Muestreo Estadístico, Facultad de Ciencias Económicas

Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Auditoría
Seminario de Integración Profesional
Edificio S-12
Lic. Carlos Mauricio García
MUESTREO ESTADISTICO
Grupo No. 11
Guatemala, 11 de Febrero de 2013

Muestreo Estadistico, 11 de febrero del 2013
INDICE
INTRODUCCION................................................................................................................ 4
CAPITULO I........................................................................................................................ 5
MUESTREO ESTADÍSTICO .............................................................................................. 5
Objetivos del Muestreo Estadístico:................................................................................... 5
Ventajas y Desventajas del Muestreo Estadístico:.................Error! Bookmark not defined.
USOS DEL MUESTREO .................................................................................................... 6
CONCEPTOS BÁSICOS.................................................................................................... 6
Estadística:...................................................................................................................... 7
Muestreo:......................................................................................................................... 7
Muestreo Estadístico:...................................................................................................... 7
Espacio Muestral:............................................................................................................ 8
Población:........................................................................................................................ 8
Censo:.............................................................................................................................. 8
Muestra:........................................................................................................................... 9
Unidades de muestreo:................................................................................................... 9
Unidades de análisis: ...................................................................................................... 9
Universo:.......................................................................................................................... 9
Elemento o individuo (muestral):....................................................................................10
Parámetro.......................................................................................................................10
Estadístico......................................................................................................................10
Error Muestral, de estimación o standard......................................................................10
Nivel de Confianza. ........................................................................................................10
Varianza Poblacional......................................................................................................11
Estadística Inductiva o Inferencial .................................................................................11
Estadístico o Estadígrafo .............................................................................................11
Parámetros:....................................................................................................................11

CAPITULO II......................................................................................................................12
TECNICAS DEL MUESTREO ESTADISTICO..................................................................12
I. Muestreo probabilístico...............................................................................................12
II. Métodos de muestreo no probabilísticos...................................................................15
Ventajas e inconvenientes de los distintos tipos de muestreo probabilístico ...............18
CAPITULO III.....................................................................................................................20
3.1 NIVELES O ESCALAS DE MEDICIONES..................................................................20
3.2 Cálculo del tamaño de la muestra..........................................................................21
3.2. 1. Tamaño de muestra para estimar la media de la población ..............................21
3.2.2. Tamaño de muestra para estimar la proporción de la población ..................21
CAPITULO IV.....................................................................................................................22
CASOS PRÁCTICOS ........................................................................................................22
Error Estándar de la Media ...........................................................................................22
Estimación de parámetros..............................................................................................23
Tamaño de la muestra ...................................................................................................23
Error absoluto y relativo del muestreo...........................................................................24
Aplicación práctica de Muestreo Aleatorio.....................................................................26
Muestreo Sistemático.....................................................................................................29
Muestreo Estratificado....................................................................................................29
Estimación por intervalo de confianza ...........................................................................30
Error estándar de la media:...........................................................................................30
Conclusiones......................................................................................................................34
Recomendaciones .............................................................................................................35
Bibliografía .........................................................................................................................36

INTRODUCCION
El muestreo estadístico es una herramienta utilizada por los auditores para
seleccionar pequeñas muestras o grandes muestras de acuerdo a lo solicitado por
el cliente, el objetivo de este es de agilizar los trabajos y minimizar las pruebas con
el afán de lograr mejores resultados en corto tiempo.

CAPITULO I
MUESTREO ESTADÍSTICO
En el presente trabajo se hará referencia al muestreo estadístico, técnicas, niveles
y tipos fundamentales de un muestreo
El muestreo como herramienta de la investigación científica arroja resultados que
se pueden utilizar para concluir un determinado estudio de la población, al igual
las técnicas selectivas que se requieren para dicho estudio de acuerdo a lo que se
va a evaluar; permite una reducción considerable de los costos materiales del
estudio, una mayor rapidez en la obtención de la información y el logro de
resultados con máxima calidad.
Objetivos del Muestreo Estadístico:
 Caracterizar una muestra
 Estimar parámetros poblaciones por medio de una muestra. A esto se le
conoce como Inferencia Estadística.
 Probar Hipótesis. Permite aceptar o rechazar una hipótesis de conformidad
con el grado de significación definida previamente.
También se dice que, es seleccionar una muestra para obtener estimadores que
al menor costo permitan estimar con suficiente confianza las características de
una población.

