Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y
CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”
DIANA VILLOTA
PRIMER NIVEL

PARALELO: “ B ”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Módulo Algebra

Página 1

Contenido
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3
OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4
SILABO ........................................................................................................................................... 5
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ................................................................................... 20
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ............................................................................... 21
EXPONENTES Y RADICALES...................................................................................................... 22
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................... 24
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 26
Partes de una ecuación ........................................................................................................... 26
¡Exponente! ............................................................................................................................. 27
PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 28
FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 30
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 31
ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................ 31
Dominio y recorrido .................................................................................................................. 52
Funciones crecientes, decrecientes y constantes ............................................................... 53
Función identidad ..................................................................................................................... 56
Función lineal ............................................................................................................................ 56
..................................................................................................................................................... 63

Módulo Algebra

Página 2

INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:

x-5=2
x-5+5=2+5
x+0=7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.

Módulo Algebra

Página 3

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información

Módulo Algebra

Página 4

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN

Formar

profesionales

emprendedores

humanistas, La Escuela de Desarrollo Integral

y

poseedores

de

científicos

MISIÓN - ESCUELA

competentes, Agropecuario contribuye al desarrollo
conocimientos Provincial,

y

Regional

tecnológicos; entregando

comprometida con la investigación y la participan

y

Nacional,

profesionales
en

solución de problemas del entorno transformación,

la

que

producción,

investigación

y

para contribuir con el desarrollo y la dinamización del sector agropecuario
integración fronteriza

y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN

Ser

una

Universidad

acreditada

por

su

VISIÓN – ESCUELA

Politécnica Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica

calidad

y generando profesionales competentes en

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que
incorpore
los
últimos
adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos naturales,
producción limpia, principios de equidad,
participación,
ancestralidad,
que
den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

UNESCO

posicionamiento regional

Agricultura.

Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO
DOCENTE:

NIVEL

PRIMERO

Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO:

Módulo Algebra

0986054587

062-932310

e-mail:

oscar.lomas@upec.edu.ec

Página 5

oscarlomasreyes@yahoo.es

CRÉDITOS T

1

CRÉDITOS P

2

TOTAL CRÉDITOS

HORAS T

16

HORAS P

32

TOTAL HORAS

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)

3
48

CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)

CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)

PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color

Agrícola

y un nombre)

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Módulo Algebra

Página 6

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,
Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
para plantear y resolver problemas del entorno.

LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO

DIMENSIÓN

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

Módulo Algebra

Página 7

El estudiante es capaz de:

2.

TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el

Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.

1.

Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.

CONCEPTUAL.-Si

TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.

el
estudiante
va
a
INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER
dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3.

PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR

4.

PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.



Argumentar el planteamiento que
solución a los problemas planteados.
5.

Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados

CONCEPTUAL.-Si

dará

TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR


el
estudiante
va
a


Construir
expresiones
algebraicas
que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.

2.

6.

TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir
EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,
así como la sensibilización y el conocimiento del propio
conocimiento.

Módulo Algebra

Página 8

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
discretas.

Módulo Algebra

Página 9

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


HORAS
CLASE

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

¿Qué TIENEque saber?

¿Saber cómo TIENE
queaplicar el conocimiento?

Estrategias, métodos y
técnicas

AFECTIVO MOTIVACIONALES

Sistema de Números
Reales

Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe

Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales

Recta de números Reales

Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística

Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica

Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación

Aceptar opiniones diferentes

Hacer síntesis gráfica

Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente

Repasar
los
conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico

DEMOSTRAR.

2

1.
Disposición para trabajar en equipo

Operaciones Binarias

Módulo Algebra

P

¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?

El estudiante será capaz de

Identificar
los
términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.

T

Potenciar el clima positivo

Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
2.
3.

Determinación del
problema.
Dialogo mediante
preguntas.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.

Página 10

4

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento

Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.

Aplicar operaciones mentales

Aceptar opiniones divergentes

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

Identificar los diferentes tipos
polinomios

Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo

INDUCTIVO

Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.

Potenciar la resolución de problemas

2

1.Observación

Productos notables.

Identificar los diferentes tipos de
productos notables

Descomposición Factorial

Resolver ejercicios

2. Experimentación.
Valorar las participaciones de los
demás

3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)

Demostrar grado por lo que hacemos
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
2.
3.

Módulo Algebra

Determinación del
problema.
Dialogo mediante
preguntas.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,

Página 11

4

Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas
para
el
desarrollo del razonamiento

Resolver ejercicios con
polinomios sencillos y complejos

Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.

Mínimo común múltiplos
de polinomios.

Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.

Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.

Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones

Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados

Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.

Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos

Definición y clasificación.

Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera

Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.

Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas

Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.

Ecuaciones reducibles a
cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas

Resolución de ecuaciones

3

6

3

6

Resolver ejercicios sobre

Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
EXPOSICION
PROBLEMICA.
1.

Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA
1.

Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados

2.
3.

Módulo Algebra

6

1.

Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.

Aplicaciones

Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.

3

1.

Plantear ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales,
resolución

socializar la solución.
RAZONAR

Determinar el
problema
Realizar el encuadre
del problema
Comunicar el

Página 12

cuadráticas por factoreo.
Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.

