es una investigación que abarca un amplio campo de los limites en relación con la materia de calculo diferencial

1. SEP DGEST
INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD GUZMAN
ECONOMICO ADMINISTRATIVO
ING. EN GESTION EMPRESARIAL
CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 3° LÍMITES Y CONTINUIDADES
TRABAJO NUM.1° INVESTIGACION DE LÍMITES Y
CONTINUIDADES
MIGUEL TORRES MENDOZA N°13290563
ALBERTO DAMIAN GONZALEZ COURTENAY
CIUDAD GUZMAN A 07 DE JULIO DEL 2014

2. 3.1 LIMITES DE UNA SUCESIÓN
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis
matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que
se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite,
se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende
al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se
aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los
elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos
subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

3. 3.2 LIMITES DE UNA FUNCION DE LIMITE REAL
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un
subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales,
tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
El conjunto inicial o dominio de la función.
El conjunto final o imagen de la función.
La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo
elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R
x———>x2.
Asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales,
pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado,
siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el
cuadrado de un número siempre es positivo:
lim(f)=R+.
3.3 CALCULO DE LÍMITES
Son indeterminaciones del cálculo de límites todas aquellas expresiones en las
que, al sustituir en ellas x por el valor al que tiende, se obtiene alguna de las
siguientes relaciones:
No representan indeterminación aquellas expresiones donde, siendo k una
constante distinta de cero, la sustitución mencionada en el párrafo anterior
rinde alguno de los siguientes valores propios o impropios:
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las
imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor X0. Es decir el
valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a X0

4. Las leyes de los límites:
El teorema siguiente nos indica como calcular límites de funciones que son
combinaciones aritméticas de otras cuyos límites ya se conocen.
3.4 PROPIEDES EN LOS LÍMITES

5. El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo
diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo
punto).
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el
límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f
+ g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El
límite de la suma es igual a la suma de los límites).
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x).
3.5 LIMITES LATERALES
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y
coincidir.
El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de
la siguiente manera
x a- significa que x tiende a “a” tomando valores menores que a, es decir
valores que se encuentran a su izquierda.
x a+ significa que x tiende a “a” tomando valores mayores que a, es decir
valores que se encuentran a su derecha.
El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el
valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores
mayores que “a”.

6. El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el
valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores
menores que “a”.
3.6 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO
Decimos que lim f(x)= si para los valores de x próximos a a, x→ a los
valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande
como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a,
entonces f(x)>k.
Análogamente, lim f(x) = -
x→a
si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan
pequeños como queramos.
Diremos que lim f(x) = -
x→a
si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos
encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) <
-k
•Ejemplo:
La función f(x)= 1/|x|
En el punto x=0 se tiene:

7. lim 1/|x| = -
x→ 0-
→ lim 1/|x| =
x→0
lim 1/|x| =
x→a’
3.7 ASINTOTAS
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando
indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al
infinito.
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma
que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la
distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe
el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Asíntotas horizontales
Ejemplo:
Calcular las asíntotas horizontales de la función:

8. Asíntotas verticales
Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido
por cero.
K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones
racionales).
Ejemplo
Calcular las asíntotas verticales de la función:
>
>
>
Asíntotas oblicuas
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
Ejemplo
Calcular las asíntotas de la función:

9. 3.8 FUNCIONES CONTINUAS Y DESCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN
INTERVALO
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor
que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es
continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de
papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en
dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la
derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la
izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Discontinuidades.
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o,
existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite
en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continúa
en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen
los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el
valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número
real, o infinito.
Definición: Continuidad en un intervalo.

10. Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus
puntos.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los
puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en
b.
Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario
en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el
que f(c)=0
3.9 TIPOS DE DESCONTINUIDADES
Existen diferentes Tipos de Funciones Discontinuas tales como:
1. Discontinuidad evitable.
Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de
la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no
pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.
Ejemplo. La función es discontinua en x =3, pues la función no
existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la
discontinuidad es evitable.
2. Discontinuidad inevitable o de primera especie.
Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad
se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor
absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una
discontinuidad de salto infinito.

11. BIOGRAFIA
http://darkcity2111.wordpress.com/limites-de-sucesion/
http://darkcity2111.wordpress.com/3-2-limite-de-una-funcion-de-variable-real/
http://intercentres.edu.gva.es/ieselclot/html/departaments/matematiques/limites.
PDF
http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html
THOMAS Cálculo: una variable
George Brinton homas,Maurice D. Weir, Joel Has
Undécima edición
Pearson Addison Wesley
http://darkcity2111.wordpress.com/3-5-limites-laterales/
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm
http://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-
infinito/
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
http://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/funciones-continuas-
discontinuidades-en-un-punto-en-un-intervalo/
http://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/tipos-de-discontinuidades/