USOS DEL MUESTREO
1. Cuando es imposible contar todos los elementos de la población Eje. Las
estrellas del universo, la arena de las playas, los peces de un lago, los
glóbulos rojos en la corriente sanguínea, etc.
2. Cuando en la prueba se destruye el objeto, Eje. La duración en horas de
un tubo fluorescente, la duración y resistencia de los neumáticos.
3. Cuando el tiempo y el costo son insuficientes, Eje: Cuando se quiere tomar
una decisión rápida y se dispone de muy poco tiempo para estimar el
porcentaje de votos que tendría su favor determinado candidato.
4. En Auditoria. Ejes. Seleccionar un grupo de facturas en un determinado día
para verificar el IVA, tomar una muestra para verificar existencia físicas de
un inventario.
CONCEPTOS BÁSICOS
El muestreo estadístico es un procedimiento por el que se ingresan los valores
verdaderos de una población a través de la experiencia obtenida con una
muestra.
En estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a
partir de una población. En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más
pequeño que el tamaño de la población, se puede extraer dos o más muestras de
la misma población.

Estadística:
Es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya
sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o
irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma
aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras
palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la
investigación científica.
Muestreo:
Es el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una
población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras
de población.
Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo
de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque
hay muchos diseños de la muestra.
Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para
cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que
variaran de una muestra a otra.
Muestreo Estadístico:
Se basa en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los
individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una
muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la
misma probabilidad de ser elegidas.

Espacio Muestra:
Consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un
experimento aleatorio.
Población:
Es todo conjunto de elementos, finito o infinito, definido por una o más
características, de las que gozan todos los elementos que lo componen, y sólo
ellos.
En muestreo se entiende por población a la totalidad del universo que interesa
considerar, y que es necesario que esté bien definido para que se sepa en todo
momento que elementos lo componen.
No obstante, cuando se realiza un trabajo puntual, conviene distinguir entre
población teórica: conjunto de elementos a los cuales se quieren extrapolar los
resultados, y población estudiada: conjunto de elementos accesibles en nuestro
estudio.
Censo:
En ocasiones resulta posible estudiar cada uno de los elementos que componen la
población, realizándose lo que se denomina un censo, es decir, el estudio de
todos los elementos que componen la población.
La realización de un censo no siempre es posible, por diferentes motivos:
 Economía: el estudio de todos los elementos que componen una población,
sobre todo si esta es grande, suele ser un problema costoso en tiempo,
dinero, etc.;
 Que las pruebas a las que hay que someter a los sujetos sean destructivas;
 Que la población sea infinita o tan grande que exceda las posibilidades del
investigador.

Si la numeración de elementos, se realiza sobre la población accesible o
estudiada, y no sobre la población teórica, entonces el proceso recibe el nombre
de marco o espacio muestral.
Muestra:
En todas las ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo, lo
que hacemos es trabajar con una muestra, entendiendo por tal una parte
representativa de la población. Para que una muestra sea representativa, y por lo
tanto útil, debe de reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población,
ejemplificar las características de la misma.
Cuando decimos que una muestra es representativa indicamos que reúne
aproximadamente las características de la población que son importantes para la
investigación.
 Población Los estadísticos usan la palabra población para referirse no sólo
a personas si no a todos los elementos que han sido escogidos para su
estudio.
 Muestra Los estadísticos emplean la palabra muestra para describir una
porción escogida de la población. Matemáticamente, podemos describir
muestras y poblaciones al emplear mediciones como la Media, Mediana, la
moda, la desviación estándar. Cuando estos términos describen una
muestra se denominan estadísticas.
Unidades de muestreo:
Número de elementos de la población, no solapados, que se van a estudiar. Todo
miembro de la población pertenecerá a una y sólo una unidad de muestreo.
Unidades de análisis:
Objeto o individuo del que hay que obtener la información.
Universo:
Es la serie real o hipótesis de elementos que comparten unas características
definidas relacionadas con el programa de investigación.

