2. Conceptos Básicos El análisis de regresión consiste en la estimación de la media o valor promedio de la variable dependiente con base en los valores conocidos o fijos de las variables independientes. Básicamente, lo que interesa es “explicar en términos de las variables x” Función de Regresión Poblacional Función de Regresión Lineal Poblacional Variable: Dependiente, Explicada Respuesta, Regresando Variable: Independiente, Explicativa, Control, Regresora Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
3. Conceptos Básicos Especificación Estocástica de la FRLP Recoge todos aquellos factores que influyen sobre y y no forman parte de las variables x: No hay disponibilidad de información Variables centrales vs. Variables periféricas Principio de Parsimonia Este término es fundamental para la interpretación… si los factores contenidos en u permanecen constantes (no cambian ó son fijos); entonces existe un efecto lineal de x sobre y: Sí entonces Error, Perturbación, Residuo … Innovación Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
4. Conceptos Básicos Del término error se desprende otra importante conclusión. Recordemos que el valor esperado de y dados unos valores de la variables x se puede expresar como: Si se obtiene el valor esperado de yise puede ver que: Este resultado implica los errores y las variables explicativas son independientes y además que el valor esperado de los errores es igual a cero. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
5. Conceptos Básicos Supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal Lineal en los Parámetros Los coeficientes ó parámetros NO tienen potencias diferentes de 1 Muestreo Aleatorio De la población se puede tomar una muestra aleatoria de tamaño n Media Condicional Cero El error u tiene un valor esperado de cero dado cualquier valor de las variables independientes. Colinealidad Imperfecta En la muestra, ninguna de las variables independientes es constante y no hay relaciones lineales exactas entre ellas. Homoscedasticidad La varianza del término error ui, condicionada a las variables explicativas, es la misma para todas las combinaciones de resultados de estas variables. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
6. Mínimos Cuadrados Ordinarios Este método consiste en minimizar una función de erroresal cuadrado. Recordemos que tenemos un valor observado para la variable dependiente. Una vez estimamos la función de regresión esta puede escribirse como: De tal forma que el residuo puede escribirse como: Dado que hay uno n residuos: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
7. Mínimos Cuadrados Ordinarios Aplicar MCO consiste en encontrar los coeficientes que hacen que la suma de los residuos al cuadrado sea lo más pequeña posible. Es decir: Específicamente, solucionar: Encontrando las condiciones de primer orden y despejando llegamos a: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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9. Mínimos Cuadrados Ordinarios Introducción a EViews Menú Principal En File se encuentran los comandos básicos para iniciar el trabajo en Eviews: New: Crea los archivos de trabajo o workfile Open, Save, Save as: son las funciones tradicionales En Quick se encuentran comandos muy importantes para el desarrollo de modelos y Helpes muy interesante (teoría y comandos) Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
25. Mínimos Cuadrados Ordinarios Introducción a Eviews El worfile ha sido creado Deben quedar las variables en el workfile Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
26. Mínimos Cuadrados Ordinarios Interpretación de Coeficientes y Forma Funcional Los estimadores (menos la constante) tienen interpretación de efecto parcial. Para un modelo como… El coeficiente es el valor pronosticado para cuando Ahora bien, si… Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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28. Mínimos Cuadrados Ordinarios Interpretación de Coeficientes y Forma Funcional No siempre las variables se miden en sus unidades naturales ó lo que llamaremos en niveles. En ocasiones, las tasas de crecimiento o los crecimientos porcentuales de las variables resultan más útiles desde el punto de vista práctico. Diferentes formas funcionales dan lugar a diferentes interpretaciones de los coeficientes. El comando log hace referencia al ln Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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30. Mínimos Cuadrados Ordinarios Interpretación de Coeficientes y Forma Funcional 2. Supongamos ahora que la tasa de crecimiento del precio de cierre de la acción se relaciona únicamente con el tiempo a partir de un modelo como: Estimación del Modelo. Interpretación de coeficientes. Supongamos que ahora se piensa que el precio de cierre de la acción depende de la tasa de crecimiento del índice de mercado así: Estimación del Modelo. Interpretación de coeficientes. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
33. EficienciaTeorema de Gauss Markov:Dados los supuestos del modelo de regresión lineal, los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados, tienen varianza mínima; es decir, son MELI. Teorema de Insesgamiento: Bajo los supuestos SRLM1 al SRLM4 se tiene que: Teorema Varianza Muestrales de los Estimadores de MCO: Bajo los SRLM1 a SRLM5 se tiene que: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
34. Valores Esperados y Varianzas en los Estimadores Sin embargo la varianza del modelo ó de los residuos, no se conoce y por lo tanto hay que estimarla: Recordar que es el número de datos (observaciones) es el número de coeficientes ó parámetros estimados Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2 Las medidas de bondad de ajuste ayudan a determinar que tan bien explican las variables independientes a la dependiente. Cada valor observado puede descomponerse en el valor estimado y en el residuo: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
35. Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2 Ahora se puede definir: SRC STC SEC Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
36. Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2 Como se puede observar: El porcentaje en la variación de y que es explicado por las variaciones en las x Las x explican a la variable y en R2 Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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38. La variable dependiente debe ser la misma y debe estar expresada en las mimas unidades.
