Lineas de influencia (Puentes)

1. E 1e6 ANALISIS Y DISENO DE PUENTES DE CONCRETO ARii4ADO - METODO MSHTO . LRFD
A.1.0 LINEAS DE INFLUENCIA
A.I.1 PRINCIPIOS DE MULLER-BRESLAU
Uno de los métodos más eficaces para obtener lÍneas de influencia es el uso de principio
de Muller-Breslau, que dice que las ordenadas de la línea de influencia para cualquier
acción en una estructura son iguales a las de la curva de desviación que se obtiene
liberando la restricción que corresponde a esta acción e introduciendo un desplazamiento
unitario correspondiente en el resto de la estructura. El principio es aplicable a cualquier
estructura, estáticamente determinada o indeterminada y se puede demostrar con facilidad
usando la ley de Betti.
Considere una viga cargada de equilibrio, como en la figura 13-2a. Elimine el apoyo B y
sustituya su efecto por la reacción correspondiente R, , como se muestra en la figura
13-2b. Si la estructura se somete ahora a una carga hacia abajo Fen B de tal magnitud
que la desviación en B igual a la unidad, la viga tomará la forma desviada de la figura 13-
2c. Como la estructura original es estáticamente determinada,la liberación de una fuerza
restringente trasforma la estructura en un mecanismo y, por lo tanto, lafuerzaf' necesaria
para producir los desplazamientos de la figura 13-2c es cero. Sin embargo, la liberación
de una fuerza restringente en una estructura estáticamente indeterminada deja una
estructura estable porlo que el valorde la fuerza trgeneralmente no es igual a cero.
Aplicando la ley de Betti a los dos sistemas de fuerzas de la figura 13-2b y c, escribimos:
n,PrtnrPr+.... ..*n,,Pn-IxRu -Fx}
ING. CESAR ARANIS GARCIA-ROSSELL

2. LINEAS DE INFLUENCIA 1e7 E
s)
l-ig. 1.3.2 Lineadcintluenciaparauni:¡r'iqaestáticantentedetenninada.(a) Vigacargadae'rrequilibrio
en equilibri<) (b) Irl apo-r,o B sustituido por R,,. (c)Línea de [nt]ucncia para R,,. (d) Equilibrio nralrrc-
uidtlc<lttlasli¡,--rzasM, yV, .(c) Lincadelnfluencia¡taraM, .(g) Linearlcinflue¡rcia¡taraV,
Esta ecuación expresa el hecho de que el trabajo virtual externo realizado por el sistema
defuerzas de lafigura 13-2b durante el desplazamiento con el sistema de lafigura 13-2b
es igual al trabajo virtual externo efectuado por el sistema de la figura 13-2c durante el
desplazamiento con el sistema de la figura 13-2b. Esta última cántidad debe ser cero
porque no ocurre desviación en B de la figura 13-2b.
La ecuación precedente se puede escr¡bir:
Comparando esta ecuación con la ecuac¡ón 13-1a, vemos que la línea de desviación de
la figura 13-2c es la línea de influencia de la reacciónftB . Esto muestra que la línea de
influencia de la reacción se puede obtener liberando su efecto, es decir, eliminando el
soporte,B e introduciendo un desplazamiento unitario en.B en dirección hacia abajo, esto
es, opuesto a la dirección positiva de la reacción.
Usando simple estática podemos comprobar fácilmente que Ia ordenada de la desviación
en cualquier punto de la figura 13-2c es, de hecho, igual a la reacción si se aplica una
carga unitaria en este punto de la viga de la figura 13-2a.
Ahora apliquemos el principio de Muller-Breslau en el caso de la línea de influencia del
momento de flexión en cualquier sección E. Introducimos una articulación en E,liberando
de este modo el mornento de flexión en esta sección. Después aplicamos dos pares F
iguales y opuestos para producir una rotación unitaria relativa de los extremos de la viga
en E (figura 13-2e), Para demostrar que la línea de desviación en este caso es la línea
de influencia del momento de flexión en E, corte la viga de la figura 13-2a en la sección E
e introduzca dos pares de fuerzas iguales y opuestos M , y V, para mantener el equilibrio
(figura 13-2d). Aplicando la ley de Betti a los sistemas de las figuras 13-2d y 13-2c,
podemos escribir
nrPr + nrPz +.... ..* nnP, -lxM , - FxU
M r =2 n,P,
i=l
Esto demuestra rlue la línea de desviación de lafigura 13-2e es la línea de influencia para
el momento de flexión en E.
R¿ = f ',',i=l
P¿rntlclas
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3. I 1eB ANALISIS Y DISENO DE PUENTES DE CONCRETO ARf4ADO - METODO MSHTO - LRFD
La línea de influencia para el esfuerzo cortante en la sección E se puede obtener
introduciendo una traslación unitaria relativa sin rotación relativa de los dos extremos de
la viga en E (figura 13-29). Esto se logra introducíendo en E un mecanismo ficticio como
el que se muestra en la figura 13-2f y aplicando después dos fuerzas verticales F iguales
y opuestas. Con este mecanismo los dos extremos en E permanecen paralelos como
se muestra en la figura 13-29. Aplicando la ley de Betti a los sistemas de las figurasl 3-2d
y 13-29, podemos escribir:
nrP, + nrPr. +.... * nnP, -IxV, - Fx}
vt:in,r,
i=l
Lo cual demuestra que la línea de desviación de la figura 13-2f es la línea de influencia
para el esfuerzo cortante en E
Todas las líneas de influencia consideradas hasta aquíse componen de segmentos de
líneas rectas. Este es el caso para cualquier línea de influencia en cualquier estructura
estáticamente determinada. Por lo tanto, calculando una ordenada y conociendo la forma
de la línea de influencia se tienen datos suficientes para dibujarla. Esta ordenada se
puede calcular porconsideraciones de estática o por la geometría de la línea de influencia.
Todas las líneas de influencia de estructura estáticamente indeterminadas están
compuestas de líneas curvas y por lo tanto se deben calcular varias ordenadas. En la
figura 13-3 se usa el principio de Muller-Breslau para obtener la forma general de las
líneas de influencia para una reacción, un momento de flexión y el esfuerzo cortante en
una sección de una viga continua. Los dibujos de las líneas de influencia para varias
acciones en un armazón plano se deducen con el principio de Muller-Breslau en las
figuras 13-4.
I-ínea de Influencia para V,.
Línea de Influencia para una viga cclntinua
Línea de inlluencia para R¡¡
Líneas de l¡rrfluencia para lvl ¡
ING. CESAR ARANIS GARCIA-ROSSELL

4. LINEA-S DE INFLUENCIA 199
,1, Ir i t)
!---'rtnr I ,, ,trflr iiñ
I
')Y; Pc,r'r,cc,
Cl)':{ry|Iim]:F=
l-inci¡ ilc iltllitc¡-¡ciii ¡rer.r cl ¡ltt¡rncnlo elc
l,íncri ,:lr lrrllircncia ¡lri-a cl csfucrzt'r (-'.)t-ttiltfc ült n
Procedimiento para obtener líneas de infEuencla
Los pasos que se siguieron en la sección 13-3 para obtener la línea de influencia de
cualquíer acción se pueden resllmir como sigue:
1. Se libera la estructura elimir-rando la restricció¡r correspondiente a la acción
que se considere. Se redurce en uno el grado de indeterminación de la
estructura liberada comp arada con la estructura original. Se deduce que
si la estructura origínal es estáticamente determin ada,la estructura liberada
en un mecanismo.
2. lntroducir un desplazamientc unitario en la estructura f iberada en dirección
opuesta a la dirección positiva de la acción. Esto se logra aplicando una
fuerza (o un par de fuerzas iguales y opuestas) correspondiente a la acción.
3. Las ordenadas de la línea de desv,iación asíobtenidas son las ordenadas
de influencia de la acción. Las ordenadas de Ia línea de infiuencia son
positivas si están en la misnra dirección que la carga externa aplicada.
A1.2 LíNEAS DE INFLUENCIA PAR.A UNA V¡GA COF{ EXTÑEMOS EF,4POTRADOS.
Usemos ahora el principio de Muller-Breslau para encontrar las líneas de influencia para
los momentos de extremo de una viga con extremos empotrados. De ellas, con
ecuaciones de estática, se pueden determ¡ñar las lineas de influencia para reacción,
CAP¡TULO DE ESTUDIANTES ACI DE LA UI.IIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

5. ffi 200 ANALISIS Y DISEÑO DE PUENTES DE COI'ICRETO ARMADO - METODO MSHTO - LRFD
momento de flexión en
el sistema de que un
es positivo.
--i.-' 1
Viqa rnaestra
( a ) ¡rl'irlciPal
Línea dc Irrllucncia ajusiada
para carga inclircóta
Fig.I3.ó Corrección dc líneas de influencia para círrga indircct¿. (a) Carga
indirecta sobre la viga maeslra principal. (b) Línea de influencia para cual-
quier acción A en la viga macstra principal
Para encontrar la línea de infiuencia para el momento de extremo M Au d.la viga de la
figura 13-7a, introducimos una a'liculación en A y apl¡camos allí un momento en dirección
contraria a las manecillas del reloj para producir una rotación angular unitaria del extremo
A (figura 13-7b). La magnitud de este momento debe ser ígual a la rigidez a la rotacíón
del extremo S/s . El momento de extremo correspondiente B es S
^uC
nr,donde
Snu,Cn, y /son larigidez a la rotación de extremo, el factor de traspaso y el momento
de traspaso respectivamente. La linea de desviación correspondiente al diagrama del
momento de flexión de la figura 13-7c es la lÍnea de influencia que se busca.
Cuando la viga tiene una rigidez a la flexión El constante y longitud /, los momentos de
extremo en Ay B son respectivamente -4EI/l y -2EI/1. Estos valores se pueden sustituir
en la expresión para la desviación 1 y en un miembro prísmático AB debida a momentos
de extremo en el sentido de las manecillas del reloj M u, y M rn.
y - +1, o,Q, - 3t' +'' )- A4 unft - r')]. 6ET,
Donde es la distancia desde extremo izquierdo Ay I es la longitud del miembro.
La superposición de las desviaciones causadas por un momento de extre mo -4EI/l en A
(con momento cero en B) y de las desviaciones causadas por un momento de extremo
de -2EIl en,B (con momento cero en A) da la línea de influencia que buscamos. Estc
está hecho convenientemente en la tabla 13-1.
Como la viga es simétrica, las ordenadas de influencia del momento de extremo Mo^se
pueden obtener de las de Mnuínvirtiendo el signo y el orden (tabla 13-2).
esfuerzo cortante y
anteriores, usamos
manecillas del reloj
cualquier
momento
sección. Como en los capítulos
de extremo en el sentido de las
Línca dc: lnflucncia
para carga indirecta
1
c
xc
-_a,-
I
ING. CESAR ARANIS GARCIA.ROSSELL

6. I
t
LÍNEAS DE INFLUENCIA 2f,1l
Las líneas de influencia de los dos momentos de extremo están trazadas en la figura 13-
7d
f -{Er/r r} -llll/l
-
(b)
-l_5
-t0
-5
0
5
l0
t5
(b)
l-* - o.+r{-o.ol-'1
(s)
F ig. 13.7. Linca de influencia para una viga prisrnática con extrernos empotrados. (a) Viga.
(b) tvlonrentos de cxtremos correspondicntcs a una rotación angular unitaria en el extre¡no A
(c) Diagrama del ¡nomento de f'lexión para la viga de la parte (b). (d) Líneas de influencia
para los rnornentos de cxtrcmo. (e) Línea de intlucncia para R n . (t) Líneas de inf'luencia
para M 11 = ¡.4 lr . (S) Lincas de influc-r¡cia para Vt* -. o.+ rl
Tabla l3-1 Cálculo de las ordenadas de la línea de influenc¡a para el momento
de extremo* MAB
Valormáximo e-0.3.3261 , fu[ no - o.l4g3 I
(c)
(c)
0
5
r0
( r)
Multiplicador: l/100
Dístancia desde el
extremo izquierdo
0.1 o2l 0.31 0.4 04 061 07 081 091 Multi-
plicadot
Desviación debida al
momento de extremo en
A de -4El/1
-0.114 -0.1s2 -0.238 -0.256 -0.250 -0.224 -0.182 -0.128 -0.066 I
Desviación debida al
momento de extremo en
B de -2Elll
0.033 0.064 0.091 0.1 12 0.r 25 0.128 0.119 0.096 0.057
Ordenada de influencia
para Mop
-0.081 -0.128 -0.147 4.144 -0.125 -0.096 -0.063 -0.032 -0.0@
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7. Distancia desde el
extremo izquierdo
01 a2 03 04 05 06 07 08 09 Multi-
plicador
Ordenadas de influencia
Para Ms¡
0.009 0.032 0.063 0.096 0.125 0.144 0.147 0.128 0.081
ffi202 ANALISIS Y DISENO DE PUENTES DE CONCRETO ARMADO . METODO MSHTO . LRFD
Tabla 13-2 Ordenadas de la línea de influenc¡a para el momento de extremo* MBA
* Las ecuaciones de las líneas de influencia de los dos momentos de extremo son
Valor máximo de las L.l de /os dos momentos de extremo son:
Ar __-A-x)' ,,
^/í
_x2(l-x)JVIÁB--- ^ y IVIBA=
f
donde x es la distancia desde el extremo izquierdo de A.
