Derivadas de orden superior. Derivadas segundas. Matriz Hessiana. Derivación Implícita

1. March 12, 2010 () March 12, 2010 1 / 26

2. Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Derivadas segundas. Matriz Hessiana. Derivación Implícita Universidad Carlos III. Madrid Matemáticas II Curso 2009-2010 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 2 / 26

3. Derivadas segundas n En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R . Denición Dada una aplicación f : D → R, derivada parcial segunda denimos la de f como 2 ∂2f ∂ ∂f Dij f = = ∂x ∂x i ∂x ∂x j i j Cuando i = j, escribimos ∂2f ∂2f = ∂x ∂x i ∂x 2 i i De forma análoga, podemos denir las derivadas de orden superior. Ejemplo Consideremos la función f (x , y , z ) = xy 2 + e zx entonces ∂f ∂f ∂f (x , y ) = y 2 + ze zx (x , y ) = 2xy (x , y ) = xe zx ∂x ∂y ∂z y por ejemplo ∂2f ∂2f ∂2f (x , y ) = z 2 e zx zx (x , y ) = e +xze zx zx (x , y ) = e +xze zx ∂x 2 ∂x ∂z ∂z ∂x Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 3 / 26

8. Teorema de Schwarz Ejemplo (Continuación) Vemos que en este ejemplo ∂2f ∂2f (x , y ) = (x , y ) ∂x ∂z ∂z ∂x Se puede comprobar que esto se verica para todas las variables. Aunque esto no es cierto en general, el siguiente resultado proporciona condiciones sucientes bajo las cuales las derivadas cruzadas coinciden. Teorema (Schwarz) Supongamos que para algún i j , = 1...,n las derivadas parciales ∂f ∂2f ∂f ∂2f , , , ∂x i ∂x ∂x i j ∂x j ∂x ∂x j i existen y son continuas en una bola B p r ( , ) con r 0. Entonces, para cada x en ( , ) la bola B p r , ∂2f ∂2f (x ) = (x ) ∂x ∂x i j ∂x ∂x j i Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 4 / 26

12. Teorema de Schwarz Denición Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → R. Decimos que f es de clase C 1 (D ) si todas las derivadas parciales ∂ x de f existen y son continuas ∂f i en D para todo i = 1 . . . , n . C 2 (D ) si todas las derivadas parciales de f existen y son de clase C 1 (D ). C k (D ) si todas las derivadas parciales primeras ∂f ∂ xi de f existen y son de clase C k −1 (D ) para todo i = 1 . . . , n. Escribimos f ∈ C (D ), k según el caso. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 5 / 26

16. La Matriz Hessiana Denición Sea f ∈ C 2 (D ). La matriz Hessiana de f en p es la matriz ∂2f H f (p ) = D2 f (p ) = (p ) ∂ xi ∂ xj 1,...,n i ,j = En forma extendida, ∂2f ∂2f ∂2f 2 (p ) ∂ x1 ∂ x2 (p ) ∂ x1 ∂ xn ( p )   ∂ x1 ... 2f ∂2f ∂2f ∂ x2 ∂ x1 (p ) 2 (p ) ∂ x2 ∂ xn ( p ) ∂    ...  H f (p ) =   ∂ x2  . . .  . . .  . . ··· .  ∂2f ∂2f ∂2f   ∂ xn ∂ x1 (p ) ∂ x ∂ x2 (p ) . . . n 2 (p ) ∂ xn Observación Por el teorema de Schwarz, si f ∈ C 2 (D ) entonces la matriz H f (p ) es simétrica. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 6 / 26

19. El Teorema de la función implícita Introducción En esta sección vamos a estudiar sistemas de ecuaciones no lineales. Por ejemplo, x 2 + ze xy + z = 1 (4.1) 3x + 2y + z = 3 En general, es muy difícil probar que existe solución (y no siempre existe) o resolver de manera explícita estos sistemas. Sin embargo, en Economía ocurre a menudo que el modelo que estamos estudiando aparece descrito por un sistema de ecuaciones como, por ejemplo, el sistema (4.1). Y nos gustaría poder decir algo sobre cómo depende la solución respecto de los parámetros. En esta sección estudiamos esta pregunta. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 7 / 26

