Este documento introduce conceptos básicos de geometría analítica como sistemas de coordenadas, distancias entre puntos, división de segmentos en razones dadas, y resuelve ejemplos ilustrativos. Explica cómo calcular distancias y coordenadas de puntos mediante fórmulas algebraicas basadas en sistemas de coordenadas. También muestra cómo dividir segmentos entre puntos en razones dadas y hallar las coordenadas de los puntos resultantes.

1. Manuel Zegarra Vasco Shadai Crea
Geometría Analítica

2. Manuel Zegarra Vasco Shadai Crea
GEOMETRIA ANALITICA
Introducción:
La geometría analítica es parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de
las relaciones entre el algebra y la geometría euclidiana difiere en procedimiento de
la que se estudia en las escuelas secundarias.
La geometría analítica plana incluye el estudio de puntos, rectas, planos, curvas y
superficies en un plano.
La geometría analítica del espacio se compone de puntos, rectas, planos, curvas y
superficies en el espacio tridimensional.
Segmento orientado.
Es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos llamados extremos.
A B AB
AB
A B
esto es : AB BA
AB BA 0
Sistema coordenado lineal:
Es la correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta y los números
reales.
P2 0 A P1 P
X2 0 1 x1 x
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Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia dirigida entre dos puntos
P x1 , y1
1 y P2 x2, y2 sobre una recta está dado por:
d P,P
1 2 x2 x1
Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida entre dos puntos
se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos
dos puntos.
d p1, p2 x2 x1 x1 x2
Ejemplo 1: Hallar la distancia dirigida y no dirigida entre los puntos
P 2 y P2 7
1
Resolución :
i) Por el teorema : d P , P2
1 x2 x1 7 2 5
ii) Por el teorema: d P , P2
1 x2 x1 5 5
Ejemplo 2: Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido
cuyos extremos son los puntos P1 8 y p2 10
Resolución
P1 P M Q P2
-8 x1 x x2 10
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i) Sea P x1 y Q x2 los puntos de trisección y M(x) el punto medio del
segmento P P2 .
1
ii) Si
PP
1 1
; entonces P P2 2 P1 P Donde:
x x 1
1
PP2 2 x 2
x 2
Luego: 10 x1 2 x1 8 x1 2
iii) “Q” es punto medio de P P2 ; entonces: PQ QP2 .
Luego: x2 2 10 x2 x2 4
iv) “M” es punto medio de P P2 Entonces: P M
1 1 MP2
Luego: x 8 10 x x 1
P 2; Q 4 y M1
PROBLEMAS
1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
a). 5 y 6 R : 11
b). 3 y 7 R : 10
c). 8 y 12 R:4
2. La distancia entre dos puntos es 4, si uno de los puntos es (-1) ; hallar el otro
punto e. interpretar geométricamente el resultado.
R: P 3 ó P ( 5)
2 2
3. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres
partes iguales por los puntos P 25 y Q 9
R: A(-41) y B(7)
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4. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos
extremos son los puntos (-7) y (-19).
R: P (-11) Q (-15) M (-13)
5. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres
partes iguales por los puntos: P (-17) Y Q (-5)
R: A(-39) y B(7)
6. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas
satisfacen a las siguientes desigualdades:
1 x 3 2
a) R: 4,11
5 x 1 3
1
b) 3x 2 5x 2 R: ,
3
3,
7. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2). Hallar el otro
punto. (Dos casos).
R: a) P2 7 b) P2 11
8. Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3).
Hallar la coordenada del otro extremo.
R: P2 14
9. Sean los puntos P1 2 y P2 9 . Hallar los puntos P y Q que trisecan al
segmento P P2
1
R: a) P 53 b) Q 16 3
10. La distancia entre los puntos: d P , P2
1 5 y uno de los puntos es P2 2 . Hallar el
otro punto e interpretar gráficamente el resultado.
R: a) P1 7 ó b) P 3
1
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5.1.3. Sistema de coordenadas rectangulares :
El sistema coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia
biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales.
