Trabajo que consta de tres preguntas relacionadas con temas de estadística.

1. TRABAJO DE VARIABLE ALEATORIA
Lee con atención el siguiente enunciado.
En una urna se introduce un bola numerada con el número uno, dos con el número dos,
tres con el número tres y así sucesivamente hasta alcanzar el número n . A continuación
se extrae al azar una bola de la urna.
Una vez leído y comprendido realiza las siguientes actividades.
Actividad 1. [3 puntos] Como primer paso para una mejor comprensión del ejercicio es
conveniente resolverlo en un caso más sencillo. Una forma de hacerlo es fijar algún
parámetro del problema para hacerlo más concreto. En este caso podemos fijar n.
No obstante no conviene que el parámetro sea poco significativo; por ejemplo si
ponemos n = 1 o n = 2 la resolución no nos aportará mucha información para
entender como se resuelve de forma general. Por eso vamos a resolver el problema
en el supuesto n = 5. Para este caso efectúa los siguientes ejercicios.
a) Las probabilidades de que el número extraído sea m, es decir P(m) donde 1≤m≤5
mi 5
i=1
P (m)=
siendo
N
5
N =∑i=1 ni , por lo que las probabilidades del número
extraído m serán:
P (1)=
1
15
P (2)=
2
15
P (3)=
3
15
P (4)=
4
15
P (5)=
5
15
5
∑i=1 P (mi )=1
Por lo que se cumple que
b) La probabilidad de que el número extraído sea menor o igual que m.
P ( x ≤m)=
1
N
P ( x ≤m)=
m
1
∑i=1 x i
15
m
∑i=1 x i
, siendo x el número extraído y
N =15 resulta lo siguiente:
c) Calcula la esperanza matemática.
5
=∑i=1 P (mi )m i=P (m1 )m1 + P ( m2) m2 + P (m3) m3 + P (m4)m4 + P (m5 )m5 , que
numéricamente quedaría:
=1
1
2
3
4
5 11
+ 2 +3 + 4 +5 = ≃3,66...
15
15
15 15
15 3
En este caso concreto, el cálculo de la esperanza matemática puede realizarse de la siguiente
1
2
2
2
2
2
forma = (( m1 ) +( m2) +(m 3) +(m4 ) +(m5) )
N

2. d) Calcula la desviación típica.
5
2
VARIANZA→ ∑i=1 P (mi )(mi −)
 2=
DESV.TÍPICA→ √ VARIANZA
1
11 2 2
11 2 3
11 2 4
11 2 5
11 2 14
(1− ) + (2− ) + (3− ) + ( 4− ) + (5− ) =
15
3
15
3
15
3
15
3
15
3
9
= √
14 √ 14
=
≃1,25
√9 3
Actividad 2. [1 punto] Una vez resuelto para n = 5 te habrás dado cuenta de que
necesitas expresiones que proporcionen algunas sumas. Busca en algún libro o en
Internet fórmulas que te proporcionen, en función de n las siguientes sumas
a) La suma de n unos.
n
∑n=1 1=1 · n
b) La suma de los n primeros números naturales.
n
∑n=1 n=
n 2+ n
2
c) La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.
∑n=1 n2= 2n
n
3
+3n 2 +n
6
d) La suma de los cubos de los n primeros números naturales.
2
2
+n
∑n=1 n3=( n 2 )
n
Actividad 3. [6 puntos] A continuación utiliza las fórmulas que has encontrado para
realizar las siguientes actividades.
a) Calcula la probabilidad de que salga el número m.
m
sustituyendo en N la fórmula de la suma de los primeros n números naturales del
N
m
2m
apartado b) del ejercicio anterior se obtiene que P (m)= 2 = 2
n +n n + n
2
P (m)=
b) Calcula la probabilidad de que salga un número menor o igual que m
Al igual que el apartado anterior vamos a utilizar la fórmula de la 2º actividad b)

3. m
∑ xi
P ( x ≤m)= ni =1
∑ j=1 N j
donde
2
+
∑i=1 x i = m 2 m
m
y
2
+
∑ j=1 N j = n 2 n
n
, por lo que al sustituir
queda la siguiente expresión:
2
m +m
2
2
n +n
m2+ m
P ( x ≤m)=
= 2
2
n +n
c) Calcula la esperanza matemática.
n
=∑i=1 P (mi )m i
1 2
o lo que es lo mismo =∑i=1 · mi , de donde
N
n
n 2 +n
y
N=
2
2n 3+ 3n 2+ n
, resultando la fórmula siguiente:
m =∑i =1 m =
6
n
2
=
2
i
1 2
2
2n 3+ 3n2 + n
2n 2+ 3n+1
, aunque se puede simplificar aún más
m= 2 ·
→=
N
6
3(n+ 1)
n +n
1
2( n+ )( n+1)
2
2n +1
=
=
3(n +1)
3
d) Calcula la desviación típica.
En este caso voy a utilizar la siguiente forma de la varianza
n
 2=∑i=1
=
n
mi 2 2
m3
· mi − =∑ i=1 i −2 siendo
N
N
2
n
 2=∑i=1 P ( mi ) m2−2
i
2
2
n
n +n 3
n +n
N=
; m =∑i =1 m 3=(
) y
i
2
2
2n +1
obtenida del apartado anterior, por lo que:
3
 2=
3
m
− 2 y que al sustituir nos queda:
N
n2 + n 2
)
2
n 2 +n
2n +1 2
n 2 +n 2n+1 2 n 2+n 4n 2 + 4n+1
n 2+ n−2
 2=
−(
) → 2=
−(
)=
−
→ 2=
2
3
2
3
2
9
18
(

4. y por tanto la desviación típica será:
=
√
n2 + n−2
18
Realizado por: Pedro Luis Martín Fernández
Curso: 2ºBach
Grupo: A