Este documento trata sobre operaciones con vectores. Explica métodos para sumar y restar vectores gráficamente y analíticamente, como el método del paralelogramo, triángulo y polígono. También cubre el producto escalar y vectorial de vectores, así como multiplicar un escalar por un vector.

1. OPERACIONES CON
VECTORES
x
y

2. OPERACIONES CON VECTORES
SUMA Y
RESTA
MULTIPLICACI
ON
GRÁFIC
A
ANALITI
CA
METODO DEL PARALELOGRAMO
METODO DEL TRIANGULO
METODO DEL POLIGONO
METODO GEOMETRICO
METODO VECTORIAL
DE UN ESCALAR POR UN
VECTOR
PRODUCTO
ESCALAR
PRODUCTO
VECTORIAL

3. R
METODO DEL PARALELOGRAMO
Sean los vectores:
B
A
A
B
O x
y
A
B
Determinar:
i) A + B
ii) A – B
iii) B+ A
iv) B – A

R = (R ; )

4. R
METODO DEL TRIANGULO
Sean los vectores:
A
B
Determinar:
i) A + B
ii) A – B
iii) B+ A
iv) B – A
O x
y
A

R = (R ; )

5. R
METODO DEL POLÍGONO
Sean los vectores:
A
B C
-D
Determinar:
i) A + B + C + D
ii)  A – B ) + (C - D )
iii) (B + A ) – ( D + C )
iv) (B – A ) – ( D – C )
O x
y
B
-A
C
B - A - D + C

R = (R ; )
D

6. GEOMÉTRIC
O
LEY DEL COSENO
R B
180° -  
A
A
B

cos2222
ABBAR 
cos222
ABBAR 

R = (R ; )
cos2222
ARRAB 
2 2 2
A +R B
cos
2AR



Sean los vectores:
1.- Graficar el vector por el método del triángulo:
2.- Determinar el módulo utilizando la ley del coseno:
3.- La dirección del vector:
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:

7. R
GEOMÉTRIC
O
LEY DEL COSENO
Sean los vectores:
A
B

1.- Graficar el vector por el método del paralelogramo:
O x
y
A
B

sabemos que:
P
D
Q
2.- Determinar el módulo utilizando Pitágoras:
(OP)2 = (OQ)2 + (QP)2
OQ = OD + DQ
OP = R
OD = Módulo de A
DQ = B.cos
B
Bcos
Bsen
QP = B.sen
R2 = (A + Bcos)2 + (Bsen)2 = A2 + 2ABcos + B2cos2 + B2sen2
R2 = A2 + 2ABcos + B2(cos2 + sen2)
pero: cos2 + sen2 = 1
R2 = A2 + 2ABcos + B2.
2 2
2 cosR A B AB   

8. 3.- Dirección del vector:
R
QP
sen 



cos222
ABBA
Bsen
sen




cos
tan
BA
QP





cos
tan
BA
senB


4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
También:
R = (R ; )
GEOMÉTRIC
O

9. LEY DEL SENO
GEOMÉTRIC
O
A
B

Sean los vectores:


R B

180° - 

A
1.- Graficar el vector por el método del triángulo:
2.- Determinar el módulo utilizando la ley del coseno:
 sen
R
sen
B
sen
A

cos222
ABBAR 
3.- Dirección del vector:
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
R = (R ; )

10. SUMA EN FORMA VECTORIAL
1.- EN COORDENADAS RECTANGULARES.
Sean los vectores:
A = (Ax ; Ay)
B = (Bx ; By)
C = (Cx ; Cy)
a) Para el Plano:
R = A + B – C
1. El vector Resultante.
By
Bx
B Ay
A
CCy
Cx
Ax
y
xO
R

Ry
Rx
O
y
x
R = [(Ax + Bx - Cx) ; (Ay + By - Cy)]
R = [(Ax ; Ay) + (Bx ; By) - (Cx ; Cy)]
R = (Rx ; Ry).
3.- Dirección del vector:
x
y
R
R
tan
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
R = (R ; )
2.- Módulo del vector resultante
22
yx RRR 

11. SUMA EN FORMA VECTORIAL
1.- EN COORDENADAS RECTANGULARES.
a) Para el Espacio:
Sean los vectores:
A = (Ax ; Ay ; Az)
B = (Bx ; By ; Bz)
C = (Cx ; Cy ; Cz)
O
Ay
Az
B
By
Bx
Bz
Cz
Cy C
A
z
y
Cx
Ax
x
1. El vector Resultante.
R = [(Ax - Bx + Cx) ; (Ay - By + Cy) ; (Az - Bz + Cz)]
R = A - B + C
R = (Ax ; Ay ; Az) - (Bx ; By ; Bz) + (Cx ; Cy ; Cz)
R = (Rx ; Ry ; Rz).



Rx
O
Ry
Rz
R
z
y
x

12. 


Rx
O
Ry
Rz
R
z
y
x
SUMA EN FORMA VECTORIAL
1.- EN COORDENADAS RECTANGULARES.
2.- Módulo del vector resultante
222
zyx RRRR 
3.- Dirección del vector (ángulos directores)
R
Rx
cos
R
Ry
cos
R
Rz
cos
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
R = (R ;  ;  ; )

13. SUMA EN FORMA VECTORIAL
2.- EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
Sean los vectores:
A = (Axi + Ayj )
B = (Bxi + Byj )
C = (Cxi + Cyj )
a) Para el Plano:
R = A + B – C
1. El vector Resultante.
By
Bx
B Ay
A
CCy
Cx
Ax
y
xO
R

Ry
Rx
O
y
x
R = [(Ax + Bx - Cx)i + (Ay + By - Cy)j ]
R = [(Axi + Ayj ) + (Bxi + Byj ) - (Cxi + Cyj)]
R = (Rxi + Ryj ).
3.- Dirección del vector:
x
y
R
R
tan
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
R = (R ; )
2.- Módulo del vector resultante
22
yx RRR 

14. SUMA EN FORMA VECTORIAL
2.- EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
a) Para el Espacio:
Sean los vectores:
1. El vector Resultante.
R = A - B + C
O
Ay
Az
B
By
Bx
Bz
Cz
Cy C
A
z
y
Cx
Ax
x



Rx
O
Ry
Rz
R
z
y
x
B = (Bxi + Byj + Bzk)
A = (Axi + Ayj + Azk)
C = (Cxi + Cyj + Czk)
R = [(Ax - Bx + Cx)i + (Ay - By + Cy)j + (Az - Bz + Cz)k]
R = (Axi + Ayj + Azk) - (Bxi + Byj + Bzk) + (Cxi + Cyj + Czk)
R = (Rxi + Ryj + Rzk) .

15. 


Rx
O
Ry
Rz
R
z
y
x
SUMA EN FORMA VECTORIAL
1.- EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
2.- Módulo del vector resultante
222
zyx RRRR 
3.- Dirección del vector (ángulos directores)
R
Rx
cos
R
Ry
cos
R
Rz
cos
4.- Expresar el vector en coordenadas polares:
R = (R ;  ;  ; )

16. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Cuando multiplicamos un escalar  por un vector A, obtenemos un nuevo vector cuyo
módulo es  veces la longitud del vector A.
x y zA A i A j A k  
ur rr r
Si  es el escalar y,
entonces tenemos:
 veces
.A = A + A + ........ + A
A = Nuevo vector
Módulo
:
Direcció
n:
Tiene la misma dirección del vector
Sentid
o:
•   0 el mismo que el de A
•   0 opuesto al vector A
•  = 0 el vector es nulo

17. EJEMPLO:
Sea el vector,  (4 5 ) mB i j 
ur r r
Determinar:
a) 3B
b) -2B
c) Si  = 0

18. PRODUCTO ESCALAR

B
A
Sean los vectores:
A = (Axi + Ayj + Azk)
B = (Bxi + Byj + Bzk)
A  B = A B Cos 
A  B = Es un escalar
Se define como Producto Escalar o Producto Punto de dos vectores
al escalar que se obtiene al multiplicar los módulos de los dos
vectores por el Coseno del ángulo menor comprendido entre ellos.

