Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.

1. UNIVERSIDAD PERUANA UNION
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
EAP Ingeniería de Sistemas
TEMA:
Máximos y Mínimos de una función de varias variables
ALUMNOS:
Edwin Roi Casas Huamanta
Henry Percy Cabrera Cubas
James Padilla Guevara
PROFESORA:
Lic. Jessica Pérez Rivera
CURSO:
Cálculo III
Tarapoto, Noviembre de 2013
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2. INDICE
INTRODUCION .......................................................................................................................... 3
MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. .. 4
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: ......................................................... 6
MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES ...... 7
SUB-MATRIZ ANGULAR: ............................................................................................ 7
CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS Y
MINIMOS RELATIVOS. ................................................................................................ 8
MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES……………….9
METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE………….9
CONDICIONES DE KUHN – TUCKER…………………10
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3. INTRODUCION
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de
hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo
diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo
parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los
valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas
ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el
tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin
embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de
considerarse dos o más variables.
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4. I.
MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES.
1.1.
Definición:
a. La función f: D⊂R2R definida en un conjunto abierto D ⊂R2, tiene un valor
máximo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P(x0 , y0) ε D tal
que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el valor
máximo absoluto de f en D.
b. La función f: D ⊂R2R definida en un conjunto abierto D
⊂
R2, tiene un
valor mínimo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P(x0 , y0) ε
D tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el
valor mínimo absoluto de f en D.
Si la función f: D⊂R2R es continua en un conjunto cerrado D⊂R2 entonces existe
al menos un punto P que pertenece a D donde f tiene un valor mínimo absoluto.
c. La función f: D ⊂R2R, definida en un conjunto abierto D ⊂Rn tiene un valor
mínimo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 ,ε) ⊂ D tal
que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 ,ε) ⊂ D.
d. La función f:D⊂RnR, definida en un conjunto abierto D⊂Rn, tiene un valor
máximo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 ,ε) ⊂ D tal
que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 ,ε) ⊂ D.
A los valores máximos y mínimos relativos de la función f:D⊂RnR le llamaremos
extremos de la función f.
1.2.
Teorema
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5. Si la función f:D⊂RnR, definida en un conjunto abierto de D⊂Rn tiene un valor
extremo en x0ε D y Dk f(x0), existe entoncesDk f(x0) = 0 para todo k=1,2,3,4….n.
Si la función f tiene un valor máximo relativo en x0ε D entonces existe un B(x0 ,ε) ⊂
D
Tal que f(x0) ≤ que f (x0), para todo xε B(x0 ,ε), luego
Donde µk = (0,0,…..,1, o,….) esto es debido a que , para cada x0+ hµk ε B(x0 ,ε)
Se tiene
esto nos implica que si h > 0 se tiene:
ahora si h<0, entonces
Como Dk f(x0), existe se tiene que:
Dk f(x0), =
=
= donde
Dk f(x0) = 0
Por lo tanto los valores extremos de una función f:D⊂RnR definida en el conjunto
D puede ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de f son ceros.
Definición:
Sea la función f:D⊂RnR, definida en un conjunto de abierto D⊂Rn. Los puntos x0
,ε
D, donde todas las derivadas parciales del primer orden de f son ceros o no
existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f.
Para el caso de las funciones f:D⊂R2R, diremos que los puntos P (a,b) para los
cuales
,
= 0 se dice que son puntos críticos de f. Los puntos críticos
juegan un papel muy importante para los máximos y mínimos relativos.
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6. II. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
Sea f:D⊂R2R una función definida en el conjunto abierto D de tal manera que las
derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la relación abierta.
Contienes un punto (a,b) tal que
= 0, para determinar si en
dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad.
∆=
–(
)2
i)
si ∆>0 y
entonces f(a,b)es un valor mínimo relativo.
ii)
si ∆>0 y
, entonces f(a,b)es un valor máximo relativo.
iii)
si ∆<0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla.
iv)
si ∆=0, este criterio no da información.
En forma práctica se puede recordar la formula ∆ en el criterio de la segunda
derivada y que viene lado por el determinante.
∆=|
| siendo
=
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7. III. MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS
VARIABLES
3.1. Forma cuadrática: Si A es una matriz simétrica de orden n, una función
cuadrática en Rn,es una función p:RnR, definida por: p(x)=xA.x , donde
x=(x1.x2………..xn) ε Rn
Observación:se observa que le desarrollo de una forma cuadrática en términos de
las variables x, y, z corresponde a un polinomio homogéneo de grado 2, en donde
los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos de la diagonal
principal de la matriz simétrica.
IV. SUB-MATRIZ ANGULAR:
Sea A=[aij]nxn una matriz cuadrada de orden n.a11 kjn
A=
]
A la sub – matriz A1 =[a11], A2 =
………An= A, se denomina sub –
matrices angulares de A.
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8. V.
CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS
Y MINIMOS RELATIVOS.
Si f:D⊂RnR es una función donde sus derivadas parciales de segundo orden son
continuas en un conjunto abierto D⊂Rny sea x0εRnun punto crítico, es decir D1 f(x0)
= 0, D2 f(x0) = 0,………, Dn f(x0) = 0, denotaremos por ∆n el determinante dela
matriz hessiana H (f(x0)), es decir.
∆=|H (f(x0))| = |
Entonces:
i)
a x0 corresponde a un mínimo relativo si: ∆1> 0, ∆2> 0,….., ∆n> 0 y cuyo
valor mínimo es f(x0).
ii)
a x0corresponde a un mínimo relativo si: ∆1> 0, ∆2> 0, ∆3> 0, ∆4> 0,…..y
cuyo valor máximo es f(x0).
VI. MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES
(Extremos Condicionados):
En los problemas prácticos de máximos y de minimizar una función f donde f(x,y)
está sujeta a condiciones específicas o restricciones en las variables, tales
restricciones pueden expresarse como igualdades o como desigualdades.
Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de igualdad
se emplea el método de multiplicadores de Lagrange.
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9. Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de
desigualdades
se emplean las condiciones de KUHN – TUCKER, para esto
daremos las definiciones siguientes:
a) Consideremos una función f:D⊂RnR definida en el conjunto D y sea
P(x1,x2,…..xn) ε D, se dice que
las variables
x1,x2,…..xnsatisfacen
n
condiciones de enlace, si existen funciones ⱷ ⱷ
1, 2,……ⱷ : R R tal que:
m
b) Consideremos una función f:D⊂RnR definida en el conjunto abierto D.
Diremos que el punto P0 ε D corresponde a un máximo condiciones de f
(mínimo condicionado de f) si: f(P) ≤ f(PO) , f(PO) ≤ f(P) para todo P y P0 que
cumplen las condiciones de enlace (*).
VII. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:
Suponiendo que se desee maximizar o minimizar la función f(x,y) sujeto a la
restricción g(x,y)=0, para esto formamos la función objetivo.
F(x,y,λ)=f(x,y) -,λ g(x,y)
Donde la calidad λ llamado multiplicador de Lagrange es independiente de x e y.
Luego se calcula las derivadas parciales para hallar los puntos críticos:
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10. La resolución de las 3 ecuaciones nos dan loa puntos críticos restringidos los cuales
satisfacen a la restricción, los máximos y mínimos se obtienen en forma similar que
los máximos y mínimos no restringidos.
Si x=a, y=b es un punto crítico y si ∆*=
.
)2
Si ∆*>0 entonces
Si ∆*≤ 0, no se tiene información en (a,b).
VIII. CONDICIONES DE KUHN – TUCKER.
Las condiciones de KUHN – TUCKER, establece que: un punto (x;y) es un máximo
local de f(a,b) cuando g(x,y) ≤ 0, solamente si existe un valor no negativo de
que
tal
y (x,y) satisface las condiciones de KUHN – TUCKER.
Estos últimos es suficiente si f(x,y) es cóncava hacia arriba y g(x,y) es cóncava
arriba , debido a que un punto máximo de f(x,y)es un punto mínimo de resultados
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11. también se puede aplicar para minimizar una función cóncava según una restricción
también cóncava hacia arriba, para el caso en la que la restricción de la forma
g(x,y)
entonces g(x,y) debe ser cóncava hacia abajo.
EJERCICIOS:
01. Obtener los máximos y mínimos de la función f(x,y)= 3x2+4y2-xy, sujeta a la
restricción 2x+ y=21
Solución:
Sea F(x,y, ) = f(x,y) –
F(x,y, )= 3x2+4y2-xy -
, calculando las derivadas
Entonces
entonces y=
Como 2x + y – 21 = 0 entonces 2x + = 21 de donde
P(8.5, 4)
11
entonces