Módulo Algebra

Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.

Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.

Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas

Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.

Construir
expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.

expresiones cuadráticas

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

4.

Valorar la creatividad de los demás

1.

Respetar el criterio del grupo.
2.

conocimiento
(conferencia ,video )
Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)

Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)

3

Página 13

6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados


DIMENSIÓN

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)

INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción

2°
PARCIA
L

50%

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Documento

10%

Documento

10%

Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%

Participación virtual

Módulo Algebra

Reactivos


Demostrar
la
utilidad
de
las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

10%

Consultas

Modelar, simular sistemas
complejos.

Chat-Foro

Trabajos

CONCEPTUAL.

10%

Portafolio
Interpretar la información.

Documento

Chat-Foro

SUPLETORI
O

10%

Pruebas

CONCEPTUAL.

Documento

3°
PARCIA
L

10%


Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.

Documento

Trabajos

FACTUAL.

Deberes

Consultas

Identificar
los
términos
básicos
utilizados durante el desarrollo del

Interpretar información.

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN

1°
PARCIA
L

10%

Página 14

Pruebas

10%

Documento

10%

Documento

10%

Chat-Foro

10%

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

5%

Trabajos

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

Desarrollar una estrategia
para el diseño.

Documento

Pruebas

CONCEPTUAL

Deberes


Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.

10%

Consultas

Analizar problemas y sistemas
complejos.

Documento

Trabajos

PROCESAL

50%

Portafolio

Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados

Reactivos

Documento

5%

100%

100%

FACTUAL.

Interpretar información.

Deberes

Documento

5%

CONCEPTUAL.

Modelar, simular sistemas
complejos.

Trabajos

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.

Documento

5%

PROCESAL

Analizar problemas y sistemas
complejos.

METACOGNITIVO

ESCALA DE VALORACIÓN

Módulo Algebra

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio

100%

7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

Página 15

Nivel ponderado de aspiración y
alcance

Módulo Algebra

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio

4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

Página 16

VI.

GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


HORAS
AUTÓNO
MAS

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del

T
INSTRUCCIONES

Consulte información en el
internet
y
textos
especializados
los
conceptos de números
reales,
presentar
en
organizadores gráficos.

RECURSOS

Libros.
Copias

P

PRODUCTO

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.

2

4

Identifica los tipos de polinomios

2

4

Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3
e irracionales

6

3

6

Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.

Prueba
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de

Consulta sobre la definición
de
un
monomio
y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Distinguir
plenamente Libros.
entre
expresiones
Copias
las
racionales e irracionales

Demostrar la utilidad de
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados

Módulo Algebra

Documentos en pdf.

Dar solución a ecuaciones
de primer grado

Libros.
Copias
la web.
Documentos en pdf.
la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado

Página 17

Libros.

3

6

Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.

3

6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

16

32

1

2

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.

Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de
expresiones
cuadráticas.

Copias

Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

Documentos en pdf.
la web.

TOTAL

CRÉDITOS

3

Módulo Algebra

Página 18

VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda
edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

Módulo Algebra

Página 19

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como

y , que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son enteros

y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es
racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números

y

son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

Módulo Algebra

Página 20

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.

Módulo Algebra

Página 21

EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes

RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

n = índice
x = radicando
y = raíz
Módulo Algebra

Página 22

=signo radical
Leyes radicales

Módulo Algebra

Página 23

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Módulo Algebra

Página 24

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Módulo Algebra

Página 25

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",
por ejemplo:
x

+

2

=

6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un
número que todavía no conocemos.
Normalmente es una letra como x o
y.
Un número solo se llama una
constante.
Un coeficiente es un número que
está multiplicando a una variable (4x
significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como
+, ×, etc) que representa una
operación (es decir, algo que
quieres hacer con los valores).

Módulo Algebra

Página 26

Un término es o bien un número o
variable solo, o números y variables
multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de
términos (los términos están
separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el
segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente
es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces
usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

Módulo Algebra

Página 27

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27

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Página 28

Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado
del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por
el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Módulo Algebra

Página 29

FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se

le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.

Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:

; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:
Factorización de cubos perfectos de binomios.

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Página 30

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,
pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización
total de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia
(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden
representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas
es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede
serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en
el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
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Página 31

–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.

FRACION ALGEBRAICA
Una fracción
algebraica es
una
expresión
que numerador y denominador son polinomios.

fraccionaria

en

la

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas.
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Página 32

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y
denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si

se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya
que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de
paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores,
pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador
y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor
común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios
numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para
quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en
transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se
puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con
fracciones de números enteros, reduciendo primero acomún denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de
fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de
distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

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Página 33

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola
fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran
numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que
dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para
no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior
cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros,
utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos
denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador
común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que
llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab
5b
5b
5
5
1
1

a2
a
1
1
1
1
1

15b2
15b2
15b2
15b
15
3
1

a
a
b
b
5
3

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo
mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres
fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los
denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por
cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Módulo Algebra

Página 34

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero
también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador
como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del
modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del
caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x
− 3)
Hacemos

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Página 35

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y
simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos
con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque
antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea

una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra

,

entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones
algebraicas
Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es
preciso dominar la factorización de productos notables.
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Página 36

Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con
fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores,
aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea
una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra
entonces:

,

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea
divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la
línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

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Página 37

ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más
variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables,
o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la
pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la
recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado
rectangular) no son consideradas lineales
Es aquella ecuación cuya representación gráfica es una recta. También se les
llama "de primer grado", ya que la variable independiente representada por "x",
se encuentra elevado a la 1.