19. 0°
B
A
a) Producto Escalar de dos vectores paralelos.
i) Es positivo si van en el mismo sentido
ANÁLISIS DEL PRODUCTO ESCALAR
Cos 0° = 1
Cos 90° = 0
Cos180° = - 1.
PRODUCTO ESCALAR
B
180°
A
ii) Es negativo si sentidos opuestos
= A B cos 0°A  B = A B cos 180°
A  B = A B (1)
A  B = A B
A  B
A  B = A B (-1)
A  B = - A B

20. PRODUCTO ESCALAR
ANÁLISIS DEL PRODUCTO ESCALAR
b) Producto escalar de dos vectores perpendiculares.
90°
B
A
A
B
A  B = A B cos 90°
A  B = A B (0)
A  B = 0
c) Producto escalar de un vector por sí
mismo.
A
A  A = A A cos0°
A  A = A A (1)
A  A = A²

21. PRODUCTO ESCALAR
ANÁLISIS DEL PRODUCTO ESCALAR
De lo anterior podemos concluir que:
k

j

i
 x
z
y
1
1
1



kk
jj
ii



0
0
0



ik
kj
ji



d) Producto escalar en función de sus vectores base.
Sean los vectores:
A x y zA i A j A k  
ur rr r
B x y zB i B j B k  
ur rr r

22. PRODUCTO ESCALAR
ANÁLISIS DEL PRODUCTO ESCALAR
A B ( ) ( )x y z x y zA i A j A k B i B j B k    
ur ur r r rrr r
g g
A B ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B i i A B i j A B i k
A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
      
     
    
ur ur r r r r rr
g
r r r r r r
r r r r r r
A B ( )(1) ( )(0) ( )(0)
( )(0) ( )(1) ( )(0)
( )(0) ( )(0) ( )(1)
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
   
  
 
ur ur
g

23. A B x x y y z zA B A B A B  
ur ur
g
PRODUCTO ESCALAR
ANÁLISIS DEL PRODUCTO ESCALAR
APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
1.- Cálculo del ángulo formado por dos vectores.

B
A
A B cosAB 
ur ur
g
cos A BAB  
ur ur
g
A B
cos
AB
 
ur ur
g
2 2 2 2 2 2
cos
x x y y z z
x y z x y z
A B A B A B
A A A B B B

 

   

24. PRODUCTO ESCALAR
APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
2.- Cálculo de la proyección de un vector sobre otro.
A
B

cosAB B 
Bcos
A
B

BA
AB
cos
B
 
AB cosB  
ur r

25. PRODUCTO ESCALAR
APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
2.- Cálculo de la proyección de un vector sobre otro.
A
B

A
B

BA
cos
A
 
cosBA A 
BA cosA B
ur r

26. 3. Cálculo del Trabajo en Mecánica.
PRODUCTO ESCALAR
APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
r
F

Fx = Fcos
cosW F r  
cosF r F r   
ur ur
g
W F r 
ur ur
g

27. PRODUCTO ESCALAR
APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
4. En Electromagnetismo, para calcular el flujo magnético.
E
cosE S  
cosE S E S   
ur ur
g
E S  
ur ur
g

28. PRODUCTO VECTORIAL
Sean los vectores:
A = (Axi + Ayj + Azk)
B = (Bxi + Byj + Bzk) 
B
AA x B = Es otro vector ( C )
entonces tenemos:
C = A x B
C = A x B
Módulo
:
A x B = C = A B Sen 
Direcció
n:
C  A y B
Sentid
o:
C (+)
C (-)
A
B
C = A  B
-C = B x A


29. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
Sen 0° = 0
Sen 90° = 1
Sen 180° = 0
a) El Producto Vectorial de dos vectores paralelos.
i)
0°
B
A
AxB ABsen
ur ur
o
AxB AB 0sen
ur ur
 AxB AB 0sen
ur ur
AxB 0
ur ur
ii)
B
180°
A
AxB ABsen
ur ur
o
AxB AB 180sen
ur ur
 AxB AB 0sen
ur ur
AxB 0
ur ur

30. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
b) El Producto vectorial de dos vectores perpendiculares.
A
B
90°
A
B
AxB ABsen
ur ur
o
AxB AB 90sen
ur ur
 AxB AB 1
ur ur
AxB AB
ur ur

31. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
c) Producto vectorial de un vector por sí
mismo.
A
AxA AAsen
ur ur
o
AxA AA 0sen
ur ur
AxA AA(0)
ur ur
AxA 0
ur ur

32. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
De lo anterior podemos concluir que:
k
j
ii i
j j
k k
 
 
 
r r
r r
r r
0
0
0
i j
j k
k i
 
 
 
r r
rr
r r
k
r
j
r
i
r
j i
k j
i k
 
 
 
r r
r r
rr
k
r
i
r
j
r

33. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
d) Producto Vectorial en función de sus vectores base.
Sean los vectores:
A x y zA i A j A k  
ur rr r
B x y zB i B j B k  
ur rr r
AxB ( )x( )x y z x y zA i A j A k B i B j B k    
ur ur r r rrr r
AxB ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
x x x
x x
( )( ) ( )( )
x
x x x
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B i i A B i j A B i k
A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
   
  
 
ur ur r r r r rr
r r r r r r
r r r r r r

34. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
AxB ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) (
0
0
) )0(
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B A B A B
A B A B A B
A
k j
k
B A A
i
iB Bj
   
  
 



ur ur
r r
r r
ur ur
AxB ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B Ai j kB     
ur u rr r u r

35. PRODUCTO VECTORIAL
ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL
La expresión anterior se puede expresar en forma de determinante cuadrático de 3 x 3,
por su fácil operatividad:
AxB x y z
x y z
i j k
A A A
B B B

r r r
ur ur
x y
x y
i j
A A
B B
r r
AxB ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B Ai j kB     
ur u rr r u r

36. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
PRODUCTO VECTORIAL
1.- Cálculo del área del paralelogramo formado por dos
vectores.
h
h
sen h B sen
B
   
Si sabemos que:
Área = base x altura
Área = A x h, pero altura de acuerdo a la (figura ), es
Área = A B sen 
Área = C = A x B = A B sen 

37. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
PRODUCTO VECTORIAL
2.- Cálculo del vector velocidad lineal en el movimiento
circular
x rv 
r ur r
x rv rsen   
r ur r
o
x r 90v rsen  
r ur r
 x r 1v rsen  
r ur r
v r

38. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
PRODUCTO VECTORIAL
3.- Cálculo del vector aceleración tangencial en el movimiento
circular
T x ra 
r ur r 
r
aT
T x ra rsen   
r ur r
o
T x r 90a rsen  
r ur r
 T x r 1a rsen  
r ur r
Ta r

39. PRODUCTO VECTORIAL
APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
4.- Cálculo del vector aceleración normal o centrípeta en el movimiento
circular
c xa v
r ur r 
ac
v
c xa v vsen   
r ur r
o
c x 90a v vsen  
r ur r
 c x 1a v vsen  
r ur r
ca v

40. PRODUCTO VECTORIAL
APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5.- En mecánica, para calcular el momento de fuerza.
yr F  
r Fsen ABsen    

41. PRODUCTO VECTORIAL
APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
6.- En mecánica, para calcular el momento
angular
L  r  p
r
pm
O

L
r v
im
i
y
x
z

yL r p 
L r psen ABsen   

42. PRODUCTO VECTORIAL
APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
7.- En electromagnetismo, para calcular el momento
dipolar
yp E  
psen E pEsen
ABsen
  
 
  

x Ep 
r ur ur

43. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores: A = (3i + 3j - 5k) m
B = (- 4i + 5j - 3k) m
Determinar:
a) Los módulos de A y B.
f) La proyección de B sobre C.
g) El área del paralelogramo formado por A y B.
h) Un vector perpendicular al plano formado por A y B de módulo 50 N.
i) Un vector en la dirección de la bisectriz entre A y B de módulo 40 N.
b) El producto vectorial, A x B.
c) El ángulo entre A y B.
d) El módulo del producto vectorial entre A y B.
e) Los ángulos directores del producto vectorial.