40. Los modelos deben tener el mismo número de variables explicativas.
41. Ninguno de los modelos debe contener variables rezagadas De los siguientes modelos, ¿Cuál es el mejor? Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
42. Inferencia Estadística en el MCRL Para poder realizar pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo, es necesario hacer un supuesto sobre la distribución de los errores: Si entonces es posible construir intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. Prueba de Jarque – Bera Para verificar si los errores del modelo ó cualquier serie se distribuye normalmente, la prueba JB evalúa la siguiente hipótesis nula: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
43. Inferencia Estadística en el MCRL Sin embargo, aunque los errores no se distribuyan normalmente, dado que se hace uso de muestras y que la varianza es estimada, una buena aproximación para hacer inferencia estadística es la distribución t-student. Intervalos de Confianza Especifican un rango dentro del cual, con 1 – α de probabilidad, se encuentra el verdadero coeficiente poblacional. Pruebas de Hipótesis: Prueba de Significancia Individual Son necesarias para probar que los betas estimados no son, estadísticamente, iguales a cero. Si lo fueran, las variables independientes no tendrían una relación lineal estadísticamente significativa con la variable dependiente. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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45. Si prob > α NO SE RECHAZA H0Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
46. Inferencia Estadística en el MCRL :Prueba de Significancia Conjunta Esta prueba de hipótesis, testea si todas las variables explicativas ó independientes conjuntamente, son significativas estadísticamente para explicar a la variable dependiente. Las Hipótesis que se evalúan son: Si la H0 NO SE RECHAZA entonces ninguna variable explicativa se relaciona estadísticamente con la variable dependiente. Por el contrario, si la H0 SE RECHAZA entonces existe al menos una variable explicativa que se relaciona estadísticamente. La prueba utiliza un distribución F de Fischer: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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50. Cuando la variable y > 0, los modelos cumplen de manera más precisa los supuestos de RLM.
51. Cuando las variables son estrictamente positivas tienen generalmente distribuciones condicionales que son heteroscedasticas o segadas; obtener el logaritmo de estas variables puede mitigar o eliminar ambos problemas.