23. El Teorema de la función implícita Introducción En primer lugar observemos que, en general, un sistema de m ecuaciones y n incógnitas se puede escribir de la forma f1 (u ) = 0 f2 (u ) = 0 . . . fm (u ) = 0 donde u ∈ Rn f f y 1, 2, . . . , fm : Rn → R. Por ejemplo, el sistema (4.1) se puede escribir como f1 (u ) = 0 f2 (u ) = 0 con u = (x , y , z ), f1 (x , y , z ) = x 2 + ze xy + z − 1 y f2 (x , y , z ) = 3x + 2y + z − 3. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 8 / 26

26. El Teorema de la función implícita Introducción Una primera cuestión es cómo son las soluciones del sistema (4.1) Comparando la situación con un sistema lineal deberíamos esperar que podamos despejar dos variables en función de la otra, ya que hay 2 ecuaciones y 3 variables. Supongamos, por ejemplo que queremos despejar y , z (llamadas endógenas en economía) como funciones de x (llamada exógena en economía). Esto puede ser complicado y en la mayoría de los casos imposible de manera explícita, como en este caso. En esta situación, el teorema de la función implícita Proporciona condiciones bajo las cuales podemos garantizar que el sistema (4.1) tiene solución, en el sentido de que determina dos funciones y (x ) y z (x ) que satisfacen las ecuaciones (4.1), incluso aunque no sepamos cómo se calculan esas funciones. Cuando el sistema de ecuaciones 4.1 tiene solución, nos permite encontrar una expresión para y (x ) y z (x ), incluso aunque no sepamos calcular y (x ), z (x ). Es lo que en economía se llama estática comparativa, pues permite ver cómo las variables endógenas del modelo cambian cuando varían, sea por decisiones gerenciales o por circunstancias no controladas, las variables exógenas. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 9 / 26

32. El Teorema de la función implícita Introducción Entrando en materia, consideremos un sistema de ecuaciones f1 (u , v ) = 0 (4.2) f2 (u , v ) = 0 . . . fm (u , v ) = 0 donde u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn son las variables independientes y v = (v1 , . . . , vm ) ∈ Rm son las variables que queremos despejar1 y f1 , f2 , . . . , fm : Rn × Rm → R. A este sistema le asociamos la expresión, denida sobre la marcha,  ∂ f1 ∂ f1  ∂ v1 ··· ∂ vm ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) . . = det  . .   . . ∂ (v1 , . . . , vm )  ∂ fm ∂ fm ∂ v1 ··· ∂ vm 1 En el ejemplo (4.1) n = 1, m = 2, u = x, v = ( y , z ). Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 10 / 26

33. El Teorema de la función implícita Introducción Entrando en materia, consideremos un sistema de ecuaciones f1 (u , v ) = 0 (4.2) f2 (u , v ) = 0 . . . fm (u , v ) = 0 donde u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn son las variables independientes y v = (v1 , . . . , vm ) ∈ Rm son las variables que queremos despejar1 y f1 , f2 , . . . , fm : Rn × Rm → R. A este sistema le asociamos la expresión, denida sobre la marcha,  ∂ f1 ∂ f1  ∂ v1 ··· ∂ vm ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) . . = det  . .   . . ∂ (v1 , . . . , vm )  ∂ fm ∂ fm ∂ v1 ··· ∂ vm 1 En el ejemplo (4.1) n = 1, m = 2, u = x, v = ( y , z ). Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 10 / 26

34. El Teorema de la función implícita Introducción Ejemplo Para el sistema (4.1), ∂ (f1 , f2 ) xze xy e xy + 1 = det = xze xy − 2e xy − 2 ∂ (y , z ) 2 1 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 11 / 26