Ejemplo:
EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales.
a.
b.
c.
a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente
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Página 38

EJEMPLO 2: Ecuaciones que no son lineales.
a.
b.
c.
d.

GRAFICO DE UNA ECUACION LINEAL

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
Módulo Algebra

Página 39

6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron
el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el
doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada
uno?
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Página 40

Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
X+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones.
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que
pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a
cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión
total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir
al 6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 =
$15,600 al 6%.

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Página 41

Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo
de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede
tenerse
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es positiva
y
, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa.
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor
que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad,
lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas
consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:

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Página 42

Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un
arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con
valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita,
entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y
además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

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Página 43

Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera
parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos
microscopios se fabricaron?
Solución

Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor
que 45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si
nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y
luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el
dato que deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene
actualmente Ximena?
Tenemos entonces:
x

edad de Ximena

x+5

edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de
cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
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Página 44

x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no
podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e
indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

b)

X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación
es lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

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Página 45

Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo
se relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se
cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o
una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar
haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números
reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las
propiedades de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no
incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

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Página 46

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra
determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en
este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de
la resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa
de la multiplicación es la división).
Tendremos ahora:

x > 56 ÷ 4
x> 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que
14, no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la
derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas
donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
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Página 47

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen
al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el
costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con
los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la
letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Módulo Algebra

Página 48

Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado
en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable
independiente.
Cada
peso
(perteneciente
al
conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el
mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y
cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno,
del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un
elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que
a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

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Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es
una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento
en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B,
se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B

f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la
función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1
es la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores
posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada)
es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A
y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos
dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los
elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un
único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones
son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo
son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los
elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya
que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya
que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
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Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con
elementos de Y, esta relación no es funciónde X en Y.

Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser
cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los
números reales.

En cambio, la función
tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor
real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+
anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea
diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,
es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable
dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
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Página 51

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para
los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son
mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero;
puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores
positivos bajo la función f.
Funciones Especiales
Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de
la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el
eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el
eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

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Página 52

Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

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Gráfica de una Función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x
debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en
una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función.
Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica.
Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la
función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos
haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del
problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con
dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.

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Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple
también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a
sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos
casos, sólo observando la desigualdad.
La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la
recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no
“mayor o igual que.”

Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas,
perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A
la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de
ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del
grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y
en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

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Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de
cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la
gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El
dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números
reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números
reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0,b).

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Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones
Rectas
Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada
por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura
4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En
este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.
Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2,
conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x
aumenta desde 1 hasta 3.

Definición
Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La
pendiente de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella
deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una
recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador
de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.

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Ejemplo 1 Relación precio/cantidad
La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en
dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a
ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la
figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qIpI)
Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la
cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el
precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.
• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero:
recta horizontal
Pendiente indefinida:
recta vertical
Pendiente positiva:
recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa:recta que desciende de izquierda a derecha
Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser
horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana
a ser vertical.
Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son
verticales.
Ecuaciones de rectas
Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación
cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a travésdel
punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relación
algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x,
y), se obtiene

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Ejemplo 2 Forma punto-pendiente
Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).
Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.
Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen
Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.
Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y
b= - 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares
Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.
También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con
pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.
EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo
de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente
regla.
Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares
Lafigura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x +
1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas

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Aplicaciones y Funciones Lineales
Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y
B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y
denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos
los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen
la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:
de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de
producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de
A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por
tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2
unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y
(0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30
Curvas de demanda y de oferta
Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de
eseproducto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún
periodo.
Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio
baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado
por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que
relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda.
La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda.
De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje
q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares
y el periodo es una semana.
Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad,
los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades
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negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los
productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución
en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a
derecha, como en la Figura 4. 14(a).

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de
productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún
periodo.
Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores
están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad
suministrada.
Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una
ecuaci6n que relacionap y q es llamadaecuación de oferta y su gráfica es una curva de
oferta.
La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo esuna
semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los
productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos.
Unacurva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura
4. 14(b).
Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.
Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas
rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda lineal.
Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q están linealmente relacionadas.
Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha,
unacurva de demanda lineal tiene pendiente negativa.
Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar
laecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

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Solución:
Estrategia:Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser
una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están
relacionadoslinealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q
=200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. ppor los
puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la
recta, esto es, la ecuación de demanda.

PROGRAMACION LINEAL
La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se
exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas
a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la
economía, la estrategia militar, etc.

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