52. Cuando una variable es una cantidad en valor monetario positivo, se toma por lo común el logaritmo.
53. Las variables que toman valores enteros grandes con frecuencia también se toman en logaritmos.
54. Las variables que se miden en años, generalmente se dejan en su forma original.
55. Una variable que es una proporción o un porcentaje, se deja en su forma original.
56. La transformación a logaritmo no aplica si la variable toma valores de cero o negativos. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
57. Formas funcionales logarítmicas y cuadráticas Hay ocasiones donde los efectos entre las variables no son lineales, sino crecientes o decrecientes. En estos casos tiene más utilidad un modelo con una forma funcional cuadrática: En este caso no tiene sentido explicar el como el cambio en y cuando cambia x y x2 se mantiene fija. El verdadero cambio en y está dado por: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
58. Predicción y Análisis Residual Si se tiene un modelo como: Y si se remplazan las variables independientes por valores particulares, entonces se obtiene una predicción ó estimación de valor esperado para Sin embargo, resulta más practico crear un intervalo para la predicción: Pero es desconocida. Se hace necesario estimarla por medio de la regresión: es la predicción de para cuando las variables independientes toman los valores Con la desviación estándar se puede construir el intervalo de predicción: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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60. Hacer la regresión de sobre como una regresión a través del origen
61. Con el coeficiente de la variable se procede a realizar la transformación: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
62. Predicción y Análisis Residual El análisis de los residuos sirve para observar de manera individual si los valores predichos por el modelo están por encima o por debajo del valor observado. Una regresión del precio de cierre de un título sobre variables fundamentales: ¿Para las señales fundamentales actuales, el titulo está muy caro o muy barato? Dado que los residuos se forman a partir de: Si el residuo es muy negativo… el título está muy barato para los valores fundamentales actuales. Si el residuo es muy positivo… el título está muy caro para los valores fundamentales actuales. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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64. Heteroscedasticidad Violación del supuesto de Homoscedasticidad; es decir la varianza de los errores deja de ser constante y por lo tanto… En otras palabras, cuando hay heteroscedasticidad la varianza de los errores cambia para cada segmento de la muestra, determinado, por los distintos valores de las variables explicativas. Densidad Densidad Heteroscedasticidad Ahorro Ahorro Ingreso Ingreso Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
67. Factores atípicos: Una observación atípica es aquella que es muy diferente (muy pequeña o muy grande) con relación a las demás observaciones en la muestra.
71. Asimetrías en la distribución de las variables: Comportamiento natural de las seriesCulpa del Econometrista Modelar ó Ajustar (Corregir?) Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
72. Heteroscedasticidad Estimar modelos en presencia de Heteroscedasticidad trae como consecuencias… Estimación robusta a la Heteroscedasticidad Detectarla y Corregirla Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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74. Heteroscedasticidad Estimación robusta a la heteroscedasticidad: Una buena pregunta es… Si los errores estándares robustos a la heteroscedasticidad son válidos, ¿por qué preocuparse por la heteroscedasticidad de los errores de MCO? Si el supuesto de homoscedasticidad se cumple satisfactoriamente y los errores se distribuyen normalmente, entonces los estadísticos t tienen distribuciones texactas, sin importar el tamaño de la muestra. Los estadísticos robustos a la heteroscedasticidad solo se justifican cuando el tamaño de la muestra es grande. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
75. Heteroscedasticidad Detección de la heteroscedasticidad: Prueba de White ó Prueba General de Heteroscedasticidad: White supuso que los errores al cuadrado se correlacionan con las variables independientes , con los cuadrados de las variables independientes y con todos los productos cruzados de las variables independientes Nuevamente se aplica una prueba de significancia conjunta; es decir… Para concluir White calcula un estadístico ML y un estadístico F, que sigue una distribución de Fischer y Chi-cuadrado; respectivamente Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
85. Correlación Serial Consecuencias: Supongamos que la autocorrelación es de orden 1; es decir el error en t depende del error en t – 1. ρ es el coeficiente de correlación de primer orden y εt cumple con los supuestos clásicos. Si la correlación serial se forma por un proceso AR(1) entonces: • La varianza estimada subestima la verdadera varianza. • Igualmente se subestima la R2. • Las pruebas de significancia dejan de ser válidas. En otras palabras, los coeficientes dejan de ser MELI, pero conservan las propiedades de Insesgamiento y Consistencia. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
86. Correlación Serial Pruebas para Correlación Serial de Primer Orden AR(1): Prueba t para correlación serial AR(1) con regresores exógenos: Sin embargo como los verdaderos residuos no se conocen, se estiman a partir de los residuos de MCO: Se prueba la Hipótesis Nula: Prueba de Durbin – Watson: Esta prueba es un clásico en las pruebas de correlación serial. Sus supuestos más importantes son: • El modelo debe incluir un término de intercepto. • Los regresores deben ser estrictamente exógenos. • Los errores siguen un proceso AR (1). Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
87. Correlación Serial Pruebas para Correlación Serial de Primer Orden AR(1): Prueba de Durbin – Watson: El estadístico de prueba es el d de DW y se calcula como: Definiendo al coeficiente de correlación como… De tal forma que el estadístico d de DW queda definido como… Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
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89. Correlación Serial Corrección de la Correlación Serial: El método más usado para corregir la correlación serial es el de Prais – Winsten. Consiste en transformar la base datos usando el coeficiente de autocorrelaciónρ. La primera observación se transforma así: Desde la segunda observación, la transformación es: Como se observa claramente, en necesario conocer el valor de ρ pero como no conocemos el verdadero poblacional, hay que estimarlo a partir del modelo autocorrelacionado. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz
