métodos y conocimientos acerca de las
medidas surgieron como una necesidad de la medida de la tierra y de las construcciones de
edificaciones. Cultivaron la Astronomía, suponían que la esfera celeste giraba alrededor de la Tierra
y que el año tenía aproximadamente 360 días; dividieron la circunferencia en 360 partes iguales
obteniendo de esa forma el actual sistema de medida de ángulo basado en los grados (sistema
sexagesimal).
EGIPTO . Una gran cantidad de conocimientos de aritmética, álgebra y medidas que hoy día
tenemos es legado de los egipcios. La base de ésta civilización fue la agricultura. La aplicación de
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3. los conocimientos geométricos a la medida de la tierra, permite dar el nombre de Geometría, que
significa medida de la tierra.
Los reyes de Egipto dividían las tierras en parcelas; después de sus inundaciones periódicas del río
Nilo, necesitaban encontrar el límite de los campos, los agrimensores tenían que rehacer las
divisiones y calcular el impuesto que debía pagar el dueño de la parcela, ya que este era
proporcional a la superficie de la tierra cultivada. Los sacerdotes egipcios también cultivaban la
geometría aplicándola a la construcción de pirámides, tumbas y palacios.
La “Gran Pirámide” construida hace más de 20 siglos por el pueblo egipcio, es sin lugar a duda una
gran prueba de los conocimientos de geometría y astronomía, debido a la perfección de sus
dimensiones y orientación. Los antiguos manuscritos egipcios como el papiro de Ahmés, data del
1700 a. C, se cree que el original fue escrito en el año 2300, la copia se conserva en el Museo
Británico. En él se encuentran problemas sobre las medidas de varias figuras geométricas como el
área de un triángulo isósceles, de un trapecio isósceles y de un círculo, con un valor de
Era tanta la fama y la sabiduría que su conocimiento se extendió por todo el mundo civilizado de ese
tiempo y los eruditos de otros países iban a estudiar a Egipto. Entre ellos, los griegos, quienes
quedaron impresionados por los métodos empleados por los egipcios en la agrimensura y el cálculo;
al conjunto de estos métodos le dieron el nombre de Geometría.
GRECIA. La Geometría de los egipcios era eminentemente empírica, puesto que no se basaban
en un sistema lógico deducido a partir de axiomas y postulados. Su interés sólo estaba basado en su
utilidad. Los griegos por el contrario, fueron los grandes pensadores, no se sintieron satisfechos con
su utilidad; sino que la estudiaron, perfeccionaron y la aplicaron como una rama del saber, por el
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4. amor al descubrimiento de la verdad, obteniendo explicaciones racionales de las cuestiones en
general y particularmente de la geometría. Los sabios griegos, luego de regresar de Egipto, se
dedican a la enseñanza de la geometría en sus escuelas, naciendo así un gran interés por los nuevos
conocimientos.
Los griegos fueron los primeros en realizar muchas construcciones geométricas. A ellos debemos las
construcciones con regla y compás que conocemos; gracias a ellos es posible bisecar un ángulo,
construir polígonos, construir las cónicas y muchas cosas más. Sin embargo, algunos problemas se
resistieron por muchos años a su solución y todo lo que se hizo fue en vano. Los tres grandes
problemas que se resistieron a su solución, fueron: La duplicación del cubo, la cuadratura del círculo
y la trisección del ángulo. Sobre la trisección del ángulo con regla y compás los griegos no
encontraron la justificación, del porque su no construcción. Sólo hasta hace poco se de mostró que
era imposible; pero con el uso de algunos instrumentos que construyeron, lograron trisecar un
ángulo, entre ellos se destacan: Nicomedes, que utilizó “la concoide”; Arquímedes, utilizó la
“espiral”; Hipias, la “trisectriz o cuadratriz”. Con “la escuadra del carpintero”, instrumento
construido en el siglo III d. C, también lograron trisecar el ángulo.
La geometría comienza como una ciencia deductiva, estudian las propiedades de las figuras
geométricas y sus relaciones; realizan las demostraciones utilizando la lógica para llegar a nuevas
verdades partiendo de las ya conocidas. Se dedican a la escritura de documentos y libros de tratados
de ésta área.
Pronto, todos los agrimensores y astrónomos griegos empiezan a hacer uso de los nuevos
conocimientos y a aplicarlos a otras ciencias, la aplican en las bellas artes y otras dando origen a la
trigonometría y la geodesia.
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5. ERATÓSTENES . Fue uno de los primeros griegos que logró determinar muy aproximadamente
la circunferencia y el diámetro de la tierra con un error de unas pocas centenas de kilómetros,
calculó con mucha aproximación la duración del año y sugirió un calendario, llamado hoy
calendario juliano, que fue usado en muchos países hasta hace poco tiempo. Posteriormente se
dedicó a enseñar en Egipto, luego de ser conquistada por Alejandro el Grande.
El imperio romano conquista militarmente a Grecia, tomando de ellos la geometría práctica y dan
poca atención a la geometría deductiva, lo que implica que en nada contribuyeron a su desarrollo.
TALES DE MILETO. Nació en la ciudad de Miletos en el año 640 a. C. se cree que vivió 90
años. Es considerado el primer filósofo. Fue uno de los “siete sabios de Grecia”. En sus largos
viajes por Egipto (como comerciante) aprendió mucho y reunió abundante material para sus
reflexiones. Predijo un eclipse de Sol que tuvo lugar en 585 a. C. Se cree que enseñó a sus maestros
a medir la altura de las pirámides valiéndose de la sombra que proyectaban.
Se dedicó al estudio y enseñanza de la filosofía y de la geometría ; logró determinar la igualdad de
los ángulos de la base en un triángulo isósceles, el valor del ángulo inscrito y la demostración de los
teoremas que llevan su nombre relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos
rectas cortadas por un sistema de paralelas. Uno de sus discípulos y amigo fue Anaximandro, quien
es el primero que intenta clasificar las diferentes partes de la geometría, escribiendo un libro sobre
esto.
PITÁGORAS DE SAMOS. Nació en Samos en el año 569 a. C. y muere en 500 a. C.
Según los historiadores fue discípulo de Tales; se estableció en Trotona al sur de Italia y funda una
especie de orden denominada “los pitagóricos”, cuyos miembros buscaban un enriquecimiento
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6. intelectual. Esta orden comprendía varios “grados”, en los que se
ingresaba después de haberse sometido a ciertas pruebas y asistir a
determinadas ceremonias. El emblema de su hermandad es una
estrella de cinco puntas dibujada sin levantar la pluma del papel en
cada punta de la estrella había una letra griega q ue formaban la
palabra “salud”. Al estudiar las propiedades de esta figura, los pitagóricos descubren muchas
propiedades de los triángulos y de los pentágonos. Sin lugar a dudas Pitágoras era un verdadero
sabio: Matemático, investigador de las Ciencias Naturales y de la Astronomía, Filósofo e
investigador científico en general; también un moralista. Se dedicó al estudio de la geometría,
descubriendo varias proposiciones importantes. Él y sus discípulos dieron las mejores
demostraciones de algunas proposiciones ya conocidas; se dice que fue el primero en demostrar que
“el cuadrado construido con un lado igual al mayor de los lados de un triángulo rectángulo, tiene
un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los otros dos lados del
triángulo”. Esta proposición la conocemos hoy día como: “Teorema de Pitágoras”.
También se le atribuye la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un
triángulo. Los pitagóricos resumen su doctrina afirmando que “todo lo que conocemos está
representado por un número y sólo podremos llegar a comprender una cosa cuando conozcamos
su número”.