35. El Teorema de la función implícita Enunciado del teorema y observaciones Teorema (Teorema de la función implícita) Supongamos que las funciones f1 , f2 , . . . , fm : Rn × Rm → R son de clase C 1 y que existe un punto (u0 , v0 ) ∈ Rn × Rm que verica (1) fi (u0 , v0 ) = 0, i = 1, 2, . . . , m (2) ∂(v1 ,...,v ) (u0 , v0 ) = ∂(f1 ,f2 ,...,f ) m m 0 Entonces, existe un conjunto abierto U ⊂ Rn y unas funciones g1 , . . . gm : U → R tales que 1 Para todo u ∈ U, fi (u , g1 (u ), . . . , gm (u )) = 0, i = 1, 2, . . . , m. 2 Las funciones g1 , . . . gm : U → R son diferenciables, y para cada i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n se verica que ∂ gi ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) =− (4.3) ∂ uj ∂ (v1 , . . . , vi −1 , uj , vi +1 , . . . , vm ) ∂ (v1 , . . . , vm ) Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 12 / 26

39. El Teorema de la función implícita Enunciado del teorema y observaciones Observación En forma extendida, el numerador en la expresión anterior es 0 ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1 1 ∂ v1 ··· ∂ vi −1 ∂ uj ∂ vi +1 ··· ∂ vm ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) B . . . . C = det B . . . . . ··· . . . C ∂ (v1 , . . . , vi −1 , uj , vi +1 , . . . , vm ) @ A ∂ fm ∂ fm ∂ fm ∂ f1 ∂ fm ∂ v1 ··· ∂ vi −1 ∂ uj ∂ vi +1 ··· ∂ vm La fórmula para calcular la derivada de las funciones implícitas recuerda la fórmula de Cramer para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Esta similitud está relacionada con una forma un poco más general del teorema de la función implícita. De hecho: La conclusión del Teorema de la función implícita se puede enunciar de la siguiente manera, 1 Las funciones z1 = g1 (u ), z2 = g1 (u ), . . . , z = g (u ) m m son una solución del sistema de ecuaciones (4.2). 2 Las derivadas de las funciones g1 , . . . gm :U→R se pueden calcular derivando el sistema de ecuaciones (4.2) y aplicando la regla de la cadena. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 13 / 26

43. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo Apliquemos el Teorema de la función implícita al sistema que ya conocemos x 2 + ze xy + z = 1 3x + 2y + z = 3 En primer lugar observamos que x = 1, y = z = 0 es una solución del sistema. Por otra parte, ya hemos visto que ∂ (f1 , f2 ) xze xy e xy + 1 (1, 0, 0) = det ∂ (y , z ) 2 1 x= 1,y =z =0 = (xze xy − 2e xy − 2)|x =1,y =z =0 = −4 = 0 Por lo tanto, el Teorema de la función implícita garantiza que las variables y y z son funciones de x para valores de x cercanos a 1. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 14 / 26

47. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación ) Usando la fórmula (4.3) del teorema (Cramer), ∂(f1 ,f2 ) ∂(x ,z ) (1, 0, 0) 1 2 x + yze xy e xy + 1 y (1) = − = det −4 4 3 1 x= 1 ,y = z = 0 −4 = = −1 4 y ∂(f1 ,f2 ) ∂(y ,x ) (1, 0, 0) 1 xze xy 2 x + yze xy z (1) = − = det −4 4 2 3 x= 1 ,y = z = 0 −4 = = −1 4 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 15 / 26

48. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación ) Usando la fórmula (4.3) del teorema (Cramer), ∂(f1 ,f2 ) ∂(x ,z ) (1, 0, 0) 1 2 x + yze xy e xy + 1 y (1) = − = det −4 4 3 1 x= 1 ,y = z = 0 −4 = = −1 4 y ∂(f1 ,f2 ) ∂(y ,x ) (1, 0, 0) 1 xze xy 2 x + yze xy z (1) = − = det −4 4 2 3 x= 1 ,y = z = 0 −4 = = −1 4 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 15 / 26

49. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación) Ahora bien. Podemos también usar otro método, con frecuencia útil: sabiendo que podemos usar el teorema, derivemos respecto a x nuestro sistema x 2 + ze xy + z = 1 3x + 2y + z = 3, suponiendo que las funciones y (x ), z (x ) existen, como también sus derivadas, y (x ), z (x ), para obtener 2 x + z e xy + z (y + xy )e xy + z = 0 (4.4) 3 + 2y + z = 0 Ahora sustituimos x = 1, y = z = 0, para obtener 2 + 2 z (1 ) = 0 (4.5) 3 + 2y (1) + z (1) = 0 Se sigue que la solución es la misma, z (1) = y (1) = −1. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 16 / 26

50. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación) Ahora bien. Podemos también usar otro método, con frecuencia útil: sabiendo que podemos usar el teorema, derivemos respecto a x nuestro sistema x 2 + ze xy + z = 1 3x + 2y + z = 3, suponiendo que las funciones y (x ), z (x ) existen, como también sus derivadas, y (x ), z (x ), para obtener 2 x + z e xy + z (y + xy )e xy + z = 0 (4.4) 3 + 2y + z = 0 Ahora sustituimos x = 1, y = z = 0, para obtener 2 + 2z (1) = 0 (4.5) 3 + 2y (1) + z (1) = 0 Se sigue que la solución es la misma, z (1) = y (1) = −1. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 16 / 26

51. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación) Ahora bien. Podemos también usar otro método, con frecuencia útil: sabiendo que podemos usar el teorema, derivemos respecto a x nuestro sistema x 2 + ze xy + z = 1 3x + 2y + z = 3, suponiendo que las funciones y (x ), z (x ) existen, como también sus derivadas, y (x ), z (x ), para obtener 2 x + z e xy + z (y + xy )e xy + z = 0 (4.4) 3 + 2y + z = 0 Ahora sustituimos x = 1, y = z = 0, para obtener 2 + 2z (1) = 0 (4.5) 3 + 2y (1) + z (1) = 0 Se sigue que la solución es la misma, z (1) = y (1) = −1. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 16 / 26

52. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Continuación) Usando este método para calcular las derivadas segundas y (x ) y z (x ) derivamos, con respecto a x, cada ecuación del sistema (4.4): 2 x + z e xy + z (y + xy )e xy + z = 0 3 + 2y + z = 0 Después de simplicar obtenemos 2 +z e xy + 2z (y + xy )e xy + z (2y + xy )e xy + z (y + xy )2 e xy +z = 0 2y +z = 0 y sustituyendo x = 1, y (1) = z (1) = 0, z (1) = y (1) = −1, 2 + 2z (1) = 0 2 y (1) + z (1) = 0 De aquí vemos que z (1) = −1, y (1) = 1/2. Derivando sucesivamente podemos obtener las derivadas de cualquier orden z (n) (1), y (n) (1). Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 17 / 26

57. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo (Curvas de indiferencia) Supongamos que hay dos bienes y un consumidor tiene unas preferencias representadas por la función de utilidad u (x , y ). Las curvas de indiferencia del consumidor son los conjuntos {(x , y ) ∈ R2 : x , y 0, u (x , y ) = C , C ∈ R} Supongamos que la función u (x , y ) es diferenciable y que ∂u ∂u 0 0 ∂x ∂y Aplicando el Teorema de la función implícita, vemos que la ecuación u (x , y ) = C dene a y como una función de x. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 18 / 26

61. El Teorema de la función implícita Ejemplos Ejemplo El conjunto {(x , y ) ∈ R2 : x , y 0, u (x , y ) = C } se puede representar como la gráca de la función y (x ). y(x) y(a) { (x,y) : u(x,y) = C } a Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 19 / 26

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