La reacción Ro se puede expresar como:
Rn = Ru,,
Muu*Muu
En que R.r., es la reacción estáticamente determinada de la viga AB si está simplemente
apoyada. Esta ecuación es válida para cualquier posición de una carga unitar¡a movible.
Por Io tanto podemos escribir,
t,fr RA = tr RA, -
¡(n
rru * n n u^)
Donde n es la ordenada de influencía de la acción indicada por el subíndice. La línea de
influencia de Ro, es una línea recta con la ordenada 1 en A y la cero en B. El cálculo de
las ordenadas de la línea de influencia pera la reacción RA está ejecutando en la tabla
13-3 y la línea de influencia selraza en la figura 13-Te.
Tabla 13-3 Ordenadas de la línea de influencia para Ro
lgualmente, la ordenada de influencia para el momento de flexión en cualquier sección
a la distancia r del extremo izquierdo es dada por.
ll- -
ntvt : fr¡,t, *-:nutn -lrr,rn (13-Z)
Donde h¡¡ Y nt¡s son las ordenadas de influencia para el momento de flexión en la
sección para una viga con extremos empotrados y simplemente apoyacla.s
LINI
res
13-
dt
uf
S(
S(
Le
cc
Li
d
rT
fr
ir
A
E
c
tí
F
f
€
C
C
TABLA l3-3. Ordenadas de la línea de influencia para Re
Distancia desde el extremo
izquierdo
0 01¿ 021 03¿ 041 0.5¿ 061 071 0.8/ 09¿ L
Il RAr 1.000 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0
-¡urea// ) 0 0.08 1 0.128 0.147 o 144 0.125 0.096 0.063 0.032 0.009 0
-tl r,rB,A//
) 0 -0.009 -0.032 -0.063 -0.096 -0.125 -0.144 -0.147 -0.128 -0.081 0
Jrdenadas de influencia
lara Rn
1.000 0.972 0.896 0.784 0.648 0.500 0.352 0.2'16 0.1 04 0.028 0
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8. LiNEAS DE II{FLUENCIA
I
203 ffi
respectivamente. Las ordenadas para una sección x=0.4 / están calculadas en la tabla
13-4 y en la figura 13-7f se dibuja la línea de influencia pertinente.
Las ordenada.s de influencia del esfuerzo coftante en cualquier sección se pueden calcular
con la ecuación.
t,frv = 11r., - :r(n^
u * n r,rn)
donde nls es la ordenada de influencia para el esfuerzo cortante en la misma sección de
una viga simplemente apoyada. La línea de influencia para esfuerzo cortante en una
sección X:0.4 /se muestra en la figura 13-79. Se puede ver que esta línea de influencia
se puede forrnar con parte de la líneas de influencia para Rn y RB.
Las líneas de influencia para vigas prismáticas continuas con claros iguales o con claros
desiguales en ciertas relaciones se pueden encontrar en diversas referencias y en la
mayoría de los casos no es necesario calcularlas. Por otra parte, las líneas de influencia
frecuentemente se calculan en el diseño de puentes de I variable o con claros que varÍan
irregularmente formando vigas continuas, también en porticos y emparrillados.
A1.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA PÓRTICOS PLANOS
En la sección anterior hemos visto que las lineas de influencia para el esfuerzo cortante
o el momento de flexión en cualquier sección de un miembro se puede determinar de las
líneas de influencia para los momentos de extremo con simples ecuaciones de estática.
Por lo tanto, las líneas de influencia para los momentos de extremo son de impoftancia
fundamental; ahora demostraremos como usar la distribución de momentos para
encontrar las líneas de influencia para los momentos de extremo en pórticos planos
continuos.