Es muy poco lo que se sabe de la vida de Pitágoras, no hay escritos suyos. Lo único que se sabe de
él, nos lo han legado sus discípulos. Fue el primero en atribuirse el nombre de “filósofo” que
significa “amante del saber”, se le conoce como “el primer técnico de las ciencias exactas”.
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7. ARQUITAS. Nació en el año 400 a. C. Continuó con los estudios de los pitagóricos. Fue el
primero que resolvió el famoso problema de determinar geométricamente las dimensiones de un
cubo con volumen doble a otro cubo dado, problema conocido como “la duplicación del cubo”. Se
dice que fue el primero en aplicar los principios de geometría a la mecánica.
HIPIAS DE ELIS. Vivió aproximadamente en la misma época de Arquita. Fue el primero en
resolver los problemas teóricos de dividir un ángulo en tres partes iguales, problema conocido como
“la trisección del ángulo”; y el de “la cuadratura del círculo”, es decir, encontrar un cuadrado de
área igual a la del círculo dado.
HIPÓCRATES DE CHÍOS. Nació en el año 470 a. C. Estudió la solución de los tres
grandes problemas de la geometría. En sus investigaciones descubrió muchas propiedades del
círculo y de los ángulos. Escribió un libro que es considerado como el primer texto de geometría
pura.
PLATON . (429-328 a. C.) Considerado uno de los dos más grandes pensadores filósofos griegos
de la antigüedad; discípulo de Sócrates. En Atenas reunió a un grupo de compañeros y funda una
comunidad a la manera de los pitagóricos. Vivian en una casa de campo a las afueras de Atenas; en
un lugar dedicado al héroe Akademos; por eso se llamó al lugar Akademeia, enseñaba a sus
discípulos planteando problemas y cuestiones científicas en largos paseos por los bosques de la
academia, de ahí el nombre de “peripatéticos”; así nace la primera academia del mundo. La
Akademeia o Academia era un centro de investigación científica, tanto que es considerada como la
primera Universidad. Platón estaba especializado en filosofía pura y geometría. Investigaciones
realizadas dan evidencias que colocó en la puerta un aviso que expresaba: “Quien no sepa
geometría que no entre”, prohibiendo la entrada a los que no supieran geometría.
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8. ARISTÓTELES. (384-322 A. c.). Discípulo de Platón, abarcó todas las ramas del saber. Funda
su propia escuela filosófica cerca de un campo de deportes llamado Lykeion, de ahí el nombre del
“Liceo”. La grandeza de su filosofía radica en la lógica, logra sistematizarla. Señala las le yes que
rigen los fenómenos de la naturaleza y explica su interdependencia. Inculca a sus discípulos la regla
de la experimentación científica, los enseña a observar desde un punto de vista científico. Gracias a
él, la ciencia ocupa un lugar de honor en el progreso humano.
Después de Aristóteles, el centro del saber vuelve a Egipto, que había sido conquistada por los
griegos bajo el mando de Alejandro el Grande. Este emperador, construye en el delta del Nilo la
gran ciudad de Alejandría y funda en ella una gran Universidad y una Biblioteca. Todos los
estudiantes y eruditos del mundo acudían a la Universidad; a Alejandría llegan los mayores sabios
de su época, a quienes les pagaban para que se dedicaran por completo a las ciencias; contando para
ello con toda clase de medios auxiliares para la investigación. El más famoso de los sabios de
Alejandría es Euclides.
EUCLIDES. (330-275 a. C). Durante muchos años enseñó matemáticas en la Universidad de
Alejandría y a discípulos particulares. Sistematizó los conocimientos matemáticos de su tiempo en
un libro conocido como “Los elementos”, de claridad tan excepcional que muchos países aún lo
utilizan como libro de texto. Esta obra abarca parte de la aritmética, la teoría de los números, el
álgebra, las proporciones y todo lo que se conocía entonces de geometría. Su obra consta de 13
libros; de ellos 7 están dedicados a la geometría (I, II, III, IV, VI, XI y XII). El libro XIII es una
especie de suplemento que contiene algo de geometría. Se ha acostumbrado a separar los libros de
geometría de los demás, dándole a éste conjunto el nombre de “Elementos de Geometría” de
Euclides, o “Los Elementos de Euclides”.