12. = (6) (8) – (-1)2 = 47 > 0 y como
∆*=
= 6>0 y
Entonces (8.5, 4) es un mínimo restringido de f(x,y).
02. El costo de producción C, es una función de las cantidades producidas x e y
de dos tipos de artículos, esta dado por C=6x2 + 3y2 para minimizar tal costo
¿Qué cantidad de cada uno de los dos artículos debe producirse si: x + y
Solución:
Aplicando KUHN – TUCKER, con g(x,y) = x + y – 18
Entonces
–
–
I =0 entonces x=y=0 donde el punto P(0,0) no satisface la condición de
KUHN – TUCKER, 0 + 0 – 18 ≠0 por lo tanto el punto P (0,0) no es óptimo.
–
Entonces
–
Entonces x= 6 , y= 12
Como el punto P(6,12) satisface la condición KUHN – TUCKER 6 +12
– 18 = 0
entonces el punto P(6,12) es optimo .
12

13. Como f(x,y)=6x2 + 3y2 es cóncava hacia arriba, luego el punto P(6,12)
se tiene un mínimo en la producción que se encuentra bajo la retención
X +Y – 18
.
13

14. CONCLUSIONES
Con este material hemos pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen
para funciones reales de dos variables reales y que tienen que ver con la
determinación de puntos de extremo local se pueden extender a mayor número de
variables.
Por otro lado mediante los valores máximos y mínimos logramos saber la altura,
medida, valores al momento de trazar la curva de una función; se ha aprendido a
aplicar matriz hessiana, lo cual es de gran provecho porque así se determina una
parte muy importante del comportamiento de una función, tal como lo es el punto de
los máximos y mínimos.
Se ha visto que estos procesos son sencillos y solamente se necesita plantear
correctamente la matriz hessiana y luego simplemente se resuelve la matriz que se
tiene por el método que ya se conoce de la determinante de una matriz cuadrada.
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15. BIBLIOGRAFIA
Espinoza Ramos, Eduardo, Análisis Matemático IV.
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/apuntes/antigu/varias.pdf
http://www.damasorojas.com.ve/OPTIMD.pdf
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