Elemento o individuo (muestral):
Es la unidad más pequeña en la que podemos descomponer la muestra, la
población o el universo. Esta unidad puede ser una persona, un grupo, un centro,
etc. La identificación de este elemento está en función del problema de
investigación.
Parámetro.
Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población.
Estadístico.
Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una
estimación de los parámetros.
Error Muestral, de estimación o standard.
Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una
medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al
valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué
probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se
hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error,
pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos
cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza
que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un
estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño.
Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico
y su fiabilidad.
Nivel de Confianza.
Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier
información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad
(Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el

intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del
parámetro.
Varianza Poblacional.
Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de
entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la
población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que
estimarlo a partir de datos de estudios previos.
Estadística Inductiva o Inferencial
Es aquella a través de la cual es posible obtener conclusiones importantes de una
población con el análisis de una muestra seleccionada de la misma.
Estadístico o Estadígrafo
Es una medida estadística de una muestra. Medida utilizada para describir
algunas características de una muestra, Eje. El promedio, la moda, desviación
estándar, etc.
Parámetros:
• Medida estadística de una población. Es una medida utilizada para
describir algunas características de una población, Eje. El promedio, la
moda, desviación estándar.

CAPITULO II
TECNICAS DEL MUESTREO ESTADISTICO
Existen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo,
aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos:
 Métodos de muestreo probabilísticos y
 Métodos de muestreo no probabilísticos.
I. Muestreo probabilístico
Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el
principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos
tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y,
consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma
probabilidad de ser seleccionadas. Sólo estos métodos de muestreo
probabilísticos nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por
tanto, los más recomendables. Dentro de los métodos de muestreo probabilísticos
encontramos los siguientes tipos:
 Muestreo aleatorio simple
 Muestreo aleatorio sistemático
 Muestreo aleatorio estratificado
1. Afijación Simple
2. Afijación Proporcional
3. Afijación Óptima
 Muestreo aleatorio por conglomerados
Muestreo aleatorio simple:
El procedimiento empleado es el siguiente:
1) se asigna un número a cada individuo de la población y

2) a través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de
números aleatorios, números aleatorios generadas con una calculadora u
ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el
tamaño de muestra requerido.
Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad práctica
cuando la población que estamos manejando es muy grande.
Muestreo aleatorio sistemático:
Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la
población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se
parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y los elementos
que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,..., i+(n-1)k,
es decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el
tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que
empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k.
El riesgo de este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades
en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad
constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población.
Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos
en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un
muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo
hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los dos sexos.
Muestreo aleatorio estratificado:
Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los
procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra.
Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen
gran homogeneidad respecto a alguna característica (se puede estratificar, por

ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil,
etc.). Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos
los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la muestra. Cada
estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el
muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos
que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son
demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población.
(Tamaño geográfico, sexos, edades,...).
La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina
afijación, y puede ser de diferentes tipos:
Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos
muéstrales.
Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño)
de la población en cada estrato.
Afijación Óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de
modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación
ya que no se suele conocer la desviación.
Muestreo aleatorio por conglomerados:
Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar
directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muéstrales
son los elementos de la población.
En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos
de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las
unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado

producto, etc., son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden
utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales.
Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo
por áreas".
El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto
número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral
establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los
conglomerados elegidos.
II. Métodos de muestreo no probabilísticos
A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta
excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo
conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones (estimaciones
inferenciales sobre la población), pues no se tiene certeza de que la muestra
extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la
misma probabilidad de se elegidos. En general se seleccionan a los sujetos
siguiendo determinados criterios procurando, en la medida de lo posible, que la
muestra sea representativa.
En algunas circunstancias los métodos estadísticos y epidemiológicos permiten
resolver los problemas de representatividad aun en situaciones de muestreo no
probabilístico, por ejemplo los estudios de caso-control, donde los casos no son
seleccionados aleatoriamente de la población.
Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados en investigación
encontramos:
 Muestreo por cuotas
 Muestreo intencional o de conveniencia
 Bola de nieve

 Muestreo discrecional
Muestreo por cuotas:
También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre
la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de los
individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación.
Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no
tiene el carácter de aleatoriedad de aquél.
En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de
individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos
de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la
cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características.
Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.
Muestreo intencional o de conveniencia:
Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener
muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos
supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales
de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.
También puede ser que el investigador seleccione directa e intencionadamente los
individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar
como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso (los profesores de
universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).
Bola de nieve:
Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y
así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy
frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales",
delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.

Muestreo Discrecional ·
A criterio del investigador los elementos son elegidos sobre lo que él cree que
pueden aportar al estudio.
Muestreo en la Auditoría
Generalidades: Las normas de auditoria relativas a la ejecución del trabajo
establecen la obligación del auditor de obtener, mediante sus procedimientos de
auditoria, evidencias comprobatorias suficientes y componentes para suministrar
una base objetiva para su opinión.
El auditor no está obligado a examinar todas y cada una de las transacciones de la
empresa o de las partidas que forman los saldos finales, ya que mediante la
aplicación de sus procedimientos de auditoria a una muestra representativa de
estas transacciones o partidas puede obtener la evidencia que requiere.
El Muestreo en la Auditoría: Es el proceso de selección de una muestra entre un
grupo más grande de partidas (llamado población, campo, o universo), y que
utiliza las características de la muestra para llegar a deducciones acerca de las
características del campo completo de partidas.
Consiste en la aplicación de un procedimiento de cumplimiento sustantivo a
menos de la totalidad en las partidas que forman el saldo de una cuenta o clase de
transacción (muestra), que permitan al auditor obtener y evaluar evidencias de
alguna característica del saldo o la transacción y que permite llegar a una
conclusión en relación con las características.

Ventajas e inconvenientes de los distintos tipos de muestreo probabilístico
Características Ventajas Inconvenientes
Aleatorio
simple
Se selecciona una
muestra de tamaño
n de una población
de N unidades, cada
elemento tiene una
probabilidad de
inclusión igual y
conocida de n/N.
fácil
comprensión.
rápido de
medias y
varianzas.
teoría
estadística, y
por tanto
existen
paquetes
informáticos
para analizar
los datos
Requiere que se
posea de antemano
un listado completo
de toda la
población. Cuando
se trabaja con
muestras pequeñas
es posible que no
represente a la
población
adecuadamente.
Sistemático Conseguir un listado
de los N elementos
de la población
Determinar tamaño
muestral n.
Definir un intervalo
k= N/n.
Elegir un número
aleatorio, r, entre 1 y
k (r= arranque
aleatorio).
Seleccionar los
elementos de la
lista.
aplicar.
es necesario
tener un listado
de toda la
población.
población está
ordenada
siguiendo una
tendencia
conocida,
asegura una
cobertura de
unidades de
todos los tipos.
Si la constante de
muestreo está
asociada con el
fenómeno de
interés, las
estimaciones
obtenidas a partir
de la muestra
pueden contener
sesgo de selección
Estratificado En ciertas ocasiones
resultará
conveniente
estratificar la
muestra según
ciertas variables de
interés. Para ello
asegurar que la
muestra
represente
adecuadamente
a la población
la distribución en la
población de las
variables

debemos conocer la
composición
estratificada de la
población objetivo a
en función de
unas

CAPITULO III
3.1 NIVELES O ESCALAS DE MEDICIONES
Escala Nominal:
La escala de medida nominal, puede considerarse la escala de nivel más bajo, y
consiste en la asignación, puramente arbitraria de números o símbolos a cada una
de las diferentes categorías en las cuales podemos dividir el carácter que
observamos, sin que puedan establecerse relaciones entre dichas categorías, a no
ser el de que cada elemento pueda pertenecer a una y solo una de estas
categorías.
Se trata de agrupar objetos en clases, de modo que todos los que pertenezcan a
la misma sean equivalentes respecto del atributo o propiedad en estudio, después
de lo cual se asignan nombres a tales clases, y el hecho de que a veces, en lugar
de denominaciones, se le atribuyan números, puede ser una de las razones por
las cuales se le conoce como "medidas nominales".
Escala Ordinal:
En caso de que puedan detectarse diversos grados de un atributo o propiedad de
un objeto, la medida ordinal es la indicada, puesto que entonces puede recurrirse
a la propiedad de "orden" de los números asignándolo a los objetos en estudio de
modo que, si la cifra asignada al objeto A es mayor que la de B, puede inferirse
que A posee un mayor grado de atributo que B.
La asignación de números a las distintas categorías no puede ser completamente
arbitraria, debe hacerse atendiendo al orden existente entre éstas.
Escalas de intervalos iguales:
La escala de intervalos iguales, está caracterizada por una unidad de medida
común y constante que asigna un número igual al número de unidades
equivalentes a la de la magnitud que pose. Esta escala, además de poseer las
características de la escala ordinal, encontramos que la asignación de los

números a los elemento es tan precisa que podemos determinar la magnitud de
los intervalos (distancia) entre todos los elementos de la escala. A el elemento
observado.
Podemos decir que la escala de intervalos es la primera escala verdaderamente
cuantitativa y a los caracteres que posean esta escala de medida pueden
calculársele todas las medidas estadísticas a excepción del coeficiente de
variación.
Escala de coeficientes o Razones:
El nivel de medida más elevado es el de cocientes o razones, y se diferencia de
las escalas de intervalos iguales únicamente por poseer un punto cero propio
como origen; es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la
magnitud que estamos midiendo. Si se observa una carencia total de propiedad,
se dispone de una unidad de medida para el efecto.
3.2 Cálculo del tamaño de la muestra
A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar
en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error
muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza.
3.2. 1. Tamaño de muestra para estimar la media de la población
Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra
empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos
supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en
segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en
nuestra estimación.
3.2.2. Tamaño de muestra para estimar la proporción de la población
Para calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones
poblacionales hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la
media.

CAPITULO IV
CASOS PRÁCTICOS
Error Estándar de la Media
Medida estadística que mide la dispersión de todas las medias muestrales de
tamaño “n” alrededor de la media poblacional. Se representa por:
бx = Cuando es estimado con los datos de la población
Sx = Cuando es estimado con los datos de la muestra.
En otras palabras, el Error Estándar de la Media es la desviación estándar de la
distribución muestral de la media.
FORMULAS:
Cuando se conoce la desviación estándar de la población (б):
б x = б . N – n Se conoce б y n . 100 5%
n N – 1 N
Para población finita
Se desconoce la desviación estándar de la población (б) y se conoce la desviación
estándar de la muestra (S):
Sx = S N – n
n N - 1
Para Población Infinita. Se conoce S y n . 100 5%
N

Estimación de parámetros
Después de seleccionada una muestra es necesario estimar los parámetros
poblaciones, y estos pueden ser, la media, el total de la variable, la varianza, etc.,
a) Estimación puntual X = μ
b) Estimación por Intervalos de Confianza
La media se estima dentro de un intervalo de acuerdo a una probabilidad de
confianza que se acerca que puede ser 95 % y 99% por lo general.
Se utiliza la fórmula siguiente:
μ = X + - Z (Sx)
***
*** б x si se conoce la desviación estándar de la población.
Tamaño de la muestra
El tamaño de la muestra o sea el número de elementos a seleccionar no debe ser
a criterio del investigador puesto que existen varias fórmulas para calcular el
tamaño óptimo de una muestra, una de ellas es la siguiente:
2 2
n = z . б . N_____
2 2 2
z .б + N (Ea)
Donde:
Z = Número de desviaciones estándar, de acuerdo a la probabilidad o nivel de
confianza (95% y 99% los más usados)
б = Desviación estándar de la población
N = Total de elementos de la población
Ea = Error absoluto de muestreo.

Error absoluto y relativo del muestreo
FORMULAS:
Error Absoluto = E (a) = +,- Z. Sx
Error Relativo = E(r) = Z. Sx
x
Ejemplo:
El contador de un supermercado decidió tomar una muestra aleatoria, de un grupo
de facturas numeradas de la 001 a la 200. Se pide:
a) Determinar el tamaño optimo de la muestra, con un nivel de confianza del 99%
y un error de muestreo de Q. 9.00 miles; si se sabe que la desviación estándar de
la población es 8
FORMULA PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA
2 2
n = z . б . N_____
2 2 2
z .б + N (Ea)
б = 8 Desviación estándar de la población
N = 200 Total de elementos de la población
Ea = 9 Error absoluto del muestreo
Z = 2.57 # de desviaciones estándar de acuerdo a la probabilidad o nivel de
confianza (99%)
Z = 0.99 = 0.495 Se busca dentro de la tabla II (áreas bajo la curva normal
de probabilidad)
2
Valor encontrado 0.4949 en fila 2.5 col. 7
Z = 2.57
Sustitución de valores en la fórmula:
n = Z ² б ² N

Z ² б ² + N (Ea) ²
n = (2.57) ² (8) ² (200)
(2.57) ² (8) ² + (200) (9) ²
n = 84542.72 = 84542.72 = 5
422.7136 + 16200 16622.71
B) Seleccionar las facturas utilizando la tabla de números aleatorios, iniciando en
la hoja 1, fila 6, columna 10 con los siguientes convencionalismos:
- Columna hacia abajo
- Al finalizar siga en la columna de la derecha hasta completar la muestra.
- Tome los últimos dígitos
Ej. Si la Población es 1000 tomo los últimos 4 dígitos
Si la población es 200 se toman los últimos 3 dígitos
***Los dígitos a tomar dependen del No de dígitos de la población
Las muestras seleccionadas son las siguientes:
No. 053
No. 045
No. 030
No. 104
No. 178
PROBLEMA
El gerente financiero le ordena que le seleccione una muestra aleatoria de 5
facturas las cuales están numeradas de 001 a 201. Elegir las facturas con base
en la tabla de números aleatorios, iniciando en la primera hoja, fila 5 y columna 9,
verticalmente, últimos dígitos, al terminar una columna (completa) puede seguir en
la siguiente si es necesario.
Muestras seleccionadas:
1.) 013

2.) 014
3.) 158
4.) 106
5.) 180
Aplicación práctica de Muestreo Aleatorio
EJEMPLO:
Lo han contratado para que haga auditoria a los saldos de 7 clientes de la
empresa “Si no cobro, no me pagan”, para lo cual le presentan el detalle por
cliente y sus saldos en miles de quetzales:
1 25 23 28 2 14 80 122 15 18
2 24 18 16 8 19 14 43 22 11
12 18 13 88 95 64 95 64
Con la información anterior deberá realizar:
a) Seleccionar los clientes utilizando la tabla de números aleatorios,
iniciando en fila cincuenta y dos, en la columna dos, con el criterio
siguiente: Columna hacia la derecha, al terminar una fila puede pasar con
la siguiente, hacia abajo, últimos dígitos.
b) La desviación estándar de la muestra.
c) Estimar por intervalo el saldo promedio de clientes, con una probabilidad
del 99%.
d) Estimar puntualmente el saldo promedio poblacional de los clientes
Paso no. 1:
Se ordenan ascendentemente y numeran correlativamente los datos de los
clientes

Cliente No. Saldo Cliente No. Saldo
1 2 14 18
2 8 15 19
3 10 16 22
4 11 17 23
5 11 18 24
6 12 19 25
7 13 20 28
8 14 21 43
9 14 22 64
10 15 23 80
11 16 24 88
12 18 25 95
13 18 26 122
Paso no. 2:
Seleccionar las muestras mediante la tabla de números aleatorios de acuerdo al
criterio indicado.
Respuesta a inciso a)
Cliente No. Saldo Q.
20 28
22 64
15 19
1 2
16 22
24 88
13 18
Total 241
NOTA:
Si no permitimos que aparezca el # seleccionado varias veces el muestreo sin
reposición y la población se vuelve finita.
Por el contrario si permitimos que el número seleccionado aparezca varias veces
el muestreo será con reposición y la población se vuelve infinita.

Paso No. 3:
Calcular la media de la muestra (por estimación puntual, esta es igual a la media
de la población)
X = 241 __
7 X = 34
Paso No. 4:
Calcular la desviación estándar de la muestra
Clientes Saldos (x – X) (x – X)2
20 28 -6 36
22 64 30 900
15 19 -15 225
1 2 -32 1.024
16 22 -12 144
24 88 54 2.916
13 18 -16 256
241 0 5.501
Desviación Estándar de la muestra, respuesta inciso b)
S = 5,501 = 785.86 = S = 28.03
7
Paso No. 5:
Estimar el saldo promedio de los clientes (la media poblacional) con intervalo de
confianza del 99%
μ = X +,- Z (Gx) GX = S N - n
n N - 1
GX = 28.03 26 - 7 = 9.23
7 26 - 1
Respuesta inciso c)
Límite Inferior = μ = 34 – 2.57 (9.23) = 10.28
Límite Superior = μ = 34 + 2.57 (9.23) = 57.72