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9. En este libro Euclides enuncia con gran precisión sus fundamentos, simplifica los enunciados y
demostraciones de las proposiciones; clasifica, ordena y numera todos los principios fundamentales,
las definiciones y proposiciones. Para él, sólo es válido el uso de la regla y el compás, no permite el
uso de otro instrumento; de esta forma sus demostraciones y soluciones están basadas únicamente a
través de la circunferencia y la línea recta. La geometría desarrollada de esta manera se llama
geometría elemental (de los Elementos) o geometría euclidiana.
Los Elementos de Euclides estudian la geometría plana (figuras que se pueden dibujar en un plano o
superficie “plana”) y de los sólidos compuestos de superficies planas o caras. Los cuerpos sólidos:
esfera, cilindro y cono, llamados “los tres cuerpos redondos”, no los estudió.
ARQUÍMEDES . Nació en Siracusa 287-212 a. C. Estudió en Alejandría, siguió los cursos de
algunos discípulos de Euclides. Sin lugar a dudas es considerado el matemático más grande de la
antigüedad y uno de los mayores de todos los tiempos. Es conocido por su célebre exclamación de
“¡Eureka!” que significa “lo encontré”. Fue un gran inventor, inventó máquinas de guerra debido a
su gran dominio de la mecánica. Varias de las leyes de la naturaleza y algunos de sus inventos,
llevan su nombre. De él se considera la frase “Dadme un punto de apoyo y moveré el universo”,
expresando con esto su gran talento mecánico. Su contribución original a la geometría es mayor que
la de ninguna otra persona. Sus estudios más notables son los relacionados con el área del círculo, el
volumen del cilindro, del cono y de la esfera, descubriendo muchas de sus propiedades y relaciones
existentes entre ellas.
Al igual que Euclides, Arquímedes sistematizó todos sus conocimientos y escribió varios libros
sobre estos temas. Se ha descubierto hace poco de su obra una conclusión sorprendente: Arquímedes
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10. encontró quizá los principios del cálculo integral que Newton y Leibnitz descubrieron en el siglo
XVIII.
Después de Arquímedes, Alejandría floreció durante unos novecientos años más. Su Gran Biblioteca
considerada como la “cámara del tesoro” era un depósito de sabiduría y de literatura griega, ahí
convergían todos los matemáticos y filósofos.
También sobresalieron por sus aportes Apolonio de Perga, Ptolomeo y Pappus entre otros. Apolonio
(260-200 a. C.), estudió las secciones cónicas, dando origen a lo que hoy conocemos como
geometría analítica. Ptolomeo (siglo II d. C.), gran geómetra, escribió una gran obra en trece libros
(secciones) que tratan sobre la proyección ortográfica y estereográfica; dando origen a la geometría
descriptiva. En su obra aplica la geometría y la trigonometría a la astronomía. El título con el que
conocemos esta obra es el “Almagesto” que significa: “El más grande”, o “La mayor colección”.
PAPPUS. Perfeccionó la geometría superior, teoría sobre las secciones cónica y enunció
algunas proposiciones que son consideradas precursoras de los fundamentos del cálculo
infinitesimal y la geometría proyectiva.
Después de Pappus, Alejandría ya no tiene interés desde el punto de vista de la geometría; los árabes
conquistan a Alejandría y destruyen la Universidad e incineran gran parte de la Biblioteca (641 d.
