Introducción a las operaciones con cantidades vectoriales, suma y resta, métodos gráficos y analítico.

1. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Las cantidades físicas (ej: velocidad, masa, fuerza)
presentan características operacionales diferentes, estas
diferencias se reflejan al momento de realizar operaciones
matemáticas con ellas.
Las cantidades conocidas como
escalares obedecen las reglas
aritméticas de la suma, resta,
multiplicación y división.
Las cantidades conocidas como Vectores
obedecen reglas diferentes, conocidas como
Algebra de Vectores
08/10/20091FLORENCIO PINELA - ESPOL

2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Se tienen las siguientes cantidades físicas:
Fuerza, aceleración, masa, peso, tensión.
¿Cuál de las siguientes operaciones son
físicamente permitidas?.
FUERZA + ACELERACIÓN => NO ES PERMITIDO
(MASA) x (ACELERACIÓN) => SI ES ES PERMITIDO
PESO + TENSIÓN => SI ES PERMITIDO
08/10/20092FLORENCIO PINELA - ESPOL
FUERZA + MASA => NO ES PERMITIDO

3. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 3
La mayoría de nosotros estamos
acostumbrados a la siguiente forma de
matemáticas:
6 + 8 = 14.
Todavía, somos extremadamente inquietos
sobre esta forma de matemáticas:
6 + 8 = 10
y
6 + 8 = 2
y
6 + 8 = 5

4. 77
82
83
68
55
66
83
75 80
90
91
75
71
80
72
84
73
82
88
92
77
88
88
7364
Una Cantidad Escalar: sólo requiere de una
magnitud y su unidad
Estos valores aislados de temperatura son un ejemplo
de una cantidad escalar
(Usted tiene solo idea del valor de la temperatura en el punto escogido).
08/10/2009 4FLORENCIO PINELA - ESPOL

5. 77
82
83
68
55
66
83
75 80
90
91
75
71
80
72
84
73
57
88
92
77
56
88
7364
Una Cantidad Vectorial
It may be more interesting to know which way the wind is blowing...
Esto requeriría de una cantidad vectorial
(Usted conoce tanto de la rapidez como de la dirección)
Puede ser mas interesante conocer la dirección
en que sopla el viento
08/10/2009 5FLORENCIO PINELA - ESPOL

6. Un reportero da una noticia e indica:
“Dos autos colisionan en una calle céntrica de la ciudad. Uno de los
conductores asegura que sólo viajaba a 40 km/h, mientras que el
otro insistía que no superaba el límite de 60 km/h”
• ¿Es suficiente la información para darnos cuenta de la “gravedad”
del choque?
a) SI b) NO
• ¿En cuál de los siguientes casos se produciría el mayor daño en
los vehículos durante la colisión?
a) Viajan en la misma dirección
b) Viajan en direcciones contrarias
c) Viajan en direcciones perpendiculares
08/10/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL

7. ¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican
que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h?
08/10/20097FLORENCIO PINELA - ESPOL

8. Gráfico superior Gráfico inferior
El viento se mueve a una velocidad de 40
km/h hacia la izquierda. Si el avión vuela
a una velocidad de 160 km/h con respecto
al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión
con respecto a la tierra?
El viento se mueve a una velocidad de 40
km/h hacia la derecha. Si el avión vuela a
una velocidad de 240 km/h con respecto
al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión
con respecto a la tierra?
08/10/20098FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los vectores se suman considerando su magnitud y dirección

9. Representación Gráfica
de un Vector
dirección: obvio
magnitud: longitud
La localización es irrelevante
Estos son
idénticos
08/10/20099FLORENCIO PINELA - ESPOL

10. a
b
c
c
a
CosSen
c
b
SenCos
cSena cCosb
222
bac
22222
CoscSencc
22
1 CosSen
Repaso de Trigonometría básica
Para un triángulo rectángulo, el seno de uno de los
ángulos es igual al coseno de su complemento
El teorema de Pitágoras es válido
únicamente para triángulos rectángulos
opuesto
sen
hipotenusa
adyacente
cos
hipotenusa
opuesto
tan
adyacente