5.1.4. Distancia entre dos puntos :
Teorema: La distancia entre dos puntos cualesquiera P1 x1 , y1 y P2 x2 , y 2
está dado por la fórmula:
d ( P , P2
1 ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
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2
Obs: Como caso particular para la distancia de cualquier punto P x, y de R al
origen es expresado por:
d ( P .O ) x2 y2
Ejemplo: Determinar un punto en el eje de las abscisas que sea equidistante de los
puntos A 0,4 y B 3, 3
Resolución :
Sea C x, o el punto equidistante de los puntos A 0,4 y B 3, 3 , entonces:
d ( A, C ) d ( B, C ) y
( x 0)2 (0 4)2 x ( 3) 2 0 ( 3) 2 A (0,4)
x2 ( 4)2 x 32 3 2
x2 + 16 = x2 + 6x + 9 + 9
x = -1 / 3 C(x,0) x
1
C( , 0)
3
B (-3,3)
Ejemplo:
Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:
A 3, 2 , B 5,2 y C 9,4
Resolución
i) Si A, B, y C son colineales se debe cumplir:
AB BC AC
2 2
AB 5 3 2 2 64 16 80 4 5
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2 2
BC 9 5 4 2 16 4 20 2 5
2 2
AC 9 3 4 2 144 36 180 6 5 ;
entonces: 4 5 2 5 6 5
los puntos son colineales.
PROBLEMAS
1. Demostrar que el triangulo de vértices A(4,7) ; B(-1,-8) ; C(8,-5); es un
triángulo rectángulo. Hallar su perímetro y su área.
R : Perímetro = 12 10 ; Área = 60 u 2
2. La abscisa de un punto es -6 y su distancia al punto A 1,3 es 74 . Hallar
la ordenada del punto.
R: y= 8 ó y= -2
3. Hallar las coordenadas del punto que equidistante de los puntos fijos
A 4,3 , B 2,7 y C 3, 8 R : P (-5,1)
4. Hallar el perímetro de los triángulos cuyo vértice son:
a) 2,5 , 4,3 , 7, 2 R: 23,56
b) 0,4 , 4,1 , 3, 3 R: 20,67
c) 2, 5 , 3,4 , 0, 3 R: 20, 74
d) 1, 2 , 4,2 , 3,5 R: 21,30
5. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:
a) 1, 2 , 0,1 , 3,2 , 4, 1
b) 1, 5 , 2,1 , 1,5 , 2, 1
c) 2,4 , 6,2 , 8,6 , 4,8
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6. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son :
A 6, 2 , B 2, 1 , C 1,3 , D 5,2 , es un rombo.
Hallar el área. R: Área: 15u 2
7. Los extremos de una varilla homogénea son A (3,-5) B (-1,1). Determinar las
coordenadas de su centro de gravedad.
R: P (1,-2)
8. El centro de gravedad de una varilla homogénea está situado en el punto M
(1,4), uno de sus extremos es el punto P (-2,2). Determinar las Coordenadas
del otro extremo Q. de la varilla.
R: Q (4,6)
9. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1,1) y B
(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. R: C 11 3 2 ó
C 1,1 3 2
10. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de los vértices son
isósceles:
a) 2, 2 , 3, 1 , 1,6
b) 6,7 , 8, 1 , 2, 7
5.1.5. División de un segmento en una razón dada
Teorema.-Si P x1, y1 y p2 x2 , y2 son los extremos de un segmento P P2 , las
1 1
coordenadas del punto P x, y que divide a este segmento en la razón dada.
PP
1 x1 rx2 y1 ry2
r ; son: x ,y ;r 1
PP2 1 r 1 r
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Obs.
i) Si r 0, el punto P x, y es interno al segmento dirigido P P2 .
1
ii) Si r 0, el punto P x, y es externo al segmento dirigido P P2 .
1
iii) Corolario.- Si P x, y es el punto medio del segmento que une
P P
P x1, y1 y P2 x2 , y2 . entonces la razón r 1 1
1 y las
P P2
x1 x2 y1 y2
coordenadas son: P ,
2 2
Ejemplo: El segmento que une A (-2,-1) con B (2,2) se prolonga hasta “C” sabiendo
que BC 3AB . Hallar las coordenadas de “C”.
Resolución
BC
Si BC 3 AB Entonces : r 3
AB
xC xB yC yB
3 x 2 y 2
3
xB xA yB yA 2 ( 2) 2 ( 1)
x 2 y 2
3 C (14 ,11 )
4 3
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Ejemplo: Hallar dos puntos P x1 , y1
1 y P2 x2 , y2 que dividan al segmento
que une A 3, 1 con B 9,7 en 3 partes.
Resolución :
AP 1
i) P x , y : r 1 ;
1 1 1 1 P B 2
1
1
3 9
entonces : x 2 x 5
1 1 1
1
2
1
1 7
y 2 y 5
1 1 1 3 P 5, 5
1 1 3
2
A P2
ii) P x2 , y 2 :
2 r2 P2 B
2;
3 2 9
entonces : x2 1 2
x2 7
1 2 7 13
y2 1 2
y2 3
P 7, 13
2 3
PROBLEMAS
1. Hallar las coordenadas de un punto P (x,y) que divida al segmento determinado
r 2
por P1 (1,7) y P2(6,-3) en la relación 3 R: P (3,3)
2. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y) que divida al segmento
r 8
determinado por P1 (-2,1) y P2 (3,- 4 ) en la relación 3 R:
P (6,-7)
3. Los extremos de un segmento son los puntos P 7,4
1 y P2 1, 4 . Hallar la
razón P P : PP2 en que el punto P 1, 2 divide al segmento.