C.). Con ésta destrucción, los eruditos se marcha de Egipto y se esparcen por todo el mundo,
viajando algunos a Constantinopla, otros a Bagdad. En Constantinopla, el interés por la geometría
es poco, comienza a descuidarse, convirtiéndose en un arte, el aporte es poco. De esta manera se ha
retrocedido al nivel de los egipcios. En Bagdad, fueron maestros y médicos de los árabes. Los árabes
obtuvieron los conocimientos de Aritmética y Álgebra de los hindúes, y de geometría y astronomía
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11. de los griegos. Los árabes poco contribuyeron al desarrollo de la geometría y la trigonometría, pero
si aplicaron estos conocimientos a la astronomía. Gracias a ellos, la geometría se introduce a Europa,
en la época del Renacimiento.
Durante lo siglos XIII y XIV, las Matemáticas son enseñadas en las universidades. Se estudia de
manera científica la Trigonometría, la Astronomía y especialmente la Geometría. Son traducidos
Los elementos de Euclides al latín y a algunos idiomas de Europa. Muy pronta la Geometría toma
fuerza y es enseñada en todas las escuelas de Europa; se aplica a las artes y a la ingeniería. El
francés Legendre (1752-1833) publica los “Elementos de Geometría”, en él intenta demostrar el
axioma de las paralelas de Euclides, realiza también un estudio sobre el círculo y los “tres cuerpos
redondos” de Arquímedes.
LA GEOMETRÍA EN EUROPA . La geometría en Europa toma el lugar que se merece
nuevamente, se destacan entre otros: Desargues (1593-1662), quien estudia los elementos de
Euclides, descubriendo nuevos principios; es considerado uno de los fundadores de la geometría
moderna y crea la geometría proyectiva, elabora una teoría sobre las polares, de la involución y de la
homología, entre otras. Mongue (1746-1818), es considerado como uno de los fundadores de la
geometría descriptiva e introduce en la ciencia el principio de continuidad. Descartes (1596-1650),
realiza un estudio sobre las figuras geométricas y las expresa por medio de ecuaciones algebraicas,
sintetizando la geometría con el algebra; dando origen a la geometría analítica. A partir de aquí, se
inicia la geometría diferencial. Todas estas ramas de la geometría tienen sus bases en los principios
de Euclides, de ahí el nombre de Geometría euclidiana; uno de sus principales axiomas es el de las
paralelas, que enuncia: “sólo se puede trazar una paralela a una recta dada por un punto exterior
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12. a la misma”. Este axioma generó una polémica que duró veinte siglos; muchos intentaron demostrar
dicho axioma, otros por el contrario intentaron demostrar que era falso.
En los últimos años, hay una nueva idea de la geometría, la cual no se basa en los principios de
Euclides y es llamada geometría no euclidiana. Para los defensores de ésta, el axioma de las
paralelas debía ser modificado y lo expresan de esta manera: “desde un punto exterior a una recta
se puede trazar más de una paralela”; uno de los defensores de este postulado fue el ruso Nicolás
Lobachevski (1793-1856) quien en su obra “Sobre los principios de la geometría” expresa su
trabajo sobre las paralela, dando origen a la geometría hiperbólica. Simultáneamente a Lobachevski,
Juan Bolyai (1802-1860) llega al mismo resultado y lo expresa en la obra “La ciencia absoluta del
espacio”. Por todo lo anterior, Lobachevski y Bolyai son considerados los fundadores de la
geometría no euclidiana.
RIEMANN. (1826-1854) realiza un estudio sobre las “Hipótesis que sirven de fundamento a la
geometría”; en donde establece los principios de la geometría no euclidiana. Al igual que
Lobachevski y Bolyai, Riemann también niega el axioma de las paralelas y expresa que no se puede
trazar ninguna paralela; más aún, expresa que es posible prolongar indefinidamente una línea recta
sin volver al mismo sitio. La geometría de Riemann es considerada como una geometría elíptica,
que sirve de base a la geometría diferencial y a la teoría de la relatividad de Einstein. Por esto
podemos decir que ¡existe más de una geometría
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