Obtención de las tres raíces cúbicas de un número complejo Complex Number cubic root

1. Complex Numbers Roots
Worked Problem 1
G. Edgar MataOrtiz
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1 0 1 2
3
𝑧

2. Raíces de Números Complejos
1. Ejemplo: 𝑧 = 3 + 2𝑖
2. Conversión de un número complejo de la forma binómica,
a la forma trigonométrica
3. Fórmula: De Möivre
4. Sustitución en la fórmula
5. Obtención de las tres raíces cúbicas del número complejo
6. Convertir raíces a la forma binómica
7. Graficar las tres raíces sobre el mismo plano complejo

3. Ejemplo: 𝑧 = 3 + 2𝑖
Un número complejo está formado por una parte
real, en este caso el número 3, y una parte imaginaria,
formada por un número real (2) y la raíz de menos
uno expresada como 𝑖:
−1 = 𝑖
Así como los números reales se representan en la
recta numérica, los números complejos se
representan en un plano.

4. Ejemplo: 𝑧 = 3 + 2𝑖
La parte real del número
complejo se representa en el eje
horizontal; si es positivo hacia la
derecha y si es negativo a la
izquierda.
La parte imaginaria en el eje
vertical; si es positiva hacia arriba
y si es negativa hacia abajo.

5. Conversión: binómica – trigonométrica
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛
𝑏
𝑎
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛
2
3
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 0. ത6
𝜃 = 0.588002
𝑟 = (3)2+(2)2
𝑟 = 9 + 4
𝑟 = 13
𝑟 = 3.605551
𝒛 = 𝟑 + 𝟐𝒊 → 𝒛 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐)

6. Fórmula: De Möivre

7. Sustitución en la fórmula
𝟑
𝒛 =
𝟑
𝟑. 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
)

8. Primera raíz cúbica: k = 0
𝟑
𝒛 =
𝟑
𝟑. 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟎)𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟎)𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎)

9. Segunda raíz cúbica: k = 1
𝟑
𝒛 =
𝟑
𝟑. 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟏)𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟏)𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟔. 𝟖𝟕𝟏𝟏𝟖𝟕
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟔. 𝟖𝟕𝟏𝟏𝟖𝟕
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟐. 𝟐𝟗𝟎𝟑𝟗𝟓 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟐. 𝟐𝟗𝟎𝟑𝟗𝟓)

10. Tercera raíz cúbica: k = 2
𝟑
𝒛 =
𝟑
𝟑. 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟐)𝝅
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐 + 𝟐(𝟐)𝝅
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬
𝟏𝟑. 𝟏𝟓𝟒𝟑𝟕𝟑
𝟑
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏(
𝟏𝟑. 𝟏𝟓𝟒𝟑𝟕𝟑
𝟑
)
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟒. 𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗𝟏 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗𝟏)

11. Las tres raíces cúbicas de z son:
𝒌 = 𝟎 → 𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎)
𝒌 = 𝟏 → 𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟐. 𝟐𝟗𝟎𝟑𝟗𝟓 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟐. 𝟐𝟗𝟎𝟑𝟗𝟓)
𝒌 = 𝟐 → 𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟑𝟒𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟒. 𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗𝟏 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗𝟏)

12. Las tres raíces cúbicas de z son:
𝟑
𝒛 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟒𝟎𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟗𝟖𝟔𝟐𝟔𝒊
𝟑
𝒛 = −𝟏. 𝟎𝟏𝟎𝟔 + 𝟏. 𝟏𝟓𝟑𝒊
𝟑
𝒛 = −𝟎. 𝟒𝟗𝟑𝟒 − 𝟏. 𝟒𝟓𝟐𝒊

13. Gráfica con las tres raíces cúbicas
𝟏. 𝟓𝟎𝟒𝟎𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟗𝟖𝟔𝟐𝟔𝒊
−𝟏. 𝟎𝟏𝟎𝟔 + 𝟏. 𝟏𝟓𝟑𝒊
−𝟎. 𝟒𝟗𝟑𝟒 − 𝟏. 𝟒𝟓𝟐𝒊
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

14. Gracias por su atención
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