08/10/200910FLORENCIO PINELA - ESPOL
Opuesto
adyacente

11. Representación de un vector en Coordenadas
Rectangulares
Cualquier vector, A, que se encuentre en el plano x-y
es posible representarlo por medio de sus
componentes rectangulares: Ax y Ay
A
Ax
Ay
Ax = A cos
Ay = A sen
2 2
x yA A A
1
tan tan
y y
x x
A A
A A
x yA A A
   2 2 2
x yA A A
Forma matemática de expresar que el vector A
es igual a la suma de los vectores Ax y Ax
Magnitud
del vector A
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 11
x
y

12. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 12

13. La dirección de un vector en 2-D
x
y
-α
Sea = 130
Sen 130 = 0,766
Cos 130 = -0,643
α = - 230
Sen(-230 )= 0,766
Cos(-230 )=-0,643
• Positivo en “sentido” antihorario
• Negativo en “sentido” horario
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 13

14. Compruebe el signo
de las componentes!
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 14
 la componente rectangular de un
vector que apunte a la derecha se
considera positiva. Hacia la izquierda
negativa.
 la componente rectangular de un
vector que apunte hacia arriba se
considera positiva. Hacia abajo negativa.

15. Pregunta de Concepto:
Todos los vectores de la figura tienen la misma magnitud, cuál de
ellos tiene la mayor componente horizontal?
A B C
08/10/200915FLORENCIO PINELA - ESPOL

16. Pregunta de concepto:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes
rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. Cuál de los siguientes
vectores representaría mejor al vector A?
a b c
08/10/200916FLORENCIO PINELA - ESPOL

17. Pregunta de concepto:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes
rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud
del vector A?
a)
b)
c)
d) 6
20
12
2 2
-4
08/10/200917FLORENCIO PINELA - ESPOL

18. Pregunta de Actividad:
Para el vector indicado en la figura, cuya magnitud es de
20 unidades. ¿Cuál es el valor de su componente vertical?
150a) 20
b) 17,2
c) 10
d) 5
08/10/200918FLORENCIO PINELA - ESPOL

19. Pregunta de Actividad:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes
rectagulares: Ax = -2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud
y dirección del vector A?
-2
-4
a) 20 30
b) 6 243,4
c) 6 63,4
d) 20 243,4
08/10/200919FLORENCIO PINELA - ESPOL

20. Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por
sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen
hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje
fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.
r
(x,y)
x
y
o
tan
y
x
2 2
r x y
1
tan
y
x
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 20

21. Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares
si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)
-2
-5
¡Cuidado cuando use
tan = y/x !
' 1 5
tan 68,2
2
o
¡Línea de acción del
vector!
180 68,2o or
2 2
( 2) ( 5) 29r
: 29; 248,2o
r

08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 21

22. Se identifican dos procedimientos para sumar
o restar vectores.
• El Método Gráfico (Polígono)
• Método Analítico (Descomposición vectorial)
08/10/200922FLORENCIO PINELA - ESPOL

23. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 23
Los casos más simples

24. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 24
Los casos más simples

25. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 25
Los casos simples de vectores
perpendiculares

26. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 26
casos más complicados en los cuales los vectores se
dirigen en direcciones diferentes en comparación con las
direcciones puramente verticales y horizontales.