Paso No. 6:
Estimación de la media poblacional por estimación puntual
Media de la Muestra = X = 34
Entonces
Media de la Población = μ = 34
Respuesta a inciso d)
Muestreo Sistemático
Una vez obtenido el tamaño de la muestra, se determina un intervalo de selección.
i = N
n
Se elige al azar un número i, y se incluye en la muestra cuyo origen corresponde
al número elegido. Luego se incluye cada i – esimo elemento a partir del primero
seleccionado hasta completar la muestra. Para la estimación de la media puntual
y por intervalo, se procede en igual forma que en el muestreo simple.
Muestreo Estratificado
En este tipo de muestreo la población se subdivide en grupos parecidos entre si
llamados estratos y se determina el tamaño de la muestra y esta se reparte o
divide entre cada estrato.
Para obtener una muestra estratificada se divide la población en estratos
homogéneos y los elementos de la muestra son seleccionados al azar o por
método sistemático en cada estrato.
Las estimaciones de la población basadas en la muestra estratificada
usualmente tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si la población
entera fuera muestreada mediante muestreo aleatorio simple. El número de

elementos seleccionados de cada estrato puede ser proporcional o
desproporcional al tamaño del estrato en relación con la población.
La distribución de la muestra se conoce como afijación de la muestra (distribuir la
muestra)
_
Estimación puntual = X = μ
_
X = W1 X1 + W2 X2 + ..... Wn Xn
DONDE
W1, W2, WN = ponderación para cada estrato
W = n/N fracción de muestreo (fm)
X1, X2, Xn = promedio para cada estrato.
Estimación por intervalo de confianza
_
μ = X + . Z (Sx)
Donde:
X = Promedio de la muestra
Z = Valor estandarizado (No. de desv. Estándar de acuerdo al nivel
de confianza)
Sx = Error estándar de la media.
Error estándar de la media:
2 2 2 2 2 2
Sx = W1 S1 + W2 S2 + Wn Sn
n1 n2 nn
Dónde:
S = Desviación Estándar
W = Ponderación para cada estrato

Desviación estándar de la muestra:
2
S = ∑ (x-X)
N
EJEMPLO
En 2000 establecimientos comerciales se toma una muestra de 500
establecimientos formando 3 estratos. Para cada uno se calcula la utilidad
promedio mensual en quetzales y la desviación estándar, la información es la
siguiente:
Estrato
Establecimiento
Cantidad Promedio
Desviación
Estandar
I 800 100 20
II 700 800 50
III 500 1300 100
2000
Se pide:
a) Distribuir la muestra con afijación proporcional
b) Estimar Puntualmente la utilidad promedio mensual
c) Estimar por intervalo de confianza la media con un 75% de confianza.
d) Estimar la utilidad promedio de toda la población (estimación total)
Solución:
Encontrar la fracción de muestreo:
Fm o W = W1 = 800/2000 = 0.40
W2 = 700/2000 = 0.35
W3 = 500/2000 = 0.25
a) Distribución proporcional de la muestra:
Estrato I 500 x 0.40 = 200
Estrato II 500 x 0.35 = 175

Estrato III 500 x 0.25 = 125
b) Estimar puntualmente la utilidad promedio mensual
X = W1 X1 + W2 X2 + …. Wn Xn
_
X = 0.40 (100) + 0.35 (800) + 0.25 (1300)
_ _
X = 40 + 280 + 325 X = 645
Con base a la muestra se estima que la utilidad promedio es de Q. 645.00
c) Estimación por intervalo de confianza (75%)
_
μ = X + - Z (Sx)
Donde:
_
X = 645.00
Z = 1.15 (0.75/2 = 0.375 luego en tabla II)
Sx = ? No lo conocemos por lo que hay que calcularlo:
2 2 2 2 2 2
Sx = ( 0.40) (20) + (0.35) (50) + (0.25) (100)
200 175 125
Sx = 2.66 Aprox.
Estimar por intervalo la media μ = 645 + - 1.15 ( 2.66)
Límite Inferior μ = 645 - 3.059 = 641.94
Límite Superior μ = 645 + 3.059 = 648.06

R/ Con una probabilidad del 75% de acertar se estima que el promedio de
utilidad de los 2000 establecimientos comerciales oscila entre Q 642.00 y Q.
648.00
d) Estimación de la utilidad total: X = X * N
X = 645 x 2000 = 1,290,000.00

Conclusiones
El muestreo es sencillamente el procedimiento que se utiliza para de una
población extraer una pequeña muestra y en base a esta establecer los
lineamientos que se necesitan tener en los documentos que se analizan en la
auditoria.

Recomendaciones
.
Como auditores es recomendable aplicar las técnicas de muestreo ya que
disminuirá la carga de trabajo y las pruebas se realizaran en base a documentos
seleccionados. .

Bibliografía
 www.monografias.com/trabajos14/auditoria/auditoria.shtml
 WIKIPEDIA.ORG

Muestreo Estadístico, Facultad de Ciencias Económicas

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