1 R: r 3
4. Los vértices de un triángulo son A 1,1 , B 3,5 y C 7, 1 . Si D es el punto
medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC , demostrar que la longitud del
segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC .
1
R: DE AC
2
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5. El segmento de extremos en A 2,4 y B 1,0 es dividido por los puntos P y Q. En
las razones 3 y 2 respectivamente. Hallar la distancia d P Q .
1
2 3
R: 25
6. Los extremos de un segmento son A 10,2 y B 2, 8 hallar la razón
r
AP
en que el punto P 6, a divide a este segmento. R: r 2
PB
7. Dados los puntos P ( 2 ,1) y Q (5,3) tales que PB 2 AP ; 3 AQ 4 AB . Hallar las
coordenadas de los puntos A y B .
R:
A(1, 13 ) , B(4, 7 3 )
8.Los vértices de un cuadrilátero son A ( 4,6) ; B( 2, 1) C (8,0) y D(6,11) .Hallar la
BP
razón r en que la diagonal AC divide A BD, donde P es el punto de
PD
intersección de las diagonales.
3
R:
5
9. Los vértices de un paralelogramo son A 0,0, , B 4,2 , C 12,2 y D 8,0 , M es
punto medio de AB ; BM y AC se intersecan en el punto P de modo que se ce:
MP AP
. Hallar las coordenadas del punto “P”.
PD BC
R: P 4, 2 3
10. Hallar las coordenadas de un punto P x, y que divida al segmento que
P1 P
determina P ( x1, y1) y P2 ( x2 , y2 ) en la razón r
1 PP2
a) P1 4, 3 , P2 1,4 , r 2 R: P 2, 53
5
b). P1 5,2 , P2 1,4 , r
3 R: P 53 ,1
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Área de un polígono de vértices conocidos
Teorema: Sean P x1 , y1 , P2 x2 , y2 y P3 x3 , y3
1 los vértices de un triangulo.
Entonces el área del polígono es:
x1 y1 1
1
S x2 y2 1
2
x3 y3 1
Ejemplo: Hallar el área del triangulo de vértices A(1,6) B(-3,-4) y C(2,-2)
1 6
1 3 4 1
S 4 6 12 2 8 18 201u 2
2 2 2 2
1 6
Ejemplo: Los puntos A(-1,2) y B(5,2) son los extremos del lado AB de un triángulo de
área 12u 2 . Hallar la ordenada del vértice C.
Resolución :
AB 5 1 6
1 1
Si S ABC 12u 2 12 AB h 6h h 4
2 2
y1 2 h y1 6
Luego:
y2 2 h y2 2
PROBLEMAS
1.-Hallar el área de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:
a. 2, 3 , 4,2 y 5, 2 R :18,5u 2
b. 3,4 , 6,2 y 4, 3 R :24,5u 2
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c. 8, 2 , 4, 6 y 1,5 R :28u 2
d. 0,4 , 8,0 y 1, 4 R :30u 2
e.
2, 2 , 4,6 y 4,2 2 R: 2 6u 2
f. 1,5 , 2,4 , 3, 1 , 2, 3 y 5,1 R : 40u 2
2.-Los vértices de un triángulo son A(-5,3), B(a,5) y C(-1,-1). Si el área de triángulo es
16 u2, Hallar la suma de los posibles valores de a.
R: -14
3.-El área de un triángulo es S=12u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1,8) y B(-
3,2), el tercer vértice puede tomar cualquiera de los siguientes valores: ( x 1 ,0) y C
(x2 ,0). Hallar el valor de x1 x2 .
R: 8
4.-Dado el triángulo de vértices A(3,7), B(2,-3) y C(-1,4). Hallar la longitud de la
altura trazada de B sobre AC .
R: 7,4
5.-El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos: B(-1,-4) y
C(3,2). Calcular las coordenadas del tercer vértice A; si el área del ABC 26u 2 .
R: A(-5,3), Y A' 7, 5
6.-El área de un triángulo es S=3u2, dos de sus vértices son los puntos A (3,1) y B (1,-
3); el centro de gravedad de este triangulo está situado en el eje x. Determinar las
coordenadas del tercer vértice C.
R: C(5,2) y
C’(2,2,)
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B I B L I O G R A F I A
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