27. A
C B
A + B = C
A
B
Observe que el vector resultante
(negro) tiene un valor máximo y
mínimo. ¿Cuándo ocurre esto?
08/10/200927FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los vectores se unen extremo
con origen, conservando su
magnitud y dirección. El vector
resultante parte del origen del
primero al extremo del último

28. Los vectores se unen
extremo con origen,
conservando su
magnitud y dirección.
El vector resultante
parte del origen del
primero al extremo
del último
A
B
A+B
C
A+B+C
D
R
R = A + B +C + D
R A B C D
   
08/10/200928FLORENCIO PINELA - ESPOL

29. C A B
C B A
  
 
A

A

A

B

B

B

C

C

C

No importa el orden en que
se sumen, su resultante
siempre será la misma !
08/10/200929FLORENCIO PINELA - ESPOL

30. 08/10/200930FLORENCIO PINELA - ESPOL

31. LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA
(ejemplo de tres vectores)
08/10/200931FLORENCIO PINELA - ESPOL

32. A+B+C=D
A
B
C
Sean los vectores A, B, y C de la figura, ¿Cuál sería la magnitud y
dirección del vector resultante de sumar A, B y C ?
Pregunta de actividad:
a) b) c)
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 32

33. Pregunta de concepto
Se tienen dos vectores de 10 y 15 unidades de magnitud.
¿Cuál sería el valor de la mínima y máxima magnitud de la
suma de los dos vectores?
El valor mínimo sería de 5 unidades.
El valor máximo sería de 25 unidades
a) minimo: 5 maximo 15
b) Minimo: 0 maximo: 25
c) Minimo: 5 maximo: 25
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 33

34. Los cuatro vectores de la figura tienen sus extremos y
origen sobre la superficie de una esfera de radio R,
como se indica en la figura. ¿Cuál es la magnitud del
vector resultante de la suma de los cuatro vectores?
a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 34

35. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado
en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. La
resultante de la suma de los cinco vectores es:
a) 10 b) 20 c) 10 d) 5 e) 52 2
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 35

36. Pregunta de concepto
Sea C = A + B. Si el módulo del vector A es de 25 u
y el módulo del vector B es de 12 u. ¿Qué se puede
decir respecto a los vectores A y B, sabiendo que
el módulo de C es de 13 u
a) La dirección de A es contraria a la dirección de B
b) La dirección de A es la misma que la dirección de B
c) La dirección de A es perpendicular a la dirección de B
d) La dirección de A es paralela a la dirección de B.
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 36

37. EL VECTOR NEGATIVO
LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES
SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.
Un vector es negativo cuando apunta en dirección
contraria a uno definido como positivo.
A -A
B
-B
C
-C
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 37

38. RESTA DE VECTORES
RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES
EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO
A – B = A + (- B)
A
B
A-B A-B
Si los vectores se unen por
su origen, la resultante de
Se dirige desde el extremo
de B hasta el extremo de A
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 38

39. Sean los vectores A y B que se muestran en la figura.
¿Cuál de las alternativas representa el vector B - A?
A
B
a) b) c)
Pregunta de concepto
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 39

40. Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10
unidades de magnitud. El vector A – B es
perpendicular al vector A y tiene 15 unidades
de magnitud. La magnitud del vector B es
a) 18.0 b) 16.0 c) 13.0 d) 11.2 e) 8.0
A
A-BB
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 40

41. Pregunta de concepto
Para los vectores a, b y c, indicados en la
figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es
correcta?
3) c b a
 
1) a c b
 
2) a b c
 
4) Todas son correctas
a
b
c
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 41

42. Pregunta de concepto
Para los vectores a y b de la figura. ¿Cuál de
las siguientes operaciones entre los vectores a
y b tiene la mayor magnitud?
3) 2 2a b

1) 2a b

2) a b

a b
4) a b

08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 42

43. • El método geométrico de suma de vectores NO es el
procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta
precisión o en problemas tridimensionales.
En esta sección se describe un método para sumar vectores que
hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de
un sistema de coordenadas rectangular.
A estas proyecciones se las llama componentes del vector.
Cualquier vector se puede describir completamente por sus
componentes.
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 43

45. La dirección de un vector, por convención,
siempre se mide con respecto al eje positivo
de las “x”. Positivos en “sentido” antihorario
08/10/200945FLORENCIO PINELA - ESPOL

46. Componentes: magnitudes en las direcciones x y y,
generalmente (x = derecha, y = arriba)
C
B
A
A = (4, 3)
B = (0, –2)
C = A + B = (4+0, 3–2) = (4, 1)
x
y
¿Cuál es el valor de A + B?
08/10/200946FLORENCIO PINELA - ESPOL

47. Pregunta de concepto:Vectores
 Vector A = {0,2}
 Vector B = {3,0}
 Vector C = {1,-4}
What is the resultant vector,
D, from adding A+B+C?
(a) {3,5,} (b) {4,-2} (c) {5,-2}
08/10/200947FLORENCIO PINELA - ESPOL

48. Pregunta de concepto:Vectores
 Vector A = {0,2}
 Vector B = {3,0}
 Vector C = {1,-4}
What is the resultant vector,
E, from adding A+B-C?
(a) {2,2} (b) {4,-2} (c) {2,6}
08/10/200948FLORENCIO PINELA - ESPOL

49. SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES
A
B
C
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 49

50. A
Ax
Ay
Bx
By
Cx
Cy
R
B C
Rx
Ry
Rx = Ax + Bx + Cx
Ry = Ay + By + Cy
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50

51. Ry
Rx
R
Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)
Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)
Magnitud del vector R 2 2
x yR R R
Línea de acción del
vector R
1
tan
y
x
R
R
DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN
DEL VECTOR R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 51

52. DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y
DIRECCIÓN DEL VECTOR RESULTANTE
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 52

53. Pregunta de Actividad:
Determine la magnitud y dirección del vector R,
donde R = A + B + C + D
A = 40
B = 20
C = 30
D = 40
a) R = 22,4 = 163,4
b) R = 130 = - 63,4
c) R = 22,4 = - 63,4°
d) R = 30 = - 63,4°
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 53

54. A = 40
B = 20
C = 30
D = 40
10
20 R
2 2
10 20 22,4R
1 20
tan 63,4
10
o
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 54

55. Pregunta de Actividad:
• Sean los vectores A, B y C. con sus componentes
rectangulares:
A: (2, -4) B: (4, 6) C: (-3, 2)
¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma A + B + C?
a) 0 b) 7 c) 5 d) 20
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 55

56. A=40B=10
Ejemplo: Para los vectores indicados en la figura,
determine la magnitud y dirección del vector R,
donde R = A+B
3040
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 56

57. A=40
B=10
3040
40 cos 30o
40 sen 30o
-10 cos 40o
10 sen 40o
0 0
40cos30 10cos40 27xR
0 0
40 30 10 40 26,4yR sen sen
2 2
27 26,4 37,7R
1 026,4
tan 44,7
27
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 57

58. A=40B=10
C =30
Para los vectores indicados en la figura, determine la
magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B-2C
30
40
40
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 58

59. A=40B=10
C =30
30
40
40
Expresemos todos los
ángulos respecto al eje
positivo de las “x”
A = 30
B = 140
C = - 40
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 59

60. R = A+B-2C
A=40B=10
C =30
30
40
40
2x x x xR A B C
2y y y yR A B C
cos cos 2 cos
2
x A B C
y A B C
R A B C
R Asen Bsen Csen
40cos30 10cos140 2(30)cos( 40 )
40 30 10 140 2(30) ( 40 )
o o o
x
o o o
y
R
R sen sen sen
19
65
x
y
R
R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 60

61. 19
65
x
y
R
R
' 1 65
tan 73,7
19
o
180 73,7 106,3o o o
2 2
( 19) (65) 67,7R
R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 61

62. 08/10/2009 11:46
FIN DE ESTA UNIDAD
 LA PROXIMA
CLASE:
• LECCION SOBRE
“VECTORES”

63. Para los vectores mostrados en la figura.
¿Cuál de las siguientes alternativas es la
correcta?
a) j + g - c = a + 2e
b) b + f - i = j + h - a
c) a + b + c = 2g
d) a + b + d + e = f + h + i
e) b + f + i = a + j + h
ACTIVIDAD
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 63