Supongamos que deseamos encontrar la linea de influencia para el momento de extremo
M * en el portico de la figura 13-Ba . De acuerdo con el principio de Muller-Breslau, las
ordenadas de influencia son las ordenadas de la forma desviada del pórtico
correspondiente a una discontinuidad angular unitaria en el extremo BC. Suponga que
tal rotación angular unitaria se introduce en el extremo BC sin otros desplazamientos en
los nodos, como se indica en la figura 13-Bb . Los momentos de extremo correspondiente
a esta configuración son - S' y -tnc = - CrrSr- donde ,Sr. es la rigidez a la rotación
del extremo, /EC es eJ rnomento de traspaso Cr. es el factor de traspaso de B a C.
TABLA l3-4. Ordenadas de la línea dc influencia para M ( *+.¿t)
Distancia desCe el extremo
izquierdo
011 0.21 03/ 0 41. 0.51 061 0.7 t. 081 091 Multi-
olicador
h,l
0.060 0.1 20 0.1 80 0.240 0.200 0.160 0,1 20 0 080 0,040 I
[J.fiqr.na -0.049 -0.c77 -0.088 -0.086 -c.075 -0.058 -0,038 -0.019 -0.005 t.
!0.4t1r'lna) -0.004 -0.013 -0.025 -0.038 -0.050 0.058 -0.059 -0.051 -0.032 t
Ordenadas de influencia
para M(x=0.41)
0.007 0.030 0 067 0.116 0.075 0.044 0.023 0,010 0.003 t.
CAPITULO DE ESTUDIANTES ACI DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

9. wm ANALISIS Y DISEÑO DE PUENTES DE CONCRETO ARMADO . METODO MSHTO - LRFD
i
Los nomeotos da extrem.o eon:
I/6" - -SBc I4B - {""Src
c igual a oem paf,¿ los obos exhrroos
de cxhc¡no eü
''n pórtico plano
sin ot¡os desptazanientoe -de
riún oorrespondiontos ¡ la línea olástica en parte (d )(d) Lfnea de Influe,rciapara mmenb de oCre, o M*
AB
$-_-
(c)
I'f^' fi ?. ?' ::l ;1' :li,Í : i::'J l;ffi ? li il il;: i i; l',lu ;J fl fi
"'#; iH.l Hi ffi ::l
trL'mo M,rrr.(c) Diagrama del moemnto de flcxión correspondiente a la línea de desyiacitln
cn la partc (h)
Ahora dejamos que tenga lugar rotaciones de nodos (y traslación de nodos, si las hay) y
encontramos los momentos correspondientes en los extremos de los miembros por
distribución de momentos de la manera usuat. El diag rama del momento de flexión
correspondiente será una línea recta para cada miembro (figura 13-8 c). Las desviaciones,
que son las ordenadas de la línea de influencia, se calculan por superposición de las
desviaciones debidas a los momentos de extremo, como en la sección anterior.
Para los miembros prismáticos, se pueden usar los valores usuales de tablas. para
(a)
T
S r,,
I
ING. CESAR ARANIS GARCIA.ROSSELL

10. LÍNEAS DE INFLUENCIA
205 ffi
miembros del variable, podemos usar las ordenadas de la línea de influencia del momento
en un extremo empotrado de un miembro con el otro extremo articulado.
Para obtener la desviación debida a un par unitario aplicado en un extremo, estas
ordenadas se deben dividir el valor ajustado de la rigidez a la rotación del extremo en el
extremo empotrado mientras el otro extremo está articulado (véase la figura 13-g).
La forma de la línea de influencia para el momento de extremo M* para el portico que
se está considerando se muestra en la figura 13-8d. Las ordenadas trazadas sobre las
columnas BE y CF se pueden usar para encontrar el valor de si se aplica una carga
horizontal unitaria a cualquiera de las columnas. El valor será positivo si la carga apunta
hacia la izquierda. Sin embargo, si no puede ocurrir una carga horizontal sobre una
columna, no es necesariotrazar las ordenadas de influencia sobre BE y CF.
i4ultiplicador
Et,/( t00b)
Multiplicador
b/t0
Figl3-10. línca dc influenciaparaun nlonlenfo cxtrcmo del ejemplo l3-l (a) Propiedacles del pórtico
(b) Rotación angular ttnitaria introducida en el extremo BA. (c) Distribución de momentos. (d) Línca
dc influencia dcl nroernnto de extrerno M ,¡o
Del pórtico de puente de la figura 13- 10a . Usaresta línea de influencia para encontrar la
ordenada de influencia de momento de flexión en el centro de AB y del esfuezo corlante
en un punto exactamente alaizquierda deB. Los valores relativos de/se indican en la
figura.
En el extremo B de BA se introduce una rotación unitaria en dirección contraria a la de las
T2b
Ib
T
(c)
.i t? cn
+Y"1
cjoo
v*¡ Vf
cd t)
6.5¡,
---.|-- _su __+_ +u J
Ertrerno SA BE BC CB CF CD
| 0.2e 02t 0.50 | | 0.3e 0.24 0.37
I. HN,I -185
+53
+2
0
+39
+2
0
-93
-9
+5
0
+47
-t8
+3
-t
0
')
-t
0
-t7
-l
Momentos Finales de - I 30
cxtrcn]o
+4 +89 +3 I -t3 rt
CAPITULO DE ESTUDIANTES ACI DE I.A UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

11. T
Hm ANALISIS Y DISENO DE PUENTES DE CONCRETO ARMADO - METODO MSHTO - LRFD
manecillas del reloj, como se ilustra en la figura 13-10b. Los momentos de extremo
correspondiente son M,ru= -rf {t) - -l .8581/6 son y cero para todos los demás
.. I )uu
extremos. Estos valores son los FEM iniciales para los cuales se realiza una distribución
de momentos en la figura'i3-10c. Las desviaciones de los miembros AB,BC y CD
debidas a los momentos finales de extremo están calculadas en la tabla 13-5 a 0.3/.
Tabla 13-5 Ordenadas de Ia línea de influencia psrq el momento de extrento MBA ft/l0)
0.5/ y 0.11 de cada claro usando valores tabulados en el apéndice I, estas desviaciones,
que son las ordenadas de influencia del momento de extremo Mro,se trazan en la
figura 13-10d. Como siempre, un signo positivo indica un momento de extremo en el
sentido de las maneciflas del reloj.
Tubla I3-6 Ordenudas de Ia línea de influencia pura el momento de flexió, M, en G(b10)
Las ordenadas de las líneas de influencia pard M" y Vu sedetermínan con las ecuaciones
13-7 y 13-B de superposición, respectivamente. Los cálculos están ejecutados en las
tablas 13-6 y 13-7 ylas líneasde influencia setrazan en lasfiguras 13-11a y b.
Tabla 13-7, Ordenadas de Ia línea de inftuencia para el esfuerzo cortanteVn
Desviación debida almomento de
extremo en el
Iliembro AB Nliembro BC l'liembro CD
0,31 0.51 0.71 0.3r 0.51 0 3l 0,71 0.51 0.31
Extremo izquierdo
Extremo derecho
0
6.23
0
8.55
0
8 15
3.3 I
-0 88
348
-1.21
2.53
-1 r5
-0,43
0
-0,45
0
-0,33
0
Ordenada de iniluencia 623 8.55 815 2.43 2.21 t 38 -0 41 -a.4s -0 33
Coeficiente de influencia Miembro AB Nliembro BC Miembro CD
0.31 0.51 0.7r 0.31 0.s1 0.31 0.71 0.51 0.31
1
Tl
u, - ¡r1va,t
9.7 s
-3.12
t6.25
-4.28
9.7s
-4.08
0
-r.22
0
-1.14
0
-0.69
0
0.22
0
0.23
0
0.t7
Ordenada de influencia 6.23 |t.91 5.61 -1.22 r.t4 -0.69 0.22 0.23 0.17
Coefi ciente de infl uencia Miembro AB Miembro BC Miembro CD
0.31 0.s1 0.71 I 0.31 0.51 0.71 0.71 0.51 0.71
Tlu, -*0tnnu^)
-0.30
-0.10
-0.s0
-0.13
-0.70
-0.13
r.00
0
0
-0.04
0
-0.04
0
-0.02
0
0.01
0
0.01
0
0.00s
Ordenada de influencia -0.40 -0.63 -0.83 r.00 -0.04 -0.04 -0.02 0.01 0.01 0.005
ING. CESAR ARANIS GARCIA-ROSSELL

12. +- 6.5b ---+F- SU
---*l* au -*l
LÍNEAS DE TNFLUENCTA trJ7a
l-2b
"t"
b
T
(bt
¿3 nexiAn y el efuerzo cortsrls
Lfn6 de infiu@iapantvto
(b) LfnÉ dÉ i¡Éucncirpra V,
)
sl
=g--id
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CAPITULO DE ESTUDIANTES ACI DE LA UNIVERSIDAD NACIOML